第八章空间问题的解答.docx

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第八章空间问题的解答

●第八章空间问题的解答

●学习指导

●本章介绍空间问题按位移求解的方法和按应力求解的方法，其思路和步骤与平面问题相似。

读者可对照平面问题来学习和理解。

●空间问题的位移法比应力法尤为重要。

一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题；二是位移法的未知函数数目比应力法少，而在空间问题中，又没有如平面问题那样，有普遍性的应力函数存在。

在近似解法中，位移法得到广泛的应用。

●为了便于空间问题的求解，力学家和数学家提出了一些应力函数、位移势函数和位移函数等来表示应力或位移，使相应的微分方程得到简化，并从而得出了一些解答。

但读者应注意，这些函数都是人为假定的和有局限性的，并不能作为问题的一般解，因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在。

●扭转问题是空间问题中的一个专门问题。

扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。

扭转问题的应力函数Φ（x，y），是x，y坐标变量的函数，所以仍然是二维问题。

●§8-1按位移求解空间问题

⏹对于直角坐标系（x，y，z）中的一般空间问题，按位移求解的方法与平面问题相似，即

●取u，v，w为基本未知函数。

●将应变用位移来表示。

可以引用几何方程（7-11）。

⏹将应力用位移来表示。

可以通过物理方程（7-14），将应力先用应变来表示；再代入几何方程，从而得出

⏹其中

●将式（8-1）代入区域内的平衡微分方程（7-1），得到求解位移的基本方程，

⏹其中▽2是空间问题的拉普拉斯算子，

●将式（8-1）代入应力边界条件（7-5），得出用位移表示的应力边界条件，

⏹位移边界条件仍为

⏹归纳起来讲，按位移求解空间问题，位移u，v，w必须满足

（1）区域内的平衡微分方程（8-2），

（2）sσ上的应力边界条件（8-4）和（3）su上的位移边界条件（8-5）。

⏹在空间问题中，按位移求解比按应力求解尤为重要。

原因是：

●在平面问题中，按位移求解u，v两个未知函数，而按应力求解却有三个未知函数。

但艾里导出了平面问题的应力函数Φ并证明了它的存在性，使按应力求解转化为只求一个未知函数Φ的问题。

⏹在空间问题中，按应力求解包含6个未知函数，且没有可供简化的普遍性的应力函数存在。

而按位移求解只有三个未知函数，比应力法的未知函数的数目少得多。

●用位移表示应力边界条件较为简单，因此位移法适用于各种边界条件的问题。

而用应力表示位移边界条件时，要进行积分运算并包含了待定项，使表达式既复杂又不易求解，从而限制了应力法的应用。

⏹在近似解法中，位移法得到了广泛的应用。

⏹对于柱坐标（ρ，φ，z）中的空间轴对称问题，按照相似的步骤可以导出按位移求解的方程。

按位移求解空间轴对称问题，包含两个未知的位移函数up和uz（uφ=0），它们应满足：

（1）区域内用位移表示的平衡微分方程，即教科书中式（8-4），

（2）sσ上的应力边界条件（用位移表示），（3）su上的位移边界条件。

由于ρ和z坐标相互之间不具有对等性，因此，ρ和z对应的方程和边界条件也不具有对等性。

⏹空间轴对称问题的边界面，通常都是ρ和z坐标面，因此，边界条件也较为简单。

●思考题

●试导出空间问题中sσ上的应力边界条件（8-4）。

●试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程，教科书中式（8-4），并将sσ上的应力边界条件（sp）,=

