11勾股定理1讲义教师版.docx
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11勾股定理1讲义教师版
:
i'中考要求
内容
基本要求
略咼要求
较咼要求
勾股定理
及逆定理
已知直角三角形两边长，求第三条边
会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形
会运用勾股定理解决有关的实际问题。
板块一勾股定理
1勾股定理的内容：
如果直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2•即直角三角形
中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：
勾一一最短的边、股一一较长的直角边、
弦——斜边。
2•勾股定理的证明：
（1）方法一：
将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:
221
S正方形ABcb"42ab.a2b2=c2.
（2）方法二：
将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:
i
S正方形E©=ca-b42ab
（3）方法三：
总统”法•如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:
3.勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即在ABC中,如果AC2BC2=AB2,那么.：
ABC是直角三角形。
4.勾股数：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：
3、4、5;
5、12、13;7、24、25;&15、17。
例题精讲
板块一、勾股定理
【例1】下列说法正确的是（）
222
A.若a,b"是ABC的三边，则ab二c
B.若a,b,c是Rt.lABC的三边，贝Ua2b^c2
222
C.若a,b,c是Rt.ABC的三边，•A=90，则ab二c
222
D.若a,b,c是Rt.：
ABC的三边，=90，贝Uab=c
【考点】勾股定理
【题型】选择
【难度】1星
【关键词】
【解析】在直角三角形中，才可应用勾股定理•其次,要注意边和角的对应•选D.
【答案】D
【例2】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为
【考点】勾股定理
【题型】填空
【难度】2星
【关键词】
【解析】可知三边为3,4,5，所以周长为12
【答案】12
【巩固】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为•
【考点】勾股定理
【题型】填空
【难度】3星
【关键词】
【解析】勾股数中只有唯一的一组：
6,8,10.
【答案】6，8,10
【例3】已知直角三角形两边x，y的长满足X?
_4+肘_5y+6=0，则第三边长为•
【考点】勾股定理
【题型】填空
【难度】3星
【关键词】
【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知：
22或•13或5•
【答案】22或.13或5
【巩固】一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）
A.斜边长为25B.三角形周长为25
C.斜边长为5D.三角形面积为20
【考点】勾股定理
【题型】选择
【难度】1星
【关键词】
【解析】在直角三角形中，直接应用勾股定理•可得斜边为5•选C.
【答案】C
【例4】如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC_BC,AC=BC,当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，贝Ux与y的大小关系是（）
C
【考点】勾股定理
【题型】选择
【难度】3星
【关键词】第18届，江苏省竞赛试题
【解析】由勾股定理得.a2•a2=.a-x］亠ja•y?
，化简得2a^y=x2y20，x■y
【答案】B
【巩固】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶
端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）
【考点】勾股定理
【题型】填空
【难度】2星【关键词】宁波市中考试题
【解析】由勾股定理可知：
大于
【答案】大于
【巩固】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为（）
A.6B.4.5C.2.4D.8
【考点】勾股定理
【关键词】
【解析】本题易错最短边为6，它的高为8选D.
【答案】D
【例5】若ABC的三边a,b,c满足条件：
a2b2c233^10a-24b-26c，则这个三角形最长边上的高为
【考点】勾股定理
【题型】填空
【难度】4星
【关键词】
222
【解析】由a-5］亠i「b-12］亠jc-13j；=0,得a=5,b=12,c=13，得三角形ABC是直角三角形，所以高为
60
13
【答案】60
13
【巩固】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
【考点】勾股定理
【题型】选择
【难度】2星
【关键词】
【解析】省略
【答案】B
【巩固】如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A触地处到旗杆底部B的距离为6米，则折断点C到旗杆底部B的距离为
【考点】勾股定理
【关键词】
【解析】设BC=x米，则AC=8—x米，因为AB=6米，根据勾股定理可得：
62£=8』，解答,故折断点C到旗杆底部的距离为-米
4
【答案】7
4
【例6】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，？
如果AB=8cm，BC=10cm，
求EC的长.
【考点】勾股与全等综合
【题型】解答
【难度】3星【关键词】
【解析】由题意得，AF=AD=10cm.
在ABF中，应用勾股定理得，
BF=6cm
所以FC二BC-BF=10-6=4.
在CEF中，应用勾股定理，设EC=xcm，得j22,2
8-x4亠x.
解得x=3即EC=3cm.
