中学数学建模教学的实践与认识.docx
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中学数学建模教学的实践与认识
中学数学建模教学的实践与认识<
张思明
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一、“问题解决”与数学建模
当今的中学数学教育中，问题解决（ProblemSolving）正成为一个热点。
在国际中，日本已把问题解决纳入教学大纲（学习指导要领），在美国的中学课程标准中，问题解决已作为“一切数学活动的组成部分，应当成为数学课程的核心”；美国也已把问题解决当做一种教学模式和教学的指导思想。
在我国，国家教委基础教育课程教材研究中心在1993年组织过专题讲习班，并出版了用于问题解决的“问题集”。
反映问题解决教与学过程的文章也多次出现在专业期刊上。
这一切来源于数学教育工作者们对基础数学教育在走向21世纪时的发展、变化的如下认识和展望：
（1）数学文化素养越来越成为每一个公民，以至于整个民族文化素养的重要内容和标志。
因此数学教育要面向大众，面向每一个学生。
（2）数学教学将从传统的“传授知识”的模式更多地转变到“以激励学习为特征的，以学生为中心”的实践模式。
（3）数学教学将更着重于培养、发展学生的广泛的数学能力。
它不仅包括理解运用数学概念和方法、组织正确的逻辑推理，进行准确有效的计算和估算；还应包括会检索阅读相应的数学书刊文献，会利用表、图、计算机去组织、解释、选择、分析处理信息，能从模糊的实际课题中形成相应的数学问题，会选择有效的解决问题的方法、工具和策略。
问题解决作为一个学数学、用数学的过程，恰好是实现上述目标的有效途径之一。
作为问题解决的核心——问题，有着各种各样的分类方法，但大体上可以分成两类：
（1）为了学习、探索数学知识，复习巩固所学内容而主要由教师构作的数学问题，如教科书、复习参考书中的练习题和复习题等。
（2）出现于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。
如来自日常生活、经济、理、化、生、医等学科中的应用数学问题。
（1）类中的问题，往往是已完成数学抽象和加工的“成品”问题。
（2）类中的问题，往往还是“原坯”形的问题，怎样将它抽象、转化成一个相应数学问题，这本身还是一个问题。
当然两类问题是可能有“交集”的，它们彼此的边界也是模糊的，如可列方程（组）求解的文字应用题的一部分就在这个“交集”中。
数学建模可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于
（2）类中问题。
作为问题解决的一种模式，它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法和模型的选择、分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系。
它给学生再现了一种“微型的科研过程”，这对学生今后的学习和工作无疑会有着很好的影响，也对学生的能力提出了更高层次的要求。
对于
（1）类问题怎样进行问题解决的教与学已有很多成果，如G.Plya的关于解题的几本名著。
数学建模也已成为工科院校的数学主干课程之一。
但在中学里进行数学建模的教与学还刚刚起步，有许多问题正有待探讨，还有一些认识问题和技术上的困难，如：
·搞数学建模和当年联系实际，搞“三机一泵”，开门办学是如出一辙，有走回头路之嫌。
·高中数学课程内容多，学时少，完成教学计划尚不十分从容，还要应付会考、高考，没有时间搞数学建模。
·能适合中学生水平且能结合课本教学内容的建模问题不多，开发这样的问题也不十分容易，这让有心尝试者有巧妇难为无米之炊的感觉。
·在教学第一线的教师常常有较重教学任务负担。
对他们来说，对正常教学内容比较熟悉，课外内容相对生疏；对正常的、一般的数学竞赛的内容比较熟悉，对数学建模的内容和过程相对生疏。
而数学建模的问题常常是未经数学抽象和转化的“原坯”问题，在建模步骤中不仅要求有相应的数学知识，还要涉及非数学领域的知识；在求解步骤中除了数学方法外，还常常用到计算机（在计算机上进行模拟、试算、检验等）和物理方法。
这不仅对学生，而且对教师都会遇到知识或方法上的困难和障碍。
下面部分实例和讨论，也许可以看成我们对上述问题的一种思考和回答。
二、“磁带问题”教与学的实录与评析
磁带是日常生活中常见的物品，但它却联系着许多有趣的数学应用问题，抓住这些问题让学生去动手、动脑，不仅能培养学生学习数学的乐趣，还能培养学生学数学、用数学，生活中的问题用数学化的方法加以思考、分析、求解的能力。
磁带问题所涉及的相关知识不多，易被学生观察、了解，是中学数学建模的一个容易下手的问题。
下面我们给出对同一课题在初二、高三这两个年级进行数学建模活动的主要线索。
（一）初二年级
（1）班，1993年10月26日
1由教师先提出问题
（1）一盘60分钟的普通磁带有多长?