用位移来表示。

●§8-2半空间体受重力及均布压力

⏹本题作为空间问题，按位移求解。

其方法是，基本未知函数u，v，w应满足：

（1）区域内的平衡微分方程（8-2），

（2）sσ上的应力边界条件（8-4）和（3）su上的位移边界条件（8-5）。

⏹

对于具有对称性的问题，首先考虑对称性条件，能使问题预先得到很大的简化。

本题是半空间体的边界上，受有均布压力q，在体积内受有重力fz=ρg。

从图8-1可见，任何x面和y面均为对称面，因此，可设定

●然后进行求解：

⏹将位移代入平衡微分方程（8-2），前两式自然满足，而第三式成为一个常微分方程，求出解答为

⏹由式（b）及（a）求出应力分量，再代入z=0的应力边界条件

⏹后两式自然满足，由第式解出A=ρg。

读者应注意，在一般的空间问题的边界条件中，边界面是一个面，不再如平面问题的边界可简化为一条线；且边界条件应有三个，分别对应于x，y，z方向。

⏹本题只有一个z=0的受面力的边界面，没有受约束的边界面su。

但为了求出w中的刚体位移分量B，即

●还需要考虑刚体约束条件，如书中所讨论。

⏹侧压力系数是

⏹它表示侧面压力与铅直压力之比。

我们可以进一步讨论如下：

⏹当μ=1/2时，sx=sy=sz，此时已成为各向相同的应力状态。

从μ本身来讲，μ大，则侧向变形大，侧向压力也大。

μ=1/2，说明物体的刚度极小，柔度极大，实质上已与流体相同。

⏹当μ=0时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极大，已与刚体相同。

⏹按位移求解空间问题，也可以引用位移势函数和位移函数，以简化求解的方法。

读者同样应注意，这些人为假定的位移势函数或位移函数，不具有普遍性，只能用来解决某些问题。

但作为解决问题的思路和方法，是值得我们参考和借鉴的。

●用位移势函数求解空间问题

⏹假设位移u，v，w是有势的函数，它们可以分别用位移势函数Ψ（x，y，z）的导数来表示，即

⏹将上式代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），若不计体力，则得

⏹式（a）可以归并为

⏹其中C为任意常数。

若取C=0，则上式成为拉普拉斯方程，Ψ为调和函数，即

⏹将式（8-6）代入应力公式（8-1），则应力也可以用位移势函数表示为

⏹求解的方法是：

（1）由▽2Ψ=0求出Ψ势函数；

（2）由Ψ求位移[式（8-6）]及应力[式（8-8）]；（3）使位移和应力满足sσ和su上的边界条件。

⏹位移势函数的局限性是，Ψ是人为假定的，且相应的体积应变θ=▽2Ψ=0，因此，它只适用于弹性体内各点均无体积应变的情形（如纯剪切问题）。

●用伽辽金位移函数求解空间问题

⏹伽辽金假定位移可以表示如下形式，

⏹其中ξ，η，ζ均为x，y，z函数。

由于（x，y，z）具有对等性，上式也用对等的公式表示。

⏹将位移表达式（8-9）代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），若不计体力，则得

⏹式（8-10）是ξ，η，ζ应满足的方程，可见它们都是重调和函数。

⏹应力也可以用位移函数来表示。

于是，求解空间问题的位移u，v，w就化为求解ξ，η，ζ函数的问题，它们都应满足重调和方程（8-10），并在边界上满足相应的边界条件。

引用这种位移函数，其未知函数的数目并没有减少，但使它们应满足的方程简化了。

⏹力学家曾应用上述位移势函数和位移函数解出一些空间问题的解答，有时还采用二者组合的方式来求解空间问题。

●思考题

●如果图8-1的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位移求解？

●若将空间问题的伽辽金位移函数向平面应变问题简化，将得出什么形式的表达式？

再转向为平面应力问题，又将得出什么形式的表达式？

并与平面问题的位移函数相比较（见第二章小结）。

●试由伽迪金位移函数的表达式（8-9），导出式（8-10）。

●§8-3半空间体在边界上受法向集中力

⏹

图8-2表示半空间体在边界上受一法向集中力的问题。

显然，它属于空间轴对称问题。

采用按位移求解的方法，其基本未知函数uρ和uz只是ρ和z的函数，它们应满足：

⏹两个用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，见教科书§8-3中式（a）。

⏹半空间体只有一个水平边界面z=0，且为应力边界条件。

由于在O点有集中力F作用，因此，边界条件应分为两部分考虑：

a.除原点以外的表面上，有

应用圣维南原理来处理O点附近小边界上的条件，取出z=0~z的一片薄板，考虑其平衡条件

⏹这里应注意，在空间轴对称问题中，应力边界条件也退化为2个，对应于ρ和z方向。

在考虑z=0~z板的平衡条件时，应有6个条件，∑Fz=0，∑Fy=0，∑Fz=0和∑Mx=0，∑My=0，∑Mz=0，但由于位移和应力已经满足了轴对称条件，因此，除式（b）外其余的平衡条件都已自然满足。

