高等几何第三版 朱德祥参考答案.docx

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高等几何第三版朱德祥参考答案

第一章仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：

设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D'

（图1）。

∵T保留简比不变，

即（BCD）=（B'C'D'）=-1，

∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC中，β=γ。

设T（β）=β'，T（γ）=γ'，

但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，

即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则ADᅩBC，由于

T（△ABC）=△A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题

2、两条直线垂直是不是仿射不变性？

答:

两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：

设仿射变换T将△ABC变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D'=T（D），E'=T（E），F'=T（F）分别是B'C',C'A',A'B'

的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

设G是△ABC的重心，且G'=T（G）

∵G∈AD，由结合性得G'∈A'D'；

又∵（AGD）=（A'G'D'）即

∴G'是△A'B'C'的重心。

4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。

证明：

设在仿射对应下梯形ABCD（AB⁄⁄CD）与四边形A'B'C'D'相对应，

由于仿射对应保持平行性不变，因此A'B'⁄⁄C'D'，所以A'B'C'D'为梯形。

5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。

证明：

设T为仿射变换，A1B1C1D1与A2B2C2D2为两个全等矩形，其面积分别以S1=S2。

由于T保留平行性，所以：

T（A1B1C1D1）=平行四边形A'1B'1C'1D'1,面积记为：

S'1

T（A2B2C2D2）=平行四边形A'2B'2C'2D'2,面积记为：

S'2，

且S'1=KS1，S'2=KS2，

∴A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。

6、经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）

解：

设P点的坐标为（x0，yo）

（分割比），

且P在直线x+3y-6=0上，

解得λ=1，即P是AB中点，且（ABP）=－1。

7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的联线段分成

的比是

证明设分点为P（x0，y0），则分割比λ=，

P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，

Ax1+By1+C+λ（Ax2+By2+C）=0

8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。

证明：

若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a'上的两段

A'B'和C'D'对应图（3）

得证。

9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？

证明：

设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F'，点O是F的对称中心，

A，B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。

设T（O）=O'，T（A）=A'T（B）=B'。

∵T（F）=F'，由结合性，点A'，B'在图形F'上；

由简比不变性，（ABO）=（A'B'O'）。

所以F'是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。

如果点A、B关于直线l（平面π）对称，则线段AB⊥1（AB⊥π）。

但仿射变换不保留角的度量，所以当T（A）=A'，T（B）=B'，

T

（1）=1'（T（π）=π'）时，线段A'B'不一定垂直线1'（平面π'）。

10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。

证明：

设在笛氏坐标系下直线方程为：

Ax+By+C=0

（1）

（x,y）为笛氏坐标，（x'，y'）为仿射坐标。

笛氏到仿射的变换式为：

设其逆变换为：

将（3）式代入

（1），得

A（a1x'+a2y'+a0）+B（b1x'+b2y'+b0）+C=0,

即：

（Aa1+Bb1）x'+（Aa2+Bb2）y'+Aa0+Bb0+C=0，

记为：

是x',y'的一次式。

其中=Aa1+Bb1,=Aa2+Bb2，=Aa0+Bb0+C0

且不全为0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=0

11、利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？

（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。

解：

ΔA1A2A3和ΔA'1A'2A'3的面积分别以S,S'表示，

=

这结果与§1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。

12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显然共线（在对称轴上），试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题？

解：

设E，F，Q，P分别是等腰梯形ABCD下底，上底的中点，对角线交点，要腰所在直线交点，T为仿射变换，

则梯形ABCD梯形A'B'C'D'，EE'为B'C'中点，FF'为A'D'中点。

∵（BDQ）=（B'D'Q'）,（ACQ）=（A'C'Q'）,

（BAP）=（B'A'P'）,（CDP）=（C'D'P'）

且E，Q，F，P共线，∴由结合性得E'，Q'，F'，P'四点共线，但直线P'E'已不是对称轴（图4）。

由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。

13、求仿射变换的自对应点和自对应直线；

解：

求自对应点：

设x=x',y=y'，因此得

解得自对应点的坐标为x=-6，y=-8。

求自对应直线，设任意直线l（u,v,w）在所给的变换下的像1'的方程为：

u'x'+v'y'+w'=0

u'（3x－y+4）+v'（4x－2y）+w'=0，或（3u'+4v'）x－（u'+2v'）y+4u'+w'=0。

若1为自对应直线，则u=λu'，v=λv'，w=λw'，因此

因为u'，v'，w'不全为零，所以方程组

（1）有非零解。

故解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，

将λ1=2代入方程组

（1），得u'=4,v'=－1，w'=16。

将λ2=－1代入方程组

（1），得u'=1,v'=－1，w'=－2。

将λ3=1代入方程组

（1），得u'=0,v'=0，w'=1。

就本章内容而言，λ=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：

4x－y+16=0和x－y－2=0。

第二章欧氏平面的拓广

1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。

证：

设△SAC为等腰三角形（SA=SC）,SB⊥AC,过A作一射线平行于SC交SB的延长线于B1,交SC于C∞（图5），则A,B1,C∞在中心S的投影下分别是A,B,C的像点，

∵（ABC）=,而（AB1C∞）=，

∴（ABC）≠（AB1C∞）,即中心投影一般不保留共线三点的简比。

2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线？

（1）（1，1－1）；

（2）（1，－1，0）；（3）（0，1，0）。

解利用点线结合方程：

u1x1+u2x2+u3x3=0.

