直线PA的方程为y－1＝x，
所以xM＝，即M.
（2）因为点B与点A关于x轴对称，所以B（m，－n）．
设N（xN,0），则xN＝.
“存在点Q（0，yQ）使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q（0，yQ）使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.
因为xM＝，xN＝，＋n2＝1，
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ.点Q的坐标为（0，）或（0，－）．
7．如图，椭圆E：
＋＝1（a>b>0）的离心率是，过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解
（1）由已知，点（，1）在椭圆E上，因此，解得a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
（2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为（0，y0）．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为（0，），（0，－）．
由＝，有＝，解得y0＝1或y0＝2.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（0,2）．
下面证明：
对任意直线l，均有＝.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
联立得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝（4k）2＋8（2k2＋1）>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因此＋＝＝2k.
易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为（－x2，y2）．
又kQA＝＝＝k－，
kOB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线．
所以＝＝＝.
故存在与P不同的定点Q（0,2），使得＝恒成立．
8．已知抛物线C1：
x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：
＋＝1（a>b>0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.
（1）求C2的方程；
（2）过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
①|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M.证明：
直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
解
（1）由C1：
x2＝4y知其焦点F的坐标为（0,1）．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②
联立①，②得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为＋＝1.
（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
①因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是（x1＋x2）2－4x1x2＝（x3＋x4）2－4x3x4.③
设直线方程有两种形式，第一种，y＝kx＋m，注意斜率不存在的情况；第二种，x＝ty＋n.注意与x轴平行的情况．
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得（9＋8k2）x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④，⑤代入③，得16（k2＋1）＝＋，
即16（k2＋1）＝，
所以（9＋8k2）2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
②证明：
由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝（x－x1），即y＝－.
令y＝0得x＝，即M，所以＝.而＝（x1，y1－1），于是·＝－y1＋1＝＋1>0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
9．已知抛物线C：
y2＝2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
②△ABE的面积是否存在最小值？
若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解
（1）由题意知F，
设D（t,0）（t>0），则FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3（舍去）．由＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
（2）①证明：
由
（1）知F（1,0）．
设A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD,0）（xD>0），
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1.
由xD>0得xD＝x0＋2，故D（x0＋2,0）．故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E（xE，yE），则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝（x－x0），
由y＝4x0，整理可得y＝（x－1），
直线AE恒过点F（1,0）．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F（1,0）．
所以直线AE过定点F（1,0）．
②由①知直线AE过焦点F（1,0），
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝（x0＋1）＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A（x0，y0）在直线AE上，故m＝.
设B（x1，y1），直线AB的方程为y－y0＝－（x－x0），
由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝＝4.
则△ABE的面积S＝×4·≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
10．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作
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