⏹教科书中的解答（8-6）和（8-7）满足了上述全部条件，因而，它们是该问题之解。

这个解答用于按连杆法求解基础梁板的空间问题，如教科书中所述。

⏹上述半空间体受法向集中力的问题，是应用空间轴对称问题的位移势函数和拉甫位移函数而得出解答的。

在按位移求解中采用这些函数来表示位移，可以使空间轴对称问题得到简化，介绍如下。

●对于空间轴对称问题，当不计体力时，位移分量可以用位移势函数Ψ（ρ，z）表示为

●代入用位移表示的空间轴对称的平衡微分方程，见教科书§8-3中式（a），若不计体力，得

●这两式可归结为▽2Ψ=C，若取C=0，则位移势函数应满足拉普拉斯方程

●其中

⏹相应于式（8-11）的应力分量为

⏹于是，按位移势函数Ψ求解时，Ψ应满足拉普拉斯方程（8-12），并在边界上满足位移或应力的边界条件。

采用位移势函数的局限性，如同平面问题中的位移势函数一样，仍然是体积应变为零，即

●引用拉甫位移函数求解空间轴对称问题

⏹拉甫引用位移函数ζ（ρ，z）来表示位移分量，

⏹代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，两式都得出

⏹将式（8-14）代入几何和物理方程，便可得出应力用ζ表示的表达式，

⏹于是，对于空间轴对称问题，可以引用位移函数ζ来进行求解。

ζ应满足重调和方程（8-15），并在边界上满足位移或应力边界条件。

●思考题

●试由位移势函数的表达式（8-11），导出式（8-12）。

●试由拉甫位移函数的表达式（8-14），导出式（8-15）。

●§8-4按应力求解空间问题

⏹弹性力学中各类问题的基本方程和边界条件，以及基本解法都是相似的，其区别主要在于未知函数和方程数目的多少。

⏹按应力求解空间问题，可以按相似于平面问题的步骤导出其基本微分方程。

在直角坐标系中，

●取σx，τyz，…应力分量为基本未知函数。

●形变分量可以通过物理方程（7-13）用应力来表示。

而位移分量要通过对形变分量的积分才能用应力来表示，这样又出现了待定的积分函数。

因此，对于有位移边界条件（或者有混合边界条件以及多连体中的位移单值条件）的问题，其中的位移用应力来表示时既复杂又难以求解。

所以，按应力求解函数式解答时，也只解全部为应力边界条件的问题（s=sσ，su=0）。

●在区域V内导出求应力的基本方程：

⏹三个平衡微分方程（7-1），只包含应力分量，可以作为求解的基本方程。

⏹其余的方程可以从几何方程中消去位移分量，导出变形之间的关系式，即形变协调条件，或称为相容方程，表示于教科书中的式（8-10）和（8-11）。

然后，再通过物理方程消去形变分量，从而导出只含应力的相容方程，即书中的式（8-12）[或在无体力情况下的式*8-13]。

●假设全部边界条件都为应力边界条件，s=sσ，则在边界上应满足应力边界条件（7-5）。

⏹归纳起来讲，按应力求解空间问题时，6个应力分量在区域V内应满足3个平衡微分方程（7-1）和教科书中的6个相容方程（8-12）或（8-13）；在边界上应满足3个应力边界条件（假设全部为应力边界条件，s=sσ）。

此外。

若为多连体，还应满足位移的单值条件。

⏹对于空间问题的相容方程，可作以下几点说明：

●物体在满足连续性的条件下，可以导出形变和位移之间的几何关系式——几何方程，并从而导出形变之间的相容方程。

因此，相容方程是物体变形后保持连续性的必然结果。

●如果形变分量满足上述六个相容方程，则形变分量对应的位移存在且连续性的必要条件。

如果形变分量不满足相容方程，则此组形变不能保证弹性体在变形后的连续性，因此，它们不是弹性体的实际形变，对应的位移也不存在。

这部分的证明可参见参考文献[8]（P.49-57）。

●相容方程是如何导出的，且必须有六个，还可以有多种方法证明，如从变分方程导出相容方程（见参考文献[7]，P.303-308）；又如根据位移的连续性条件，其导数必然存在而且相容[多元函数的导数具有相容性，可以交换求导的次序，如