（2）一盘60分钟的普通磁带的单层厚度是多少?
请同学们观察从家中带来的磁带样品，寻找解决问题的模型与方案。
2组织课堂讨论
几分钟，全班分成了四派：
（1）设法直接测量带长l与单层带厚d
（2）设法直接计算l与d；
（3）设法测量l，而去计算d；
（4）设法测量d，而去计算l；
教师进一步要求，提“算”的同学给出算法，提“测”的同学给出实际可行的测量方案。
在教师的启发下，“算”派的学生代表上黑板给出了如下的算法模型：
先将磁带全绕在一边（如左侧），测出图1中的R与r（实测为R=224mm,r=10.5mm）把磁带所在的左盘的俯视图看成是一个圆环，把它想像成是由一条长为l（磁带长）、宽为d（磁带的单层厚）的‘细长矩形’环绕填充而成，因此，有：
（１）
教师：
这个模型建立的非常好，但一个方程怎么解两个未知数l与d?
学生：
可用以公式
（1）测一个量，算一个量，很好!
那么测哪一个?
算哪一个?
学生甲：
测量d，算出l。
学生乙：
测量l，算出d。
学生丙：
两个都测量更简单。
教师：
谁来谈谈测量l的方法?
学生乙（举手发言）：
将磁带从带头开始，放入录音机走带1分钟，取出磁带做上记号，测量出1分钟走过的带长，再乘60就是总的磁带长l。
学生丁：
不对，应将1分钟走过的带长乘以30才是总的带长。
教师：
乙谈得不错，丁补充得也很好。
60分钟的磁带的单面放音时间约为30分钟，所以应将1分钟的带长乘以30而不是60。
另外，一次测量常常由于操作和测量工具的原因造成测量的误差，最好多测几次，取平均值作为测量的最终结果，这也是测量中减少误差的常用手段之一。
谁再来谈谈怎么测量d?
（静场约1分钟）
学生甲（举手发言）：
磁带太薄，普通尺子的刻度太大不好测量，可以多叠几层再测量。
学生丙：
可以把磁带绕在笔帽上，绕上30圈，再量内、外径就可以算出单层厚度。
教师：
大家的想法都很好，试着做一下就会感到测d不太容易，比如绕在笔帽上绕齐30圈就不容易，再用普通尺子量准内、外径也不太容易。
我给同学们提一个建议，到物理实验室向那里的教师学习一下千分尺或游标卡尺的使用方法，相信你们会找到并学会测量很薄物体厚度的方法。
今天的一个课外作业就是请同学们实际测算出一盘60分钟的普通磁带的长度和单层厚度，请大家把测算方案和结果写出来，下次课我们一起来交流。
〔评注〕像这样的问题并不需要专门的整段时间去进行教学活动，而可以安排在正课的头或尾的15分钟内进行。
教师的指导重点放在设计问题，引导学生建立相应的求解模型上，而把实际的求解过程放在课下让学生独立完成或分小组讨论完成。
对具体的求解过程教师不必给出详解，而只要给出一个让学生进行思考或操作的可以入手的方向就行了。
这样不会太干扰正常的教学进度，却给学生留下了学、用数学的生动场景。
3完成作业后的讲评
教师：
大家的作业写得不错，大致上磁带的厚度在0.0165到0.0167（mm）之间。
磁带的长约为90米，由于磁带的牌号不同，测算的过程和方法不同，答案略有差异也是正常的。
其中王颖同学的讨论写得不错，他先测d，再算l得88.7米，再用上次课提到的测l的方法用录音机测出一分钟走带2.9米，乘30得87米，比前面的结果短了一些。
小王分析了误差产生的一个原因是60分钟的录音带单面放音机时间都略长于30分钟（实测在30′30″—32″之间）故磁带的实际长度应比87米长。
