第八章空间问题的解答.docx

1、第八章 空间问题的解答 第八章 空间问题的解答 学习指导 本章介绍空间问题按位移求解的方法和按应力求解的方法，其思路和步骤与平面问题相似。读者可对照平面问题来学习和理解。 空间问题的位移法比应力法尤为重要。一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题；二是位移法的未知函数数目比应力法少，而在空间问题中，又没有如平面问题那样，有普遍性的应力函数存在。在近似解法中，位移法得到广泛的应用。 为了便于空间问题的求解，力学家和数学家提出了一些应力函数、位移势函数和位移函数等来表示应力或位移，使相应的微分方程得到简化，并从而得出了一些解答。但读者应注意，这些函数都是人为假定的和有局限性的，并不能作为问题的一

2、般解，因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在。 扭转问题是空间问题中的一个专门问题。扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。扭转问题的应力函数（x，y），是x，y坐标变量的函数，所以仍然是二维问题。 8-1 按位移求解空间问题 对于直角坐标系（x，y，z）中的一般空间问题，按位移求解的方法与平面问题相似，即 取u，v，w为基本未知函数。 将应变用位移来表示。可以引用几何方程（7-11）。 将应力用位移来表示。可以通过物理方程(7-14)，将应力先用应变来表示；再代入几何方程，从而得出 其中 将式（8-1）代入区域内的平衡微分方程（7-1），得到求解位移的基

3、本方程， 其中2是空间问题的拉普拉斯算子， 将式（8-1）代入应力边界条件（7-5），得出用位移表示的应力边界条件， 位移边界条件仍为 归纳起来讲，按位移求解空间问题，位移u，v，w必须满足（1）区域内的平衡微分方程（8-2），（2）s上的应力边界条件（8-4）和（3）su上的位移边界条件（8-5）。 在空间问题中，按位移求解比按应力求解尤为重要。原因是： 在平面问题中，按位移求解u，v两个未知函数，而按应力求解却有三个未知函数。但艾里导出了平面问题的应力函数并证明了它的存在性，使按应力求解转化为只求一个未知函数的问题。 在空间问题中，按应力求解包含6个未知函数，且没有可供简化的普遍性的应力函

4、数存在。而按位移求解只有三个未知函数，比应力法的未知函数的数目少得多。 用位移表示应力边界条件较为简单，因此位移法适用于各种边界条件的问题。而用应力表示位移边界条件时，要进行积分运算并包含了待定项，使表达式既复杂又不易求解，从而限制了应力法的应用。 在近似解法中，位移法得到了广泛的应用。 对于柱坐标（，z）中的空间轴对称问题，按照相似的步骤可以导出按位移求解的方程。按位移求解空间轴对称问题，包含两个未知的位移函数up和uz(u=0)，它们应满足：（1）区域内用位移表示的平衡微分方程，即教科书中式（8-4），（2）s上的应力边界条件（用位移表示），（3）su上的位移边界条件。由于和z坐标相互之间

5、不具有对等性，因此，和z对应的方程和边界条件也不具有对等性。 空间轴对称问题的边界面，通常都是和z坐标面，因此，边界条件也较为简单。 思考题 试导出空间问题中s上的应力边界条件（8-4）。 试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程，教科书中式（8-4），并将s上的应力边界条件（sp）,=用位移来表示。 8-2 半空间体受重力及均布压力 本题作为空间问题，按位移求解。其方法是，基本未知函数u，v，w应满足：（1）区域内的平衡微分方程（8-2），（2）s上的应力边界条件（8-4）和（3）su上的位移边界条件（8-5）。 对于具有对称性的问题，首先考虑对称性条件，能使问题预先得到很大的简化。本