【答案】3cm
【例7】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠,
使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD的长为多少？
C
【考点】勾股定理
【关键词】
222
【解析】可设CD=x，那么BD=8—x,DE=x,BE=4，所以4+x=（8—x），所以x=3
【答案】3cm
■
\
..
■4
B
C
⑵如图所示，在.：
ABC中，三边a,b,c的大小关系是（）
B
C
a
7
/
4
/
A
【考点】勾股定理
【题型】选择
【难度】3星【关键词】
【解析】⑴直接计算，只有AC=5,为有理数•所以边长为无理数的边数为2•选C.
⑵a=10,b=5,c=13.选D.
【答案】⑴C;⑵D
【例9】设a,b,c,d都是正数。
求证：
a2c2d22cd：
h：
jb2c2,a2b2d22ab.
【考点】勾股定理
【关键词】数形结合思想
【解析】
如图，构造一个边长为ab,cd的矩形ABCD.
在Rt.ABE中，BE=.AEAB.
•••BE=-a2（cd）2二a2c2d22cd,
在Rt.：
BCF中，BF—BC2CF2=.；（ab）2d2〉＜a2b2d22ab
在RtDEF中，EF=.DE2DF2二b2c2
在.BEF中，BEEFBF.
即a2c2d22cd.b2c2.a2b2d22ab.
【答案】见解析
其中最大的正方形的边长为7cm,
【例10】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,则正方形A,B,C,D的面积之和为cm2.
【考点】勾股定理【题型】填空【难度】3星【关键词】
【解析】勾股定理树.49cm2
【答案】49cm2
【巩固】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是
576和676，那么最小的正方形的面积为
【考点】勾股定理【题型】填空
【难度】3星
【关键词】
【解析】省略
【答案】100
如图，在ABC中，AD是BC边上的中线,的长•
【考点】勾股定理【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】设DE=x.由AE_BC于点E可知：
222—2—2
AB-BE=AE=AC-CE.
又•••AB=12,BC=10,AC=8,BD=CD=5,
•••122—（5x）2=82—（5—x）2,
解得x=4，即DE=4.
【答案】4
【巩固】张大爷家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建立栅栏，要计算这
个长方形鱼池的周长，你能帮张大爷计算吗？
【考点】勾股定理
【题型】解答【难度】4星
【关键词】2006年，贵州中考
【解析】设长方形的长和宽分别为am,bm，有a2b2=100,ab=48，代入a=a2b22ab，可得
ab=14m
【答案】14m
【例12】如图，在ABC中，AB=AC=4，P是BC上异于B,C的一点，求AP2-BPLPC的值.
【考点】勾股定理
【题型】解答
【难度】5星【关键词】重庆市数学竞赛
【解析】过点A作AD_BC，垂足为D.
•/AD_BC,AB=AC
•••BD=CD,AP2二AD2PD2,
•••AP2BP[JPC=AP2（BD-PD）（BD+PD）
222222=APBD-PD二ADBD二AB.
又IAB=4,
•APBP?
PC=4=16.
A
【答案】16
【例13】某片绿地的形状如图所示，其中.A=60；,AB_BC,AD_CD,AB=200m,CD=100m，求AD、
BC的长（精确到1m,31.732）.
【考点】勾股定理
【题型】解答
【难度】4星【关键词】
【解析】延长AD、BC交于点E,
在Rt.ABE中，.A=60，则.E=30?
，
由AB=200m，得AE=400m，
从而BE=AE2—AB2=,4002-2002=2003m.在RtCDE中，T.E=30,CD=100m,
CE二200m,
从而DE=£CE2—CD2=：
；2002-1002=100.3m,AD=AE-DE=400-100.3:
227m,
BC=BE-CE=2003-200146m.
【答案】AD=227m,BC=146m
【考点】勾股定理【题型】解答【难度】5星【关键词】
1
【解析】连结AC，过点C作CE—AD于E,ABC是直角三角形，面积为346，且AC=5，在R^ACE
2
和RtiCDE中，设AE=x,5?
_x2=7?
_（8_x,，解得x=》,/•CE=竽，S誉cd=10肩,二四边
形的面积为6103.
【答案】610.3
【考点】勾股定理【题型】解答【难度】4星【关键词】
【解析】过点A作AD丄BC于D，设CD=x，利用勾股定理AD2=22—x2=32-（4—x丫,
11
解得x二一,
8
点评：
这类题目（含锐角三角形）除了构造直角三角形，也可以用海伦公式：
已知三角形的三边为a、
b、c，令p二-，三角形的面积为S=p（p-a）（p-b）（p-c）.对于钝角三角形和锐角三角
2
【例15】如图，M是RtABC斜边AB的中点，P,Q分别在AC,BC上，PM_MQ，判断PQ,AP与
BQ的数量关系并证明你的结论.
