八年级上实验班 提优训练 第二章.docx
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八年级上实验班提优训练第二章
第二章特殊三角形
2.1等腰三角形
学习目标
1.了解等腰三角形的有关概念。
2.掌握等腰三角形的轴对称性。
基础巩固提优
1.已知等腰三角形的两边长为3和4,则其周长为__________。
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,边AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,则∠B的度数为__________.
3.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且AD=BD=BC,则图形中共有_______个等腰三角形,且∠A=__________。
4.如图,在△ABC中,AD垂直平分边BC,AB=5,那么AC=_____.
5.如图,已知C为BE上一点,点A、D分别在BE两侧,AB∥ED,AB=CE,BC=DE,△ADC是等腰三角形吗?
请说明理由。
6.
(1)已知等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为9cm,求它的第三条的边长;
(2)在等腰三角形中,一条边长为4cm,另一条边长为5cm,求它的周长。
7.如图,在△ABC中,∠C=90°。
(1)请以AC所在的直线为对称轴,画出与△ABC成轴对称的图形。
(2)所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗?
请说明理由。
8.如图,AC平分∠BAD,CD⊥AD,CB⊥AB。
请找出图中的等腰三角形,并说明理由。
9.已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长。
10.已知等腰三角形的底边长为4cm,一腰上的中线把周长分成的两部分的差为3cm,求这个等腰三角形的腰长。
思维拓展提优
11.已知等腰三角形ABC的底边BC的长为8cm,且︱AC-BC︱=2cm,则腰AC的长为()
A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm
12.已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°,则其顶角的度数为()
A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°
13.已知等腰三角形的周长为8,边长为整数,则腰长为_________。
14.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且AD=DB=BC,若△ABD的周长比△ABC的周长少3cm,则可以计算线段______的长为_________cm。
15.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为18cm和21cm两部分,求它的三边长。
16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,O是△ABC内一点,且∠OBC=10°,∠OCA=20°,求∠BAO的度数。
17.为美化环境,计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块其中一条边的边长为10m的等腰三角形ABC绿地,请你求出这个等腰三角形ABC绿地的另两条边的边长。
18.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是边BC的中点,E是边AB上一动点,若点E运动到点F时EC+ED的值最小,请在图中标出点F,并说明理由。
开放探究提优
19.如图,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?
(并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形)
走近中考前沿
20.(2009·广西钦州)如图,AC=AD,BC=BD,则有()
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
21.(2009·山东泰安)如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是()
A.2B.3C.
D.4
22.(2009·湖北武汉)如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠ADO+∠DCO的大小是()
A.70°B.110°C.140°D.150°
2.2等腰三角形的性质
学习目标
1.掌握等腰三角形的性质
2.学会应用等腰三角形的性质解决问题
基础巩固提优
1.等腰三角形的底角与相邻外角的关系是()
A.底角大于相邻外角
B.底角小于相邻外角
C.底角大于或等于相邻外角
D.底角小于或等于相邻外角
2.在等腰三角形中,
(1)已知一个角等于40°,则它的顶角为_________;
(2)已知一个外角为70°,则它的底角为________。
3.在△ABC重,AB=AC,∠BAC=36°,BD平分∠ABC交AC于点D。
若AD=10,则BD=_______,BC=________。
4.如果一个等腰三角形的底角比顶角大15°,那么顶角为()
A.45°B.40°C.55°D.50°
5.如图,AB平分∠CAD,AC=BC。
判定AD与BC是否平行,并说明理由。
6.如图,点D和点E在BC上,AB=AC,AD=AE,试说明BD=CE成立的理由。
(请按提示的思路完成)
解:
过点A作AF⊥BC,垂足为F。
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,BD=2cm,求BC与∠ADC的大小。
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,求∠ADB的度数。
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AC、AB上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A的度数。
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,分别以AB、AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE,使∠BAD=∠CAE=90°。
(1)求∠DBC的度数。
(2)求证:
BD=CE。
思维拓展提优
11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为4cm,则其腰上的高为________cm。
12.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于()
A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半
13.如图是人字型屋架的设计图,由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成,其中A、B、C、D均为焊接点,且AB=AC,D为BC的中点。
现在焊接所需的四根钢条已截好,且已标出BC的中点D。
如果焊接工身边只有可检验直角的直尺,那么为了准备快速地焊接,他首先应取的两根钢条及焊接点分别是()
A.AC和BC,BB.AB和AC,A
C.AD和BC,DD.AB和AD,A
14.等腰三角形的一个内角与顶角的外角之和等于120°,则这个等腰三角形的顶角等于_________,底角等于_________。
15.如图,在△ABC中,AD=AC,BE=BC。
(1)若∠ACB=96°,求∠DCE的度数。
(2)请问∠DCE与∠A、∠B之间存在怎样的数量关系?