这个讨论是切合实际的。
求解应用问题时，往往不是一次就能得到最合乎实际的结果，对得到的结果进行分析、讨论、修正、验算，常常是求解过程的必要内容，应当在今后的学习中引起大家的充分注意。
现在我们把“磁带求长”的问题一般化，解决怎样求“成卷材料的长度”。
这个问题里，待求长的对象可以是纸卷、布卷、油毡卷、成卷的金属材料等，请大家先讨论一下求解的方案。
经过讨论，学生们提出的方案有：
①先测材料的单层厚度d，然后用
（2）
来求其长。
教师随后引导讨论使用这种求长模型要注意的条件：
材料应缠绕的均匀、密实，且d＜l。
②物理模型，先称出单位长度的待测长材料的重量W0，再称出待测长材料的总重量（扣除卷芯的重量）
，于是
（长度单位）
教师可引导学生，讨论使用这个求解模型的利弊——它不要求卷材卷绕得是否密实，对d的大小及截面的形状也没有限制，但它要求材料质量分布应是均匀的。
〔评注〕讲评也可以采取学生报告结果的方式，教师应注意帮助学生将结果一般化，并注意求解模型的适用条件，引导学生注意发现，体会别人的有创见之处，找出问题，提出有待探索的新课题。
4应用已有的求解模型的训练——大家一起提问题，解问题。
教师：
我请同学们编几个练习题，来用一用刚才提到的卷材求长的方法。
请每一个同学编一个实际问题，再附上解，我们下次课再交流。
学生们提出的问题主要有：
①求45分钟、90分钟、120分钟磁带的长。
②求120分钟录像带的长。
③求一个纸卷（r=2cm,R=20cm）的纸长。
④求磁带全绕于左侧时的匝数。
⑤求磁带在放音时通过磁头的线速度
。
⑥求一轴线的线长。
〔评注〕让学生自己通过观察思索去提问题，解问题，是数学建模教与学的重要环节。
这里面有不同层次的能力体现，如①、②、③就是“模仿”层次的（对初中生的大多数来说是这个层次的）；④、⑤、⑥就是“发散”层次的，它需要将已知求解模型或改造，或逆用，或推广……。
虽然仅有较少同学能提出这类问题，但教师应着力引导，鼓励学生努力这样去思考，为他们创造展现才能的机会，而不仅是“FollowMe”式的学习。
这样坚持下去，就会使学生们有更多的题外收获，它不仅使学生能更好地体会到数学模型的意义和作用，而且能培养锻炼学生在问题解决中观察、发现、控制、调整从而走向更高层次的问题与求解过程的能力。
学生提出的问题，可以成为下一阶段的课题，也可引导学生在假期中，独立钻研写出相应的小论文。
（二）高三年级（3）班，1994年2月
1（在代数复习课的结尾留作业时）布置问题
（1）同
（一）之1中
（1）；
（2）同
（一）之1中
（2）；
（3）取一盘磁带，观察当磁带全绕在一边（如左轮）时，磁带的边缘与另一轮边缘之间的最短距离是多少毫米?
在放音过程中，这个距离会变化吗?
若变化，是变大还是变小?
（请试验观察之），要使得在放音的任何时刻两轮磁带的外缘互不接触，两轮轴间的最小距离最小应为多少毫米?
（4）以自己家里的录音机为观察对象，观察录音机的计数器中的数字k与放音时间之间的关系，t是k的正比例（或线性）函数吗?
你能根据你的观测数据求出一个t=f（k）型的近似公式吗?
磁带A上有一首长为7′30″的歌曲，要将它转录在另一盘磁带B上。
起始位置的计数显示是k=120，问转录歌曲结束时，应在k=?
时停机?
