MATLAB编程基础及应用第四章.docx
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MATLAB编程基础及应用第四章
第4章符号运算
符号运算时数学计算的中国农药内容，特点是不带来计算误差，希望认真掌握本章内容。
第1节符号变量的创建
（1）直接用引号‘’创建（包括代数式）。
（2）用函数sym（‘’）创建（包括代数）。
注意：
1）上述两种方法创建的符号变量所占空间不同
2）符号代数式中的符号应另行创建。
例如：
y=sym（'a*x^2+b'）中，计算机智能识别单引号中的字符串，不能识别字符串中的部分字符，比如字符a,x,b等。
（3）‘’中包括的空格等都视为符号。
（4）已创建的符号变量及代数式可以进行赋值。
（5）用函数syms串讲多符号变量，变量之间用空格分开。
此方法一般只用于多符号变量的创建。
（6）可用上述方法创建符号矩阵与复数型符号变量。
第2节符号函数的运算
对符号函数进行运算，首先必须
（1）定义符号变量。
（2）定义符号函数。
1.函数求极限
（1）findsym（f,n）查找函数f的变量次序，n是查找变量的个数。
（2）limit（f,x,a）。
对于符号函数f，求当变量x趋近于a时的极限值。
对独立变量的函数f，x可省略。
对多变量的函数f，变量x不可省。
如果省略，计算机则按排序的第一个变量求极限。
（e17t）
（3）limit（f,x,a,'right'）,
（4）limit（f,x,a,'left'）,
（5）limit（f,x,a,'inf'）,
求
（e18t）
（e17t）
symsxabc
f=sym（'a*x^2+b*x+c'）
findsym（f,4）
y
（1）=limit（f,x,1）;
y
（2）=limit（f,1）;
y（3）=limit（f,a,2）;
y（4）=limit（f,b,1）;
y
（e18t）
symsx
f=sym（'ln（1+2*x）/sin（3*x）'）
a=limit（f,0）
（a其实是由符号组成，只是符号中没有包含变量）
2.微分与积分的运算
对可微函数f
（1）微分：
diff（f,v,n）。
函数f中对符号变量v求n阶微分。
当变量v和阶次n省略时，表示对单变量的函数求一节微分。
对可积函数f（原函数存在）
（2）积分：
int（f,v,a,b）。
函数f中队符号变量v求定积分，a和b分别是积分的上下限。
int（f,v）。
对变量v求不定积分。
（exno19t）
（e19t）
symsx
f=sym（'x/（cos（x））^2'）
y1=diff（f）
y2=int（f,0,1）
3.梯度函数fradient
（1）如果F是一维矩阵，则FX=grdient（F,H）返回F的一维数值梯度。
H是F中相邻两点间的间距。
（2）如果F是二维矩阵，返回F的二维梯度数值。
[fx,fy]=gradient（f,hx,hy）。
hx，hy参数表示各方向相邻两点间的距离。
（3）如果f是三维矩阵，返回f的三维数值梯度。
[fx,fy,fz]=gradient（f,hx,hy,hz）。
hx,hy,hz参数表示各方向相邻两点的距离。
（exno
18tt）
（e18tt）
x=[123;631;312]
[ex,ey]=gradient（x,0.5,0.2）
练习4-2
平面上温度的分布为：
T（x,y）=xe-x2-y2
用灰度图反映
（1）平面上温度的分布。
（2）平面上温度梯度的分布。
（exno20t）（exno14）
需要掌握：
（1）两个自变量矩阵x，y的构造
（2）函数梯度的求解方法。
（e20t）
xx=-2:
0.05:
2;
yy=-2:
0.05:
2;
[x,y]=meshgrid（xx,yy）;%将单变量构造网格矩阵
%x和y都是a*b（a是y的列数）x每行都相等，列变化与xx相同。
%y是每列都相等，行变化与yy的转置一样
t=x.*exp（-x.^2-y.^2）;%平面上的温度分布
[px,py]=gradient（t,0.05,0.05）;%平面上的温度梯度（两个方向）
td=sqrt（px.^2+py.^2）;%平米昂上的温度梯度的大小
subplot（221）%
imagesc（t）%作平面上的温度的分布图
subplot（222）
imagesc（td）%
colormap（'gray'）%颜色矩阵
4.符号代数方程（组）的求解solve
（1）定义符号变量。
（2）定义符号方程（组）
（3）求解方程（组）
格式一变量输出方式：
[x1,x2,...xn]=solve（eq1,eq2,...e1n,x1,x2,...xn）
格式二结构输出方式
V=solve（eq1,eq2,...eq3,x1,x3,...xn）
eq1....是符号方程x1....是求解未知数
练习4-3
求解方程组
注意：
结构输出方式的现实为v.x1或v.x2V为结构输出的变量名（exno21t）
（e21t）
symsx1x2a
eq1=sym（'x1^2+x2=a'）;
eq2=sym（'x1-a*x2=a'）;
[x1x2]=solve（eq1,eq2,x1,x2）
v=solve（eq1,eq2）
v.x1