6、题是半空间体的边界上，受有均布压力q，在体积内受有重力fz=g。从图8-1可见，任何x面和y面均为对称面，因此，可设定 然后进行求解： 将位移代入平衡微分方程（8-2），前两式自然满足，而第三式成为一个常微分方程，求出解答为 由式（b）及（a）求出应力分量，再代入z=0的应力边界条件 后两式自然满足，由第式解出A=g。读者应注意，在一般的空间问题的边界条件中，边界面是一个面，不再如平面问题的边界可简化为一条线；且边界条件应有三个，分别对应于x，y，z方向。 本题只有一个z=0的受面力的边界面，没有受约束的边界面su。但为了求出w中的刚体位移分量B，即 还需要考虑刚体约束条件，如书中所讨论。 侧

7、压力系数是 它表示侧面压力与铅直压力之比。我们可以进一步讨论如下： 当=1/2时，sx=sy=sz，此时已成为各向相同的应力状态。从本身来讲，大，则侧向变形大，侧向压力也大。=1/2，说明物体的刚度极小，柔度极大，实质上已与流体相同。 当=0时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极大，已与刚体相同。 按位移求解空间问题，也可以引用位移势函数和位移函数，以简化求解的方法。读者同样应注意，这些人为假定的位移势函数或位移函数，不具有普遍性，只能用来解决某些问题。但作为解决问题的思路和方法，是值得我们参考和借鉴的。 用位移势函数求解空间问题 假设位移u，v，w是有势的函数，它们可以分别用位移势函数（

8、x，y，z）的导数来表示，即 将上式代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），若不计体力，则得 式（a）可以归并为 其中C为任意常数。若取C=0，则上式成为拉普拉斯方程，为调和函数，即 将式（8-6）代入应力公式（8-1），则应力也可以用位移势函数表示为 求解的方法是：（1）由2=0求出势函数；（2）由求位移式（8-6）及应力式（8-8）；（3）使位移和应力满足s和su上的边界条件。 位移势函数的局限性是，是人为假定的，且相应的体积应变=2=0，因此，它只适用于弹性体内各点均无体积应变的情形（如纯剪切问题）。 用伽辽金位移函数求解空间问题 伽辽金假定位移可以表示如下形式， 其中，均为x，y，z函

9、数。由于（x，y，z）具有对等性，上式也用对等的公式表示。 将位移表达式（8-9）代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），若不计体力，则得 式（8-10）是，应满足的方程，可见它们都是重调和函数。 应力也可以用位移函数来表示。于是，求解空间问题的位移u，v，w就化为求解，函数的问题，它们都应满足重调和方程（8-10），并在边界上满足相应的边界条件。引用这种位移函数，其未知函数的数目并没有减少，但使它们应满足的方程简化了。 力学家曾应用上述位移势函数和位移函数解出一些空间问题的解答，有时还采用二者组合的方式来求解空间问题。 思考题 如果图8-1的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何

10、按位移求解？ 若将空间问题的伽辽金位移函数向平面应变问题简化，将得出什么形式的表达式？再转向为平面应力问题，又将得出什么形式的表达式？并与平面问题的位移函数相比较（见第二章小结）。 试由伽迪金位移函数的表达式（8-9），导出式（8-10）。 8-3 半空间体在边界上受法向集中力 图8-2表示半空间体在边界上受一法向集中力的问题。显然，它属于空间轴对称问题。采用按位移求解的方法，其基本未知函数u和uz只是和z的函数，它们应满足： 两个用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，见教科书8-3中式（a）。 半空间体只有一个水平边界面z=0，且为应力边界条件。由于在O点有集中力F作用，因此，边界条件应

11、分为两部分考虑：a.除原点以外的表面上，有 应用圣维南原理来处理O点附近小边界上的条件，取出z=0z的一片薄板，考虑其平衡条件 这里应注意，在空间轴对称问题中，应力边界条件也退化为2个，对应于和z方向。在考虑z=0z板的平衡条件时，应有6个条件，Fz=0，Fy=0，Fz=0和Mx=0，My=0，Mz=0，但由于位移和应力已经满足了轴对称条件，因此，除式（b）外其余的平衡条件都已自然满足。 教科书中的解答（8-6）和（8-7）满足了上述全部条件，因而，它们是该问题之解。这个解答用于按连杆法求解基础梁板的空间问题，如教科书中所述。 上述半空间体受法向集中力的问题，是应用空间轴对称问题的位移势函数和