完成这一专题作业的时间是一周，可以互相讨论，也可以使用必要的测量、计算工具。
2一周后的交流、讲评
对问题
（1），
（2），高中学生除了提出
（一）中求解的模型外，还提到了“等差数列求和”的模型：
对于
，
，不同的选取有三种计算方式：
①
，
（以磁带内层为基准）
②
，
（以磁带侧面中心线为基准）
③
，
（以磁带外层为基准）
当d很小时，三种算法的结果非常接近，与
（一）中的求解结果比较，相差也不超过2rd。
由此引导学生在比较中得到结论，当d很小时，用式
求卷材之长比等差数列的算法更简捷有效。
为了结合课堂所学的知识，教师进一步提出这样的问题：
上面的求解模型，实际上是把磁带看成一个个绕在轴上的“同心圆”，而实际上磁带的（俯视图）内侧边缘的轨迹应是何种曲线，轨迹方程是什么?
它的精确长度应如何求?
（答：
阿基米德螺线，ρ=r+aq，见解析几何课本p.123，它的精确求长要用到定积分的方法。
）
对问题（3），学生较普遍地观察出，在放音初期，受带轮转得快，供带轮转得慢，故大盘变“瘦”的速度小于小盘变“胖”的速度，因此两盘空隙渐渐变小；而放音后期正好相反，故知当磁带走至全长的一半时，两盘间隙最小，此时两轮的外半径均为r′；且有
要使两轮外缘互不接触，两轮轴中心间距D只须满足
问题（4）是一个开放性问题，不同的录音机可能会得到不同的公式和结果，学生的观察发现，一些新的组合音响或录像机中，计数器的数字k和时间t关系是线性关系（正比例函数）。
如不少学生得到k=3t这样的公式，但也有不少收录机不是线性关系。
如京产PHILIPS收录机，经多次试验，有以下数据：
容易看出它不是线性关系（教学过程中，“否定”是一个薄弱环节，此时教师可以利用上面的数据，请学生回答为什么k与t不是线性关系?
怎么得出这样的判断?
）
答：
取Δt=5看到Δk不是常数
多数学生此时的另一困难是面对数据，不知找什么样的近似公式，更不知怎样去找这类公式，他们习惯处理那些条件与结论恰当、准确，目标清楚的数学问题，不太会自己根据需要去挖掘、利用条件，这也是传统数学教学的缺憾之一。
此时的素材恰好是克服这种缺憾的机会之一。
教师可以把前面的数据先画在一张图上（如下面的图）然后大胆鼓励学生设计近似公式的类型，学生提出的方案有：
（1）线性近似公式：
t=ak+b
（2）抛物线型近似公式：
（3）
型近似公式：
（4）对数型近似公式：
……
很多同学会提出否定选用直线型的近似公式，因此数据已表明t与k非线关系，认为选用
（1）一定不好。
教师可抓住时机提问：
什么叫一个近似公式好?
怎样评价一个近似公式的优劣程度?
答：
简单易求，易用，与已知数据的“拟合”程度尽可能地好，线性近似公式常常是出现最多的。
进一步教师可引导学生思考：
在已经确定近似公式的类型的前提下，怎样找出“拟合”程度好的近似公式?
用直线“拟合”的同学想到了，让拟合直线两侧数据点大体均匀分布、分段拟合等直观想法；还有同学证明了：
当k与出带轮转过的圈数n成比时，t一定是k的二次函数，从而选择了抛物线型近似公式，用任取的三点数据就求出了近似公式。
……
学生进一步提出的问题有：
同一类型的近似公式中，哪个更好?
怎么能找出同一类型中最好的近似公式?