]，从而可以导出相容方程（见参考文献[13]），等。

●按应力求解空间问题，其基本未知函数是6个应力分量。

这6个应力分量必须在区域内满足3个平衡微分方程和6个相容方程。

应当说明的是，在微分方程中未知函数的数目和方程的数目并不一定相等。

⏹我们可以举一例来说明：

微分方程

⏹的解是f=A+Bx。

对上式求导一次。

则由上式得出新的方程

⏹其解是f=A+Bx+Cx2。

由此可见，虽然式（b）是从式（a）导出的，但式（b）的解答比式（a）增加了，增加的解答Cx2却不是原方程（a）的解。

因此，与代数方程的幂次提高后会出现增根的现象相似，微分方程的阶数提高也会出现增加解答的现象。

⏹对比相容方程和几何方程：

几何方程中只出现形变分量本身，而在相容方程中，形变分量以二阶导数的形式出现。

因此，相容方程中形变分量的导数阶数的提高，必然增加出新的解答，但它们不是原几何方程的解答。

这时，增加的微分方程数目正好用来限制并排除对于原方程的多余的解。

●在按位移求解弹性力学问题时，未知函数是位移分量，它们应满足的条件是：

（1）区域内的平衡微分方程，

（2）sσ上的应力边界条件，（3）su上的位移边界条件。

其中

（1）、

（2）都是属于静力平衡条件（分别表示区域内和sσ边界上的微分体的平衡），而（3）是属于位移连续性条件，即在su边界上位移与约束的连续性条件。

在位移变分法中，令su上的位移边界条件预先满足（在设定u，v试函数时强迫满足），而

（1）、

（2）的静力条件则由位移变分方程来反映。

⏹在按应力求解弹性力学问题时，未知函数是应力分量，它们应满足：

（1）区域内的平衡微分方程，

（2）区域内的相容方程，（3）sσ上的应力边界条件，（4）su上的位移边界条件，（5）多连体中的位移单值条件。

其中

（1）、（3）是静力平衡条件；而

（2）、（4）及（5）都是位移连续性条件。

相容方程是区域内的位移连续性条件，位移单值条件是多连体中的位移连续性条件。

在应力变分法中，取应力分量为基本未知函数，在设定应力的试函数时，令它们预先满足静力平衡条件

（1）和（3），而其余的条件由应力变分方程来反映。

⏹在按应力求解空间问题中，力学家也提出了几种应力函数以简化问题的求解。

当然这些应力函数不具有普遍性，是人为假定的。

例如，麦克斯韦提出下列应力函数

⏹令

⏹此组应力分量（c）能完全满足无体力的平衡微分方程（7-1）。

因此，χ1，χ2，χ3只须满足相容方程及边界条件等就可以了。

⏹此外，力学家还提出了其他几种应力函数，读者可参见参考文献[6]，[7]。

●思考题

●试考虑：

从空间问题的相容方程，可以导出平面应变问题的相容方程，却不能直接导出平面应力问题的相容方程，为什么？

⏹提示：

见例题4。

●在表面均受到法向压力q作用的任意形状空间体，其应力分量是σx=σy=σz=-q，τyz=τzx=τxy=0。

试证明这些应力分量是该问题之解（对于多连体还应满足位移单值条件）。

●§8-5等截面直杆的扭转

⏹如同平面问题是空间问题的一个特例，扭转问题也是一个特殊的空间问题。

根据扭转问题的特性来简化空间问题的基本方程和边界条件，就建立了扭转问题的基本理论。

扭转问题是机械工程中的一个基本力学问题，早在1854-1856年圣维南就发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，开创了这方面的工作，并在其中提出和应用了‘圣维南原理’。