C
一j
Q
A
【考点】勾股与全等综合
【题型】解答
【难度】4星
M
\
B
【关键词】2009年，西城期末
【解析】PQ^AP2BQ2.
延长QM至UN，使MN=QM，连结AN、PN.显然.PMQ也PMN,.：
AMN也.：
BMQ
•••PN二PQ,AN二BQ,.MBQ=/MAN
•••.CAB梟/ABC=90
•.PAN=/PAM.MAN=90
•APN为直角三角形.
•亠22亠2
…PQ=APBQ.
【答案】见解析
【巩固】如图，已知.SBC和.ECD都是等腰直角三角形，.ACB=.DCE=90，D为AD边上一点，求证:
AD2+AE2=DE2
【考点】勾股与全等综合
【题型】解答
【难度】3星【关键词】2006年，常州市中考
【解析】因为EC=DC,AC=BC,ACE=/BCD，所以可知.：
ACE也厶BCD,所以•EAD=90，得证
【答案】见解析
【例16】如图，RtABC中，MCAB=90,AB=AC,E、F为BC上的点，且MEAF=45，求证:
EF2=BE2+FC2.
【考点】勾股与全等综合
【题型】解答【难度】4星
【关键词】【解析】过点A作线段AD，使.CAF二.BAD，且AD=AF.
在.ACF和.ABD中，
AC二AB
'ZCAFZBAD•••.：
ACF也.ABD
AF=AD
•CF=BD,.DBA=.FCA
ZDBEZDBA/ABEZFCAEABE=90
在ADE和.AFE中，
AE=AE
'ZEAFZEAD=45•ADE也AFE
AD=AF
•ED二EF
在Rt.BDE中，DE2二BD2BE2,•EF2二BE2FC2.
【答案】见解析
【巩固】在.ABC中，.A=90',AB二AC,D为斜边上任一点，求证：
BD2CD^2AD2.
【考点】勾股与全等综合【题型】解答【难度】4星【关键词】
【解析】将「ABD绕点A逆时针旋转90，得■ACD.
•AD=AD；BD=CD:
.BADZCAD.
•••.A=90：
AB=AC,
•/B/ACB./ACD=45；，/DAD=90'.
•.DCD=90；,
22
•DD=2AD.
•CD2-CD2二DD2=2AD2,
即BD2CD2=2AD2.
【答案】见解析
【例17】如图，在凸四边形ABCD中，也ABC=30：
lNADC=60：
AD=DC,证明：
BD?
=AB?
+BC2.
【考点】勾股与全等综合
【题型】解答
【难度】4星【关键词】1996年，北京竞赛复赛试题
【解析】以BC为边作等边三角形BCE，连接AC，AE.
贝UBC二EC，./BCE./CBE=60'.
•••.ADC=60',AD二DC,
/•ACD为等边三角形，
•••.ACD=60,AC=DC.
又•••.ACD••ACB二■BCE.ACB,
•.BCD三.:
ECA.
•BD二AE.
•••.ABC=30’,
•.ABE=90：
.
•AE2=AB2BE2,
即BD2二AB2BC2.
【答案】见解析
【例18】已知ABC中，AB=20,AC=15,BC边上的高为12,求.：
ABC的面积.
【考点】勾股定理
【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】设AD是BC边上的高，由勾股定理得BD2=AB2—AD2=256,
•••BD=16.CD2=AC2—AD2=81,
•••CD=9.
（1）若.C为锐角，如图所示，
贝UBC二BDCD=25.
1
--Sabcbc|_Ad=150.
2
（2）若.C为钝角，如图所示，
贝UBC二BD—CD=7,
1
--SabcBC|JaD=42.
2
即ABC的面积为150或42.
【答案】.ABC的面积为150或42
【巩固】在三角形ABC中，已知AB=2-.3,AC=2,BC边上的高AD二3，求边BC的长
【考点】勾股定理
【题型】解答
【难度】3星
【关键词】
【解析】本题有两种情况:
【答案】见解析
【难度】【关键词】
【解析】图2猜想：
a2b2c2.
证明：
过点A作AD_BC于D
设CD=x,AD2=b2—x2,c2二a-x］亠［b2-x2二a2-2axx2b2-x2,
即a2b2-c2=2ax0，故a2b2c2.
