甘肃省兰州市第一中学学年高一数学下学期期中试题.docx
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甘肃省兰州市第一中学学年高一数学下学期期中试题
兰州一中2018-2019-2学期期中考试试题
高一数学
说明：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）
1．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，那么θ在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若420°角的终边所在直线上有一点（－4，a），则a的值为（ ）
A．4B．－4C．±4D．
3．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于（ ）
A．0B．2C．4D．14
5．圆x2＋y2－4x＝0在点P（1，）处的切线方程为（ ）
S=1
i=3
WHILEi<_________
S=S*i
i=i+2
WEND
PRINTS
END
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x－y＋4＝0D．x＋y－4＝0
6．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．右边图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是（ ）
A．13B．13.5C．14D．14.5
7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x、y，则
的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．设某大学的女生体重y（单位：
kg）与身高x（单位：
cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
9．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．（x－2）2＋（y＋1）2＝1B．（x－2）2＋（y＋1）2＝4
C．（x＋4）2＋（y－2）2＝4D．（x＋2）2＋（y－1）2＝1
10．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：
先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458569 683
431 257 393 027 556 488730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7B．9C．10D．15
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．）
13．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
14．
已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．
15．如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数
，输出A，B，若输入的N为20，
依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A－B=________．
16．当曲线y＝1＋与直线y＝k（x－2）＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是________________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
18．（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
（1）求线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从
（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
（利润＝销售收入－成本）
19．（本小题满分12分）某地区100位居民的人均月用水量（单位：
t）的分组及各组的频数如下：
[0，0.5），4；[0.5，1），8；[1，1.5），15；
[1.5，2），22；[2，2.5），25；[2.5，3），14；
[3，3.5），6；[3.5，4），4；[4，4.5），2．
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
（3）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？
为什么？
20．（本小题满分12分）已知圆C：
（x＋2）2＋y2＝1，P（x，y）为圆C上任一点．
（1）求的最大值与最小值；
（2）求x－2y的最大值与最小值．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝－x2＋ax－b．
（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
（2）若a，b都是从区间[0，4]上任取的一个数，求f
（1）>0成立的概率．
22．（本小题满分12分）已知直线l：
y＝kx＋1，圆C：
（x－1）2＋（y＋1）2＝12．
（1）试证明：
不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．
兰州一中2018-2019-2学期期中考试试题
高一数学
说明：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）
1．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，那么θ在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案 B
2．若420°角的终边所在直线上有一点（－4，a），则a的值为（ ）
A．4B．－4C．±4D．
答案 B
3．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案 D
4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于（ ）
A．0B．2C．4D．14
答案 B
5．圆x2＋y2－4x＝0在点P（1，）处的切线方程为（ ）
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x－y＋4＝0D．x＋y－4＝0
答案 B
6．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是（ ）
A．13B．13.5C．14D．14.5
答案 A
7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x、y，则
的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案 C
8．设某大学的女生体重y（单位：
kg）与身高x（单位：
cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
答案 D
9．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．（x－2）2＋（y＋1）2＝1B．（x－2）2＋（y＋1）2＝4
C．（x＋4）2＋（y－2）2＝4D．（x＋2）2＋（y－1）2＝1
答案 A
10．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案 C
11．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：
先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458569 683
431 257 393 027 556 488730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
答案 B
12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7B．9C．10D．15
答案 C
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．）
13．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
答案 15
14．
已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．
答案 33
15．如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数
，输出A，B，若输入的N为20，
依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A－B=________．
答案：
30
16．当曲线y＝1＋与直线y＝k（x－2）＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是________________．
答案（，]
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
①列出所有可能的抽取结果；（在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6）
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：
（1）由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×＝1．
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1．……………..4分
（2）①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．…………….8分
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，
所以P（B）＝＝．…………….10分
18．（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
（1）求线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从
（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
（利润＝销售收入－成本）
解
（1）由于＝（8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5，
＝（90＋84＋83＋80＋75＋68）＝80，又＝－20，
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而线性回归方程为＝－20x＋250．………………..6分
（2）设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x（－20x＋250）－4（－20x＋250）
＝－20x2＋330x－1000
＝－20（x－8.25）2＋361．25．
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．………………..12分
19．（本小题满分12分）某地区100位居民的人均月用水量（单位：
t）的分组及各组的频数如下：
[0，0.5），4；[0.5，1），8；[1，1.5），15；
[1.5，2），22；[2，2.5），25；[2.5，3），14；
[3，3.5），6；[3.5，4），4；[4，4.5），2．
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
（3）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？
为什么？
解
（1）频率分布表
分组
频数
频率
[0，0.5）
4
0.04
[0.5，1）
8
0.08
[1，1.5）
15
0.15
[1.5，2）
22
0.22
[2，2.5）
25
0.25
[2.5，3）
14
0.14
[3，3.5）
6
0.06
[3.5，4）
4
0.04
[4，4.5）
2
0.02
合计
100
1
………………….4分
（2）频率分布直方图如图：
………………….7分
众数：
2.25，中位数：
2.02，平均数：
2.02．………………….10分
（3）人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．………………….12分
20．（本小题满分12分）已知圆C：
（x＋2）2＋y2＝1，P（x，y）为圆C上任一点．
（1）求的最大值与最小值；
（2）求x－2y的最大值与最小值．
解：
（1）显然可以看作是点P（x，y）与点Q（1，2）连线的斜率．令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q（1，2）的圆C的两条切线的斜率．
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
∴＝1，∴k＝．
故的最大值是，最小值是．………………….6分
（2）令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．
依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－．………………….12分
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝－x2＋ax－b．
（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
（2）若a，b都是从区间[0，4]上任取的一个数，求f
（1）>0成立的概率．
解
（1）a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数N＝5×5＝25个，函数有零点时Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b，包含（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），∴事件“a2≥4b”的概率为P＝．
（2）a，b都是从区间[0，4]上任取的一个数，f
（1）＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，如图所示，∴事件“f
（1）>0”的概率P＝＝．
22．（本小题满分12分）已知直线l：
y＝kx＋1，圆C：
（x－1）2＋（y＋1）2＝12．
（1）试证明：
不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．
方法一
（1）证明 由
消去y得（k2＋1）x2－（2－4k）x－7＝0，
因为Δ＝（2－4k）2＋28（k2＋1）>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．…………………6分
（2）解 设直线与圆交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2，
令t＝，则tk2－4k＋（t－3）＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t（t－3）≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2．………………….12分
方法二
（1）证明 圆心C（1，－1）到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝（－4）2－4×11×8<0，
故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d（2）解 由平面几何知识，
知|AB|＝2＝2，下同方法一．
方法三
（1）证明 因为不论k为何实数，直线l总过点P（0，1），而|PC|＝<2＝R，所以点P（0，1）在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P．
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．………………….6分
（2）解 由平面几何知识知过圆内定点P（0，1）的弦，只有和AC（C为圆心）垂直时才最短，而此时点P（0，1）为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2．………………….12分
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