12、拉甫位移函数而得出解答的。在按位移求解中采用这些函数来表示位移，可以使空间轴对称问题得到简化，介绍如下。 对于空间轴对称问题，当不计体力时，位移分量可以用位移势函数（，z）表示为 代入用位移表示的空间轴对称的平衡微分方程，见教科书8-3中式（a），若不计体力，得 这两式可归结为2=C，若取C=0，则位移势函数应满足拉普拉斯方程 其中 相应于式（8-11）的应力分量为 于是，按位移势函数求解时，应满足拉普拉斯方程（8-12），并在边界上满足位移或应力的边界条件。采用位移势函数的局限性，如同平面问题中的位移势函数一样，仍然是体积应变为零，即 引用拉甫位移函数求解空间轴对称问题 拉甫引用位移函数（，

13、z）来表示位移分量， 代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，两式都得出 将式（8-14）代入几何和物理方程，便可得出应力用表示的表达式， 于是，对于空间轴对称问题，可以引用位移函数来进行求解。应满足重调和方程（8-15），并在边界上满足位移或应力边界条件。 思考题 试由位移势函数的表达式（8-11），导出式（8-12）。 试由拉甫位移函数的表达式（8-14），导出式（8-15）。 8-4 按应力求解空间问题 弹性力学中各类问题的基本方程和边界条件，以及基本解法都是相似的，其区别主要在于未知函数和方程数目的多少。 按应力求解空间问题，可以按相似于平面问题的步骤导出其基本微分方程。在直角坐

14、标系中， 取x，yz，应力分量为基本未知函数。 形变分量可以通过物理方程（7-13）用应力来表示。而位移分量要通过对形变分量的积分才能用应力来表示，这样又出现了待定的积分函数。因此，对于有位移边界条件（或者有混合边界条件以及多连体中的位移单值条件）的问题，其中的位移用应力来表示时既复杂又难以求解。所以，按应力求解函数式解答时，也只解全部为应力边界条件的问题（s=s，su=0）。 在区域V内导出求应力的基本方程： 三个平衡微分方程（7-1），只包含应力分量，可以作为求解的基本方程。 其余的方程可以从几何方程中消去位移分量，导出变形之间的关系式，即形变协调条件，或称为相容方程，表示于教科书中的式（

15、8-10）和（8-11）。然后，再通过物理方程消去形变分量，从而导出只含应力的相容方程，即书中的式（8-12）或在无体力情况下的式*8-13。 假设全部边界条件都为应力边界条件，s=s，则在边界上应满足应力边界条件（7-5）。 归纳起来讲，按应力求解空间问题时，6个应力分量在区域V内应满足3个平衡微分方程（7-1）和教科书中的6个相容方程（8-12）或（8-13）；在边界上应满足3个应力边界条件（假设全部为应力边界条件，s=s）。此外。若为多连体，还应满足位移的单值条件。 对于空间问题的相容方程，可作以下几点说明： 物体在满足连续性的条件下，可以导出形变和位移之间的几何关系式几何方程，并从而导

16、出形变之间的相容方程。因此，相容方程是物体变形后保持连续性的必然结果。 如果形变分量满足上述六个相容方程，则形变分量对应的位移存在且连续性的必要条件。如果形变分量不满足相容方程，则此组形变不能保证弹性体在变形后的连续性，因此，它们不是弹性体的实际形变，对应的位移也不存在。这部分的证明可参见参考文献8（P.49-57）。 相容方程是如何导出的，且必须有六个，还可以有多种方法证明，如从变分方程导出相容方程（见参考文献7，P.303-308）；又如根据位移的连续性条件，其导数必然存在而且相容多元函数的导数具有相容性，可以交换求导的次序，如，从而可以导出相容方程（见参考文献13），等。 按应力求解空间