图3猜想：
a2b2:
:
:
c2.
证明：
过B作BD_AC，交AC的延长线于D.
设CD为x，则有BD2=a2—x2
根据勾股定理，得b■xi亠a2-x2=c2.
即a2b22bx二c2,•/b0,x0,
•••2bx0,•••a2b2:
:
c2.
点评：
勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：
a2b^c2的关系，那么
锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？
我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系•在初中阶段，有些锐角三角形和钝角三角形的问题，通常
殊处理”，即通过作高得到直角三角形，再利用直角三角形的性质解决问题.
【答案】见解析
【难度】【关键词】
【解析】设RtABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c^a2b2.
⑴Si=S2•S3.
3、（33
⑵Si=S2•S3•证明如下：
显然，Sic2,S2a2,S3b2,
444
二S2=庞22+b2）=迈c2=S.
44
点评：
分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似形”，其面积对应用Si、S2、S3表示，则
Si=S2S3.
【答案】见解析
【巩固】有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m、8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且
扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.
【考点】勾股定理
【题型】解答
【关键词】
【解析】在RtABC中，.ACB=90,AC=8,BC=6，由勾股定理有：
AB=10，扩充部分为RL：
ACD扩
充成等腰CABD应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6，得ABD的周长为32m.②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4，由勾股定理得：
AD=4.5，得：
ABD的
25
~3
【答案】见解析
【考点】勾股定理
【题型】解答
【难度】4星
【关键词】
周长为2045m，③如图3,当AB为底时，设AD=BD=x，则CD冶一6，由勾股定理得:
从而三角形的周长为5^6cm.
22
11
由三角形的面积公式可得一ab=-ABJCD，
22解得CD=6cm.
5
【答案】CD
5
【例21】如图，已知Rt△ABC的周长为2-6，其中斜边AB=2，求这个三角形的面积
【考点】勾股定理【题型】解答
【难度】3星【关键词】【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理，得a2b2=22,
2
即（ab）-2ab=4。
又由已知得a・b=B6,所以（.6）2-2ab=4。
11
解得ab=1.所以S二丄ab=丄.
22
1
【答案】S）
AEDF，已知剩余的两直
2
【巩固】如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池
角三角形（阴影部分）的斜边长分别为
20cm和30cm，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面
积禾廿为cm2.
【考点】勾股定理
【题型】填空
【难度】4星
【关键词】
【解析】AE=xcm,BE=acm,CF=bcm,
在RtBDE中，a2x2=302=900①
222
在RtCDF中，bx=20=400②
在Rt也ABC中，（a+xf+（b+xj=502=2500,即a22axx2b22bxx2=2500③
③-①-②得，2ax2bx=1200,axb^300
2
最简单的方法为两个小的直角三角形旋转合并成一个大的直角三角形（正方形的边重合）故
1
—3020=300.
2
【答案】
300
版块二、勾股定理与实际问题的综合
【例22】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走捷径”在花铺内走出了一条路”他
们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.
【考点】勾股定理
【题型】填空
【难度】3星
【关键词】
【解析】直接应用勾股定理可知，少走了5m.又知2步为1米，所以少走了10步.
【答案】10
【例23】蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？
（小方格的边长为1厘米）
【考点】勾股定理
【题型】解答
【难度】3星
【关键词】
【解析】把折线从A到D,分三段计算•第1段长为5,第2段长为13,第3段长为10,进行加法计算，所以蚂蚁一共爬了28cm.
【答案】28cm
【巩固】一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米•如果梯子的顶端沿墙下
滑4分米，那么梯足将滑动（）
A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米
【考点】勾股定理【题型】选择【难度】3星【关键词】
【解析】在初始和结束两个状态下，选定直角三角形，应用勾股定理初始时，经计算，可知,梯顶距墙底端24分米.
结束时，经计算，可知,梯足距离墙底端15分米•选D.
【答案】D
【例24】如图，ON是垂直于地面0M的前面，AB是一根斜靠在墙面上长为a的木条，当木条端点A沿墙面下滑时，B沿地面向右滑行
⑴设木条AB的中点为P，试判断木条滑行过程中，墙角处点0到P的距离怎样变化？
说明理由
⑵木条在什么位置时，AABO的面积最大？
最大面积为多少？
【考点】勾股定理【题型】解答【难度】4星【关键词】
【解析】⑴木
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