v.x2
an1=x1
（1）,an2=x1
（2）
an3=x2
（1）,an4=x2
（2）
5.符号微分方程（组）的求解dsolve
符号微分方程（组）可以直接求解，调用格式为
格式1函数输出方程
[y1,y2,...]=dsolve（'方程1，方程2。
。
。
','初条件1，初条件2。
。
。
','自变量'）
格式2结构输出方程
V=dsolve（'方程1，方程2。
。
。
','初条件1，初条件2。
。
。
','自变量'）
注：
当初条件和自变量省略时，解函数默认为自变量为t，并含有积分常数
练习4-4
（1）求解微分方程
y（0）=1
格式1函数输出方式
[y]=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）
格式2结构输出方程
s=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）（exno22t）
注意微分算符的表达（答谢字母D），高阶为D2，D3。
。
。
（e22t）
[y]=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）
s=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）
[u]=dsolve（'Du=-a*u','u（0）=1'）
w=dsolve（'Du=-a*u','u（0）=1'）
（2）求解微分方程组
（exno23）
特别需要注意的是，不是任何微分方程都能进行微分方程的求解，五解析解的微分方程需要用数值求解的方法记性，有关问题将在后面介绍。
（e23）
[u,w]=dsolve（'Du=-a*w,Dw=sin（z）','u（0）=1,w（0）=0','z'）
v=dsolve（'Du=-a*w,Dw=sin（z）','u（0）=1,w（0）=0','z'）
6.符号变量与数值变量的转换
符号变量的运算结果仍然是符号，需要进行数值转化，有下面的相关函数：
（1）vpa（f,d）：
将符号函数f进行数值转换，有效位数为d。
（2）double（f）：
将不含自由变量的符号函数f做数值变换，有效位数固定为5位。
（3）sbus（f,old,new）：
将符号表达式中f中的自由变量名为old替换为新变量名new。
注意：
符号函数f中的自由变量时指非阿拉伯数值字符的符号变量。
练习4-5求下列函数的根
y=x2-x3-1（exno13）
（e13）
symsx
f=sym（'-x^3+x^2-1=0'）
v=solve（f）
w=vpa（v,2）
u=double（v）
第5章符号运算
符号运算时数学计算的中国农药内容，特点是不带来计算误差，希望认真掌握本章内容。
第2节符号变量的创建
（3）直接用引号‘’创建（包括代数式）。
（4）用函数sym（‘’）创建（包括代数）。
注意：
3）上述两种方法创建的符号变量所占空间不同
4）符号代数式中的符号应另行创建。
例如：
y=sym（'a*x^2+b'）中，计算机智能识别单引号中的字符串，不能识别字符串中的部分字符，比如字符a,x,b等。
（7）‘’中包括的空格等都视为符号。
（8）已创建的符号变量及代数式可以进行赋值。
（9）用函数syms串讲多符号变量，变量之间用空格分开。
此方法一般只用于多符号变量的创建。
（10）可用上述方法创建符号矩阵与复数型符号变量。
第3节符号函数的运算
对符号函数进行运算，首先必须
（3）定义符号变量。
（4）定义符号函数。
2.函数求极限
（6）findsym（f,n）查找函数f的变量次序，n是查找变量的个数。
（7）limit（f,x,a）。
对于符号函数f，求当变量x趋近于a时的极限值。
对独立变量的函数f，x可省略。
对多变量的函数f，变量x不可省。
如果省略，计算机则按排序的第一个变量求极限。
（e17t）
（8）limit（f,x,a,'right'）,
（9）limit（f,x,a,'left'）,
（10）limit（f,x,a,'inf'）,
求
（e18t）
（e17t）
symsxabc
f=sym（'a*x^2+b*x+c'）
findsym（f,4）
y
（1）=limit（f,x,1）;
y
（2）=limit（f,1）;
y（3）=limit（f,a,2）;
y（4）=limit（f,b,1）;
y
（e18t）
symsx
f=sym（'ln（1+2*x）/sin（3*x）'）
a=limit（f,0）
（a其实是由符号组成，只是符号中没有包含变量）
3.微分与积分的运算
对可微函数f
（3）微分：
diff（f,v,n）。
函数f中对符号变量v求n阶微分。
当变量v和阶次n省略时，表示对单变量的函数求一节微分。
对可积函数f（原函数存在）
（4）积分：
int（f,v,a,b）。
函数f中队符号变量v求定积分，a和b分别是积分的上下限。
int（f,v）。
对变量v求不定积分。
（exno19t）
（e19t）
symsx
f=sym（'x/（cos（x））^2'）
y1=diff（f）
y2=int（f,0,1）
4.梯度函数fradient