17、问题，其基本未知函数是6个应力分量。这6个应力分量必须在区域内满足3个平衡微分方程和6个相容方程。应当说明的是，在微分方程中未知函数的数目和方程的数目并不一定相等。 我们可以举一例来说明：微分方程 的解是f=A+Bx。对上式求导一次。则由上式得出新的方程 其解是f=A+Bx+Cx2。由此可见，虽然式（b）是从式（a）导出的，但式（b）的解答比式（a）增加了，增加的解答Cx2却不是原方程（a）的解。因此，与代数方程的幂次提高后会出现增根的现象相似，微分方程的阶数提高也会出现增加解答的现象。 对比相容方程和几何方程：几何方程中只出现形变分量本身，而在相容方程中，形变分量以二阶导数的形式出现。因此，

18、相容方程中形变分量的导数阶数的提高，必然增加出新的解答，但它们不是原几何方程的解答。这时，增加的微分方程数目正好用来限制并排除对于原方程的多余的解。 在按位移求解弹性力学问题时，未知函数是位移分量，它们应满足的条件是：（1）区域内的平衡微分方程，（2）s上的应力边界条件，（3）su上的位移边界条件。其中（1）、（2）都是属于静力平衡条件（分别表示区域内和s边界上的微分体的平衡），而（3）是属于位移连续性条件，即在su边界上位移与约束的连续性条件。在位移变分法中，令su上的位移边界条件预先满足（在设定u，v试函数时强迫满足），而（1）、（2）的静力条件则由位移变分方程来反映。 在按应力求解弹性力

19、学问题时，未知函数是应力分量，它们应满足：（1）区域内的平衡微分方程，（2）区域内的相容方程，（3）s上的应力边界条件，（4）su上的位移边界条件，（5）多连体中的位移单值条件。其中（1）、（3）是静力平衡条件；而（2）、（4）及（5）都是位移连续性条件。相容方程是区域内的位移连续性条件，位移单值条件是多连体中的位移连续性条件。在应力变分法中，取应力分量为基本未知函数，在设定应力的试函数时，令它们预先满足静力平衡条件（1）和（3），而其余的条件由应力变分方程来反映。 在按应力求解空间问题中，力学家也提出了几种应力函数以简化问题的求解。当然这些应力函数不具有普遍性，是人为假定的。例如，麦克斯韦提

20、出下列应力函数 令 此组应力分量（c）能完全满足无体力的平衡微分方程（7-1）。因此，1，2，3只须满足相容方程及边界条件等就可以了。 此外，力学家还提出了其他几种应力函数，读者可参见参考文献6，7。 思考题 试考虑：从空间问题的相容方程，可以导出平面应变问题的相容方程，却不能直接导出平面应力问题的相容方程，为什么？ 提示：见例题4。 在表面均受到法向压力q作用的任意形状空间体，其应力分量是x=y=z=-q，yz=zx=xy=0。试证明这些应力分量是该问题之解（对于多连体还应满足位移单值条件）。 8-5 等截面直杆的扭转 如同平面问题是空间问题的一个特例，扭转问题也是一个特殊的空间问题。根据扭

21、转问题的特性来简化空间问题的基本方程和边界条件，就建立了扭转问题的基本理论。扭转问题是机械工程中的一个基本力学问题，早在1854-1856年圣维南就发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，开创了这方面的工作，并在其中提出和应用了圣维南原理。 扭转问题的提出，可归纳为：（1）等截面的柱体；（2）无体力作用，fx=fy=fz=0；（3）柱体的侧面无任何面力作用，而在柱体的上下端面上有面力作用，并合成为一对大小相等，方向相反的力矩M，图8-3。 扭转问题属于空间问题，采用按应力求解空间问题的解法进行研究。按应力求解空间问题时，其基本未知函数为6个应力分量，它们应满足3个平衡微分方程（7-1），6个相容方程见