16.如图,在△ABC中,AC=BC,∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D,若∠ADC=
∠CAD,则∠ABC=______。
17.有一张等腰直角三角形的纸(如图
(1)),AB=10cm,把它的两个底角向斜边的中点O折叠,使A、B两点都与点O重合(如图
(2)),再以CO为对称轴将图
(2)对折,得到一个梯形(如图(3))。
求这个梯形的面积。
开放探究提优
18.如图,在△ABC中,CD是边AB上的中线,且DA=DB=DC。
(1)若∠A=30°,求∠ACB的度数;
(2)若∠A=40°,求∠ACB的度数;
(3)试改变∠A的度数,计算∠ACB的度数,你有什么发现吗?
19.在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,任作等腰Rt△ECF,∠ECF=90°,请问
的值是否不变?
BE与AF所成的角是否不变?
若不变,请分别求出它们的值。
走近中考前沿
20.(2008·黑龙江省)如图,将△ABC沿DF折叠,使点A与BC边的中点F重合,下列结论中:
①EF∥AB且EF=
AB;②∠BAF=∠CAF;③S四边形ADFE=
AF·DE;④∠BDF+∠FEC=2∠BAC。
其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
21.(2009·湖北襄樊)在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D为BC的中点,动点P从点B出发,以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动。
设运动时间为t,那么当t=_________秒时,过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的2倍。
2.3等腰三角形的判定
学习目标
1.理解等腰三角形的判定方法及推理过程
2.初步了解转化思想,培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力
3.了解等腰三角形的性质与判定的区别。
基础巩固提优
1.将两个全等的各有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条长直角边在同一条直线上,则图中等腰三角形的个数是()
A.4B.3C.2D.1
2.如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中等腰三角形的个数为()
A.5B.6C.7D.8
3.能判定等腰三角形全等的一组是()
A.顶角相等B.底角相等
C.腰相等D.底角和顶角对应相等
4.如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外边缘上,如果它们外边缘上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°,那么在大量角器上对应的度数为______°(只需写出0°~90°的角度)。
5.如果一个三角形的高线和角平分线重合,那么这个三角形是______三角形。
6.已知:
如图,∠A=∠DBC=36°,∠C=72°,计算∠1和∠2,并说明图中有哪些等腰三角形。
7.如图,△ABC是等腰三角形,BD、CE是角平分线,且BD、CE交于点O,则△BOC是等腰三角形吗?
请说明理由。
8.如图,在△ABC中,D是边BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=DF,则△ABC是等腰三角形吗?
请说明理由。
9.如图,在△ABC中,∠BCA=2∠A,AC=2BC,求∠ABC的度数。
思维拓展提优
10.若三角形的三边a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.锐角三角形
11.以等腰三角形ABC一腰上的高为腰,另一腰为底恰好构成一个等腰三角形,则等腰三角形ABC的顶角是( )
A45° B.60° C.65° D.30°
12.已知:
如图,在△ABC中,BO、CO平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过点O作OD∥AB,OE∥AC,BC=16,求△ODE的周长。
13.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,在这些图形中哪些能被一条直线分成两个小等腰三角形?