（4）如果F是一维矩阵，则FX=grdient（F,H）返回F的一维数值梯度。
H是F中相邻两点间的间距。
（5）如果F是二维矩阵，返回F的二维梯度数值。
[fx,fy]=gradient（f,hx,hy）。
hx，hy参数表示各方向相邻两点间的距离。
（6）如果f是三维矩阵，返回f的三维数值梯度。
[fx,fy,fz]=gradient（f,hx,hy,hz）。
hx,hy,hz参数表示各方向相邻两点的距离。
（exno
18tt）
（e18tt）
x=[123;631;312]
[ex,ey]=gradient（x,0.5,0.2）
练习4-2
平面上温度的分布为：
T（x,y）=xe-x2-y2
用灰度图反映
（3）平面上温度的分布。
（4）平面上温度梯度的分布。
（exno20t）（exno14）
需要掌握：
（1）两个自变量矩阵x，y的构造
（2）函数梯度的求解方法。
（e20t）
xx=-2:
0.05:
2;
yy=-2:
0.05:
2;
[x,y]=meshgrid（xx,yy）;%将单变量构造网格矩阵
%x和y都是a*b（a是y的列数）x每行都相等，列变化与xx相同。
%y是每列都相等，行变化与yy的转置一样
t=x.*exp（-x.^2-y.^2）;%平面上的温度分布
[px,py]=gradient（t,0.05,0.05）;%平面上的温度梯度（两个方向）
td=sqrt（px.^2+py.^2）;%平米昂上的温度梯度的大小
subplot（221）%
imagesc（t）%作平面上的温度的分布图
subplot（222）
imagesc（td）%
colormap（'gray'）%颜色矩阵
5.符号代数方程（组）的求解solve
（4）定义符号变量。
（5）定义符号方程（组）
（6）求解方程（组）
格式一变量输出方式：
[x1,x2,...xn]=solve（eq1,eq2,...e1n,x1,x2,...xn）
格式二结构输出方式
V=solve（eq1,eq2,...eq3,x1,x3,...xn）
eq1....是符号方程x1....是求解未知数
练习4-3
求解方程组
注意：
结构输出方式的现实为v.x1或v.x2V为结构输出的变量名（exno21t）
（e21t）
symsx1x2a
eq1=sym（'x1^2+x2=a'）;
eq2=sym（'x1-a*x2=a'）;
[x1x2]=solve（eq1,eq2,x1,x2）
v=solve（eq1,eq2）
v.x1
v.x2
an1=x1
（1）,an2=x1
（2）
an3=x2
（1）,an4=x2
（2）
6.符号微分方程（组）的求解dsolve
符号微分方程（组）可以直接求解，调用格式为
格式1函数输出方程
[y1,y2,...]=dsolve（'方程1，方程2。
。
。
','初条件1，初条件2。
。
。
','自变量'）
格式2结构输出方程
V=dsolve（'方程1，方程2。
。
。
','初条件1，初条件2。
。
。
','自变量'）
注：
当初条件和自变量省略时，解函数默认为自变量为t，并含有积分常数
练习4-4
（3）求解微分方程
y（0）=1
格式1函数输出方式
[y]=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）
格式2结构输出方程
s=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）（exno22t）
注意微分算符的表达（答谢字母D），高阶为D2，D3。
。
。
（e22t）
[y]=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）
s=dsolve（'Dy=-a*y','y（0）=1','x'）
[u]=dsolve（'Du=-a*u','u（0）=1'）
w=dsolve（'Du=-a*u','u（0）=1'）
（4）求解微分方程组
（exno23）
特别需要注意的是，不是任何微分方程都能进行微分方程的求解，五解析解的微分方程需要用数值求解的方法记性，有关问题将在后面介绍。
（e23）
[u,w]=dsolve（'Du=-a*w,Dw=sin（z）','u（0）=1,w（0）=0','z'）
v=dsolve（'Du=-a*w,Dw=sin（z）','u（0）=1,w（0）=0','z'）
7.符号变量与数值变量的转换
符号变量的运算结果仍然是符号，需要进行数值转化，有下面的相关函数：
（4）vpa（f,d）：
将符号函数f进行数值转换，有效位数为d。
（5）double（f）：
将不含自由变量的符号函数f做数值变换，有效位数固定为5位。
（6）sbus（f,old,new）：
将符号表达式中f中的自由变量名为old替换为新变量名new。
注意：
符号函数f中的自由变量时指非阿拉伯数值字符的符号变量。
练习4-5求下列函数的根
y=x2-x3-1（exno13）
（e13）
symsx
f=sym（'-x^3+x^2-1=0'）
v=solve（f）
w=vpa（v,2）
u=double（v）
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