22、教科书中式（8-13）和边界条件。下面来介绍扭转问题基本理论的建立。 由于两端面（z面）无面力，所以可认为z=0。在侧面上无任何面力，所以可认为x=y=z=xy=0。由此，在扭转问题中假设 因此，只有zx和zy两个应力分量。应力应满足平衡微分方程，将式（8-17）代入平衡微分方程（7-1），其中的体力均为零，得 由前两式得出，zx和zy仅为（x，y）的函数，而第三式可写成 由偏导数的相容性，有 对比式（b）和（c），可见这两个切应力可以用一个函数表示为 称为扭转应力函数或普朗特函数。 将应力分量式（8-17），（8-18）代入6个相容方程教科书中式（8-13），其中前三式及最后一式自然满足，而

23、其余二式成为 再代入式（8-18），得 由此得出 C为特定常数。 考虑边界条件：扭转问题的全部边界均为应力边界条件，每边应有三个，如式（7-5）所示。先来考察侧面边界条件：在侧面上，方向余弦n=o，而力。将应力（8-17）代入三个应力边界条件（7-5），前两式自然满足，而第三式为 将式（8-18）代入，并在边界上有l=dy/ds，m=-dx/ds（见第五章图5-2），有 由此得到，在边界上应为常数，又由于中的常数不影响应力，取 在杆的上下端，z=0是小边界面。圣维南提出并应用圣维南原理，来处理边界条件：即使z=0边界上，应力的主矢量和主矩，应分别等于面力的主矢量和主矩（数值相等，方向一致）。对

24、于空间问题，应用圣维南原理时应有六个主矢量和主矩的对等条件，即 由于z=0面上，z=0，因此，Fz，Mx，My的对等条件自然满足，而其余3个Fx，Fy和Mz的对等条件表示于教科书中8-5中的式（c）、（d）和（e）三式。这三个条件最后导出 其中A为截面面积，其导出的过程表示于教科书中。 由此，按应力求解扭转问题，已经归纳为求解一个扭转应力函数（x，y），它应满足：（1）区域A内的方程（8-19）；（2）侧面上的边界条件（8-20）；（3）端面的边界条件（8-21）。读者可以检验，上述应力分量已全部满足了按应力求解空间问题的所有条件。 教科书中还导出了由应力求位移的过程，得出扭转问题的位移表达式

25、，即 其中K为单位柱体长度的扭角。并且还得出 对比方程（8-19），得出其中的常数C具有物理意义 扭转问题中应力函数的自变量只有x，y二个，因此，扭转问题也属于二维问题。 思考题 试考虑：上面建立的分析方法是精确的理论还是近似的理论，其中提出的一些假设是否完全成立？ 8-6 扭转问题的薄膜比拟 对于物理现象不同但数学描述相同的问题，可以应用比拟方法来求解。因为从数学上看，它们的方程、边界条件及解法都是相同的。 设薄膜很薄，只能承受拉力FT，而不能承受弯曲、压缩、扭转、剪切等作用。若使薄膜张在水平边界上并受到微小的气体压力q，图8-4，则可建立薄膜的平衡方程和边界条件等，如教科书中所示。 常截面

26、杆的扭转问题和薄膜受气体压力的问题，两者的微分方程和边界条件是相同的，列表对比如下： 从上表可见，这两个问题可以进行比拟：扭转应力函数对应于薄膜垂度z，扭转M对应于薄膜所包含的2倍体积2V，切应力对zx对应于薄膜斜率iy，切应力zy对应于薄膜斜率iy，切应力zy对应于薄膜斜率-ix（注意zy是z面上y向的切应力，而ix是薄膜曲面的x向斜率）。因此，求解扭转问题可以化为求解薄膜垂度的问题。 应用薄膜比拟方法，我们可以通过薄膜受力的实验来求扭转问题的解答；也可以应用薄膜比拟，来提出关于扭转应力函数的假设，从而可用半逆解法求解扭转问题的解答。对于薄壁构件的扭转，则用薄膜比拟方法就可以直接求出其解答，