⏹扭转问题的提出，可归纳为：

（1）等截面的柱体；

（2）无体力作用，fx=fy=fz=0；（3）柱体的侧面无任何面力作用，

，而在柱体的上下端面上有面力作用，并合成为一对大小相等，方向相反的力矩M，图8-3。

⏹

⏹扭转问题属于空间问题，采用按应力求解空间问题的解法进行研究。

按应力求解空间问题时，其基本未知函数为6个应力分量，它们应满足3个平衡微分方程（7-1），6个相容方程[见教科书中式（8-13）]和边界条件。

下面来介绍扭转问题基本理论的建立。

●由于两端面（±z面）无面力

，所以可认为σz=0。

在侧面上无任何面力，

，所以可认为σx=σy=σz=τxy=0。

由此，在扭转问题中假设

●

●因此，只有τzx和τzy两个应力分量。

应力应满足平衡微分方程，将式（8-17）代入平衡微分方程（7-1），其中的体力均为零，得

⏹由前两式得出，τzx和τzy仅为（x，y）的函数，而第三式可写成

⏹由偏导数的相容性，有

⏹对比式（b）和（c），可见这两个切应力可以用一个函数Φ表示为

⏹Φ称为扭转应力函数或普朗特函数。

●将应力分量式（8-17），（8-18）代入6个相容方程[教科书中式（8-13）]，其中前三式及最后一式自然满足，而其余二式成为

⏹再代入式（8-18），得

⏹由此得出

⏹C为特定常数。

●考虑边界条件：

扭转问题的全部边界均为应力边界条件，每边应有三个，如式（7-5）所示。

先来考察侧面边界条件：

在侧面上，方向余弦n=o，而力

。

将应力（8-17）代入三个应力边界条件（7-5），前两式自然满足，而第三式为

⏹将式（8-18）代入，并在边界上有l=dy/ds，m=-dx/ds（见第五章图5-2），有

⏹由此得到Φ，在边界上应为常数，又由于Φ中的常数不影响应力，取

⏹在杆的上下端，z=0是小边界面。

圣维南提出并应用圣维南原理，来处理边界条件：

即使z=0边界上，应力的主矢量和主矩，应分别等于面力的主矢量和主矩（数值相等，方向一致）。

对于空间问题，应用圣维南原理时应有六个主矢量和主矩的对等条件，即

⏹由于z=0面上，σz=0，因此，∑Fz，∑Mx，∑My的对等条件自然满足，而其余3个∑Fx，∑Fy和∑Mz的对等条件表示于教科书中§8-5中的式（c）、（d）和（e）三式。

这三个条件最后导出

⏹其中A为截面面积，其导出的过程表示于教科书中。

⏹由此，按应力求解扭转问题，已经归纳为求解一个扭转应力函数Φ（x，y），它应满足：

（1）区域A内的方程（8-19）；

（2）侧面上的边界条件（8-20）；（3）端面的边界条件（8-21）。

读者可以检验，上述应力分量已全部满足了按应力求解空间问题的所有条件。

⏹教科书中还导出了由应力求位移的过程，得出扭转问题的位移表达式，即

⏹其中K为单位柱体长度的扭角。

并且还得出

⏹对比方程（8-19），得出其中的常数C具有物理意义

⏹扭转问题中应力函数的自变量只有x，y二个，因此，扭转问题也属于二维问题。

●思考题

⏹试考虑：

上面建立的分析方法是精确的理论还是近似的理论，其中提出的一些假设是否完全成立？

●§8-6扭转问题的薄膜比拟

⏹对于物理现象不同但数学描述相同的问题，可以应用比拟方法来求解。

因为从数学上看，

它们的方程、边界条件及解法都是相同的。

⏹设薄膜很薄，只能承受拉力FT，而不能承受弯曲、压缩、扭转、剪切等作用。

若使薄膜张在水平边界上并受到微小的气体压力q，图8-4，则可建立薄膜的平衡方程和边界条件等，如教科书中所示。

⏹常截面杆的扭转问题和薄膜受气体压力的问题，两者的微分方程和边界条件是相同的，列表对比如下：

⏹

⏹从上表可见，这两个问题可以进行比拟：

扭转应力函数Φ对应于薄膜垂度z，扭转M对应于薄膜所包含的2倍体积2V，切应力对τzx对应于薄膜斜率iy，切应力τzy对应于薄膜斜率iy，切应力τzy对应于薄膜斜率-ix（注意τzy是z面上y向的切应力，而ix是薄膜曲面的x向斜率）。