（1）∵u1=1,u2=1,u3=－1,∴x1+x2－x3=0，非齐次化为：

x+y－1=0.

（2）x1－x2=0或x－y=0。

（3）x2=0或y=0是x轴的方程。

3、求联接点（1,2,－1）与二直线（2,1,3），（1，－1，0）之交点的直线方程。

解先求二直线（2,1,3），（1，－1，0）的交点坐标：

x1：

x2：

x3=

再求两点（1，1，－1），（1，2，－1）的联线的坐标：

u1：

u2：

u3=所求直线方程为：

x1+x3=0或x+1=0

4、求直线（1,－1,2）与二点（3，4，－1）,（5,－3,1）之联线的交点坐标。

解：

先求二点（3，4，－1），（5,－3,1）的联线坐标：

u1：

u2：

u3=

再求二直线（1,－1,2），（1，－8，－29）的交点坐标：

x1：

x2：

x3=

所求交点坐标为（45，31，－27）。

5、方程u1－u2+2u3=0代表什么？

u12－u22=0代表什么？

解：

方程u1－u2+2u3=0表点（1，－1，2）的方程

或表示以点（1，－1，2）为中心的线束方程。

∵u12－u22=（u1+u2）（u1－u2）=0，

∴u1+u2=0表示点（1，1，0）的方程；u1－u2=0表示点（1，－1，0）的方程。

∴u12－u22=0表示两点（1，1，0）和（1，－1，0）的方程。

6、将2x－y+1表示成3x+y－2，7x－y的线性组合，这种表达的几何依据何在？

解：

设2x－y+1=λ（3x+y－2）+μ（7x－y）=（3λ+7μ）x+（λ－μ）v－2λ，

得方程组

∴2x－y+1=（3x+y－2）+（7x－y）。

依据是若令它们为零，所得三直线共点。

7、将（2，1，1）表成（1，－1，1）和（1，0，0）的线性组合，这说明什么几何性质？

解：

设（2，1，1）=λ（1，－1，1）+μ（1，0，0）

（1）

则此方程组无解，

即找不到λ和μ满足

（1）式，这说明它们表示的三点（线）不共线（点）。

8、求直线x－2y+3=0上的无穷远点的坐标。

解：

x3=0是无穷远直线方程

∴

从而x1－2x2=0,取x1=2,得x2=1,所求无穷远点坐标为（2,1.0）。

9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？

①非平行线段的相等；②不垂直的直线；

③四边形；④梯形；

⑤菱形；⑥平行移动；

⑦关于点的对称；⑧关于直线的对称；

⑨绕点的旋转；⑩面积的相等。

答：

①欧氏；②欧氏；③仿射；④仿射；⑤欧氏；

⑥仿射；⑦仿射；⑧欧氏；⑨欧氏；⑩仿射。

第三章一维射影几何

1、设A、B、C、D、E为直线上五点，证明（AB,CD）（AB,DE）（AB,EC）=1。

证明:

（AB,CD）（AB,DE）（AB,EC）

2、证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。

证明：

设C为线段AB的中点，D∞为直线AB上的无穷远点，

（AB·CD∞）

3、直线上顺序四点A、B、C、D相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。

解:

（AB，CD）

（AB，DC）

（AC，BD）=1－（AB，CD）

（AC，DB）

（AD，BC）

（AD，CB）

4、求四点（2，1，－1）,（1，－1，1）,（1，0，0）,（1，5，－5）顺这次序的交比。

解：

以（2，1，－1）和（1，－1，1）为基底。

则（2，1，－1）+μ1（1，－1，1）=（1，0，0）

；

（2，1，－1）+μ2（1，－1，1）=（1，5，-5）

所求交比为

5、设P1,P2,P4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P1P2,P3P4）=2,求点P3的坐标。

解：

以P1，P2为基底，则（1，1，1）+μ2（1，－1，1）∝（1，0，1）。

设μ1是基底P1，P2表示P3的参数，由已知条件（P1P2,P3P4）=，且μ2=1，

∴μ1=2，因此，P3的坐标为（1，1，1）+2（1，-1，1）=（3，-1，3）。

6、设A、B、C、D为共线四点，O为CD的中点，且OC2=OA·OB，证明（AB，CD）=-1

证明：

∵OC2=OA·OB，由合分比得

因此（∵OC=－OD）

，