27、而不必通过实验。 8-7 椭圆截面杆的扭转 扭转问题已归结为求一个扭转应力函数，它应满足 扭转问题的求解相对于平面问题，还是较为简单的。式（a）是泊松方程，其中C是常数，因此其特解很容易表示，且C可以通过式（c）来求出；而其通解是调和函数，在数学上已有深入的研究。 对于椭圆截面杆问题，为了满足边界条件（b），即（）s=0，可以直接将边界方程中的因子纳入中即可满足。 教科书中求解了椭圆截面杆的问题，可以简单提几点： 当a=b时，即得圆截面杆的解答。 当ab时，采用薄膜比拟的方法可知，最大切应力发生在对应于薄膜有最大斜率处，因此，max应发生在短轴的边界上。 由位移可见，椭圆截面在变形后发生翘曲，

28、不再保持为平面，因此，材料力学中的平面截面假设不再成立。只有在圆截面时（a=b），平面截面的假设才是成立的。 8-8 矩形截面杆的扭转 对于矩形截面杆的扭转，图8-6，教科书中分几点进行讨论。 狭矩形截面杆（ab）的扭转 对于矩形ab，从薄膜比拟方法来看，（1）在边界条件中应主要考虑并满足长边（y=b/2）的条件，而短边（x=a/2）上的条件即使不满足，也只会影响两端的局部区域。（2）在方程（8-23）中，应主要考虑y向的导数，可以忽略x向的导数，从而将方程简化为d2/dy2=C。由此，教科书中得出了狭矩形截面扭转的解答：扭转应力函数是 以及教科书中表示的切应力等的解答，即 切应力 最大切应力

29、 扭角 一般矩形截面杆的扭转 具体解法是，采用狭矩形解答为基础，再叠加一个修正解的方法，即令 1即为式（a）所示。将2代入扭转问题中应考虑的条件： 即可导出修正解F应满足的条件： 及 从式（d）可见，F是调和函数。由式（d）、（e）及（f）解出F，便得到一般矩形截面杆扭转的解答（具体用双曲函数和三角函数的级数表示）。教科书中将简化的结果表示于式（8-34）和（8-35），以便于工程师应用。 薄壁构件的扭转 薄壁构件的截面都是狭矩形，可以从薄膜比拟方法直接找出其解答。从薄膜比拟方法，我们可以得出几点结论： 一个狭矩形截面上的切应力，扭角等的解答，可以直接引用本节1部分的解答式（8-30）（8-3

30、2）。 当狭矩形的宽度和长度相同时，对于直线形或曲线形的狭矩形截面，薄膜的变形是相似的，因此，它们的切应力和扭角等都相同。 对于由一组薄壁杆件组成的构件，则由若干个狭矩形截面共同来承担扭矩。这时，只需考虑：a.各个截面的扭角K相同，b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，即 便可解出(i)max及Mi，K，M，结果表示于教科书中。 闭口薄壁杆件的扭转 应用薄壁比拟方法，同样可以求解闭口薄壁杆件的扭转问题。设闭口薄壁杆的截面如图8-7a所示，薄壁杆的中心线长为s，中心线所包含的面积为A。由于图示闭口截面为复连通域，取外边界s1上s1=0，则内边界s2上不再可以任意选择，应取s2上s1=h，如图所示。在内边界s2上，相当于有一块无重刚性板悬挂于边界上，且受到q作用。 由于切应力对应于薄膜的斜率，因此 又有 得 由此得出闭口薄壁杆的切应力公式，