这些问题为今后的课外活动提供了新的素质和课题（如：
用最小二乘法求线性拟合公式等）。
〔评注〕高中学生较初中学生在数学知识、能力上都有较大提高。
因此问题的设计应更有深度、广度，并在求解的过程的指导中给学生更多的自由度。
有些问题就学生现有水平求解起来有困难（如螺线求长，最佳逼近），但若学生想到了这些问题，也应积极鼓励，因为问题本身往往是学生学习的最好动力，可以明确地告诉学生将来用什么知识在什么学习阶段解决这类问题。
实际上教师不可能解决学生提出、想到的所有问题，但不要为此去限制学生的思维的疆域，而应引导他们在更有数学背景的方向上积极思考，有所发现，有所领悟，有所存疑。
这样才能体现问题本身更多的思维价值。
这种价值的实现是教师在问题及求解过程设计中应花大力气考虑的环节。
三、关于数学建模教与学的思考
1好的问题是关键
毫无疑问“问题解决”的前提与载体是“问题”。
数学建模也是如此，它的发展与成熟无一不和一批经典的数学问题的解决相连。
在大学理工科的数学建模课程中，教师会讲到一大批微分方程、概率统计、网络图论的典型问题和模型。
每年的《应用数学》期刊中也会登载不少建模的优秀成果与论文。
但就中学而言，这几乎还是一块空白，每每想到的还常常是“当年”联系实际的一些“成果”。
我们自然会想到两个问题。
（1）对中学中开展数学建模，什么样的问题是好的问题。
作为好的问题的评价标准，我们不必过分计较它的完整性、统一性、权威性，在这里只是提出我们的一点关于“好的问题”的特点的认识：
①好的问题应适合中学生的数学知识水平，在建模求解过程中不需补充大量知识就可入手。
问题的“可读性”好（容易被看懂读懂），求解的线索和过程不宜过长、过繁。
有些问题虽可用高等数学方法解决，但一定还有相应的初等解法，或即使用初等的解（算）法也能有较好的结果和精度。
如上海“金桥杯”、北京的“文正杯”应用数学知识竞赛的试题基本有这样的特点（见《数学教育》1994.1，《数学通报》1994.1，1994.7）。
②好的问题应能努力表现出建模求解过程的特点，即能表现问题假设、抽象简化、建模求解、检验修改（循环迭代回去）的过程，而不仅仅像教科书上的传统文字应用题那样，已将假设、抽象，甚至建模过程完成，问题不含多余干扰信息，条件不多也不少，目标指向清楚，只须设出未知数，列等式或不等式就可得到解。
③好的问题最好有生产、生活的实际背景和较好的应用价值。
模型的“可移植性”强，这样学生从建模的求解的过程中不仅能体会理论与实践相互关系和相互作用，还能从结果的实际意义中看到数学的价值和积极的审美感受，如“方正杯”决赛中的“水库问题”（见《数学通报》1994.4，它来源于1991年湖南资水的实际情况，问题寻求的解是怎样调节水库泄流量可以避免或减少淹没损失。
学生通过求解，体会到了科学的、正确的决策的意义和作用，也体会到了正确的决策离不开数学。
又如前面提到的磁带求长的求解模型，可以移植到其他“卷材求长”问题。
又如图论中的模型，它们的可移植性更强，用状态转移的模型就可以处理“过河问题”和“分油问题”等。
④好的问题最好有多种求解模型，可便于分析、比较它们的侧重和利弊。
如前面的磁带问题。
⑤好的问题应有较好的趣味性、可延展性和数学（物理）背景。
如“选举问题”既有趣，易理解，又有很深刻的数学背景。
“交通流量问题”与物理中的“熵”概念直接相关，“传染病传播的问题”可以延拓到“混沌”等微分动力系统中的理论中去。
⑥很大一部分好的问题都会展现计算机作用，甚至可以预言越来越多的建模求解过程可以用或者必须用计算机。
如随机过程的模拟，超越方程（组）或不等式的求解，线性或非线性规化等。
在中学建模的问题中，适当引入一部分不是凑数编造的问题，使问题更有实际感，让学生学会用计算工具去采集、处理、分析不规律、有一定精度要求的数据，无疑对学生是一种科研的微缩模拟训练，这对将步入信息时代的学生们是很有现实意义的。
……
总之，从上面的表述中，我们希望从不同角度描述中学数学建模中的“好的问题”的理想状态。
虽然实际的建模问题很难同时达到上述理想的程度，但它为我们收集、整理、加工、创造好的问题提供了一个方向。
（2）怎样寻找“好的问题”，“好的问题”从哪儿来?
