勾股定理中的折叠旋转问题.docx

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勾股定理中的折叠旋转问题

勾股定理与折叠问题姓名：

一、三角形的折叠

1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）

2、矩形中的折叠

1、如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=8，DE=5，则折痕AE的长为________．

2、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）．

A．3B．4C．5D．6

3、如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（   ）

5、动手操作：

在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A'在边BC上可移动的最大距离为_______．

如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3求AB长

.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，已知AE=3，BF=5，则B′E=，AB=．

6.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点.将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF.则CF的长为（　　）

利用勾股定理证明线段的平方关系

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N。

（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：

MN2=AM2+BN2；（思路点拨：

考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了，请你完成证明过程。

）

（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图

（1），等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C,的距离分别为3，4，5…

（1）如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．

（2）请你利用第

（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：

EF²=BE²+FC²．

问题：

如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=

，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：

将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC的边长为

．问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

，BP=

，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．