因此，求解扭转问题可以化为求解薄膜垂度的问题。

⏹应用薄膜比拟方法，我们可以通过薄膜受力的实验来求扭转问题的解答；也可以应用薄膜比拟，来提出关于扭转应力函数的假设，从而可用半逆解法求解扭转问题的解答。

对于薄壁构件的扭转，则用薄膜比拟方法就可以直接求出其解答，而不必通过实验。

●§8-7椭圆截面杆的扭转

⏹扭转问题已归结为求一个扭转应力函数Φ，它应满足

⏹扭转问题的求解相对于平面问题，还是较为简单的。

式（a）是泊松方程，其中C是常数，因此其特解很容易表示，且C可以通过式（c）来求出；而其通解是调和函数，在数学上已有深入的研究。

⏹

对于椭圆截面杆问题，为了满足边界条件（b），即（Φ）s=0，可以直接将边界方程

中的因子纳入Φ中即可满足。

⏹教科书中求解了椭圆截面杆的问题，可以简单提几点：

●当a=b时，即得圆截面杆的解答。

●当a≠b时，采用薄膜比拟的方法可知，最大切应力发生在对应于薄膜有最大斜率处，因此，τmax应发生在短轴的边界上。

●由位移

可见，椭圆截面在变形后发生翘曲，不再保持为平面，因此，材料力学中的平面截面假设不再成立。

只有在圆截面时（a=b），平面截面的假设才是成立的。

●§8-8矩形截面杆的扭转

⏹

对于矩形截面杆的扭转，图8-6，教科书中分几点进行讨论。

●狭矩形截面杆（a≥b）的扭转

⏹对于矩形a≥b，从薄膜比拟方法来看，

（1）在边界条件中应主要考虑并满足长边（y=±b/2）的条件，而短边（x=±a/2）上的条件即使不满足，也只会影响两端的局部区域。

（2）在方程（8-23）中，应主要考虑y向的导数，可以忽略x向的导数，从而将方程简化为d2Φ/dy2=C。

由此，教科书中得出了狭矩形截面扭转的解答：

扭转应力函数是

⏹

⏹以及教科书中表示的切应力等的解答，即

⏹切应力

⏹最大切应力

⏹扭角

●一般矩形截面杆的扭转

⏹具体解法是，采用狭矩形解答为基础，再叠加一个修正解的方法，即令

⏹Φ1即为式（a）所示。

将Φ2代入扭转问题中应考虑的条件：

⏹即可导出修正解F应满足的条件：

⏹及

⏹从式（d）可见，F是调和函数。

由式（d）、（e）及（f）解出F，便得到一般矩形截面杆扭转的解答（具体用双曲函数和三角函数的级数表示）。

教科书中将简化的结果表示于式（8-34）和（8-35），以便于工程师应用。

●薄壁构件的扭转

⏹薄壁构件的截面都是狭矩形，可以从薄膜比拟方法直接找出其解答。

从薄膜比拟方法，我们可以得出几点结论：

⏹一个狭矩形截面上的切应力，扭角等的解答，可以直接引用本节1部分的解答式（8-30）~（8-32）。

⏹当狭矩形的宽度和长度相同时，对于直线形或曲线形的狭矩形截面，薄膜的变形是相似的，因此，它们的切应力和扭角等都相同。

⏹对于由一组薄壁杆件组成的构件，则由若干个狭矩形截面共同来承担扭矩。

这时，只需考虑：

a.各个截面的扭角K相同，b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，即

⏹便可解出（τi）max及Mi，K，M，结果表示于教科书中。

●闭口薄壁杆件的扭转

⏹应用薄壁比拟方法，同样可以求解闭口薄壁杆件的扭转问题。

设闭口薄壁杆的截面如图8-7a所示，薄壁杆的中心线长为s，中心线所包含的面积为A。

由于图示闭口截面为复连通域，取外边界s1上Φs1=0，则内边界s2上不再可以任意选择，应取s2上Φs1=h，如图所示。

在内边界s2上，相当于有一块无重刚性板悬挂于边界上，且受到q作用。

⏹

⏹由于切应力对应于薄膜的斜率，因此

⏹又有

⏹得

⏹由此得出闭口薄壁杆的切应力公式，