比较可行的寻求办法有这样几种：
①从自己或周围人的生产、生活的实际中来。
②从大学的“成品”建模问题中发掘简化得到。
③从国内外的相应教材刊物上整理、编译而来。
④从自己的教学实践中改编创作而来。
如在数列教学之后，可以创作一些“人口问题”、“利率计算问题”；或者将课本中已有的文字应用题向“两端”“延长”，如原教材上有过给了两三组数据求一个直线经验公式的问题，可以将它向问题的“始端延长”，即改成请学生自己找出若干组数据（如磁带问题中录音机中t与k的关系）再求经验公式；也可以将问题向“末端延长”，即让学生对公式的适用程度给出评判，如精度是多少?
误差怎样?
怎么改进?
在什么样的要求下，选择怎样的近似公式有最佳的计算效率?
……这样，已有的问题经过改造后，一端越来越“原始”，一端越来越“深入”，就比较接近建模过程的要求了。
再如前面提到的“卷材求长的问题”，只要将它改变“维数”，就可以提出成卷状的线材求长问题，成球状的线材求长问题等等。
总之，只要我们肯于学习，大处着眼，小处着手，留心观察，善于联想发掘，从自己熟悉的材料入手，就一定能逐步使我们数学建模的问题库丰富起来。
2关于数学建模教学过程设计的思考
数学建模的教学过程的设计更应反映数学教育发展、改革的方向，具体说来它更应强调以下原则：
（1）着重发展数学能力，特别是数学应用的能力，这不仅包括计算、推理、空间想像，还应包括辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、能进行口头和书面的分析和交流。
（2）强调计算工具（计算器和计算机）的使用。
这不仅指在计算过程中使用计算工具，而且指在猜想、争辩、探索、发现、模拟、证明、作图、检验中使用计算工具。
（3）更强调学生积极主动的参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。
教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”，而应不时扮演下列角色：
①模特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端，“拨乱反正”的思维技能。
②参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。
③询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。
④仲裁和鉴赏者——评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生的有创造性的想法和做法。
我们觉得，数学建模的教学更应表现“活动”的特点，教学过程设计的着眼点应考虑：
怎样让学生更多地参与进来，让他们做什么?
怎么做?
或者怎样让他们自己悟出，该做什么?
应怎样去做?
一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示。
对上面的各个环节，我们常常可以采取的教学方法是：
A：
比较容易控制教学过程的方式是教师给出设计好的问题，但若有可能，最好让学生自己提出问题。
初始问题一般教师给出，“入轨”后可激发学生自己观察、发现提出问题，或者教师可以就学生提出的问题、结果引发新的问题。
这样做可以大大激发学生的兴趣和探索欲，调动学生的参与意识。
有些教师会担心，这样做有可能“失控”或被问住。
确实，在教学过程中有时学生会提出一些令教师措手不及的问题，甚至是教师力所不能及的问题，但这也不一定是坏事，起码反映了学生在积极思考。
教师可先将问题“放一放”，给大家和自己留一个思考的“台阶”；或者分析一下问题的可行性因素，看一看缺什么条件和知识?
不要急于下断语性评论。
A→B→C：
这两步常常是学生的困难所在。
在低年级，或对较抽象的模型，教师应给出具体的范例；对高年级或有一定经验的学生，可引导学生讨论。
小组形式往往更便于发挥学生互相启发的功能。
对于学生提出的多种彼此不同的模型，引导他们自己比较不同模型的可行性、适用性、效率、优劣，这也是锻炼思维能力的最有价值的过程之一。
C→D：
这是学生们相对熟悉的过程，可以让他们独立或分组完成。
值得注意的是，在这一过程中算法的优化、工具的使用、其他学科知识的实际应用等方面的困难将会相对突出。
教师可以利用这一机会，提高学生的学习动力、欲望、自觉性，扩大学生的知识面；同时，帮助学生培养良好的数学书写、表达习惯。
D→E：
这一过程并不困难，可让
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