能被一条直线分成两个小等腰三角形的请做出这条直线。
14.如图,上午7:
00,一艘船从A港出发,以20km/h的速度向东北方向行驶,经过2h,船行驶至B处,此时灯塔C在B处的北偏西85°方向上,已知灯塔C在A港的北偏西20°方向上,求B、C两处的距离。
15.如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC,交BC于点D,BF⊥AE,垂足为E。
求证:
BE=
(AC-AB)
开放探究提优
16.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AE⊥BD,垂足为点E,且AE交BC于点G,EF∥BC交AB于点F。
试判断点F是否为AB的中点,并说明理由。
17.如图,点A是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点),图中每个小正方形的边长为1,以点A为其中的一个顶点,面积等于
的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
18.如图,在△ABC中,AB==AC,DE=EC,DH∥BC,EF∥AB,HE的延长线与BC的延长线相交于点M,点G在BC上,且∠1=∠2,不添加辅助线,解答下列问题:
(1)写出所以等腰三角形(不包括△ABC)____________;
(2)找出两对全等三角形,分别是______________________,并选其中一对进行证明。
19.已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是_____________。
走近中考前沿
20.(2009·河南省)如图,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点。
试判断OE和AB的位置关系,并给出证明。
21.(2009·山东泰安)如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
(1)求证:
BE=AD
(2)求证:
AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?
并说明理由。
2.4等边三角形
学习目标
1.理解等边三角形的性质与判定
2.体会等边三角形与现实生活的联系
3.理解等边三角形的轴对称性。
基础巩固提优
1.一个三角形的任意一边上的中线与高线重合,则此三角形为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上均不对
2.等边三角形中,两条中线所夹的钝角的度数为( )
A.120° B.130° C.150° D.160°
3.在△ABC中,如果只给出条件∠A=60°,那么还不能判定△ABC是等边三角形。
给出下面四种说法:
①如果再加上条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;
②如果再加上条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;
③如果再加上条件“D是BC的中点,且AD⊥BC”,那么△ABC是等边三角形;
④如果再加上条件“边AB、AC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形;
其中正确的说法有______________________。
4.如图,已知正方形ABCD的边长为2,△BPC是等边三角形,则△CDP的面积是__________。
5.如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,则AP的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
6.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,则AE与CD相等吗?
请说明理由。
7.如图,在等边三角形ABC中,D为边AC的中点,延长B到点E,使CE=CD,连结DE。
DB与DE相等吗?
请说明理由。
8.如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F。
(1)求证:
AD=CE
(2)求∠DFC的度数。
9.如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连结点D,E,F,得到的△DEF为等边三角形。
求证:
(1)△AEF≌△CDE。
(2)△ABC为等边三角形。
10.如图,用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD。
把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。
(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于E、F时(如图
(1)),通过观察或测量BE、CF的长度,你能得出什么结论?
请说明理由。
(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(如图
(2)),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由。
思维拓展提优
11.下列说法中,错误的是()
A.两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形。
B.有两个内角相等的三角形是等边三角形
C.一个外角平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
D.等边三角形一定是等腰三角形
12.已知线段m,n(m>n),用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=m,BC=n,再分别以AB、AC为边向三角形外部作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连结BE、CD,那么()
A.BE>CDB.BE=CD
C.BE13.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1与P关于OB对称,点P2与P关于OA对称,则点P1、O、P2三点所构成的三角形是()
A.直角三角形B.钝角三角形
C.等腰三角形D。
等边三角形
14.如图,已知△ABC是等边三角形,延长BC到点D,延长BA到点E,使AE=BD,连结CE和DE,求证△CDE是等腰三角形。
15.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以点D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于点M、N,连结MN,求△AMN的周长。
开放探究提优
16.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若BC=2,则DE+DF=___________。
走近中考前沿
17.(2008·福建泉州)如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由。
18.(2009·福建莆田)已知:
等边△ABC的边长为a。
探究
(1):
如图
(1),过等边△ABC的顶点A,B,C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG,求证:
△MNG是等边三角形且MN=
a;
探究
(2):
在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分别为点D,E,F。
1如图
(2),若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):
结论1.OD+OE+OF=
a;
结论2.AD+BE+CF=
a.
②如图(3),若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1,2是否仍然成立?
如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由。
阶段测评
(一)
(时间:
60分钟满分:
100分)
一、选一选(每题2分,共20分)
1.如图,AB∥CD,AD、BC相交于点O,∠BAD=35°,∠BOD=76°,则∠C的度数是()
A.31°B.35°C.41°D.76°
2.如图,AB∥CD,∠B=23°,∠D=42°,则∠E等于()
A.23°B.42°C.65°D.19°
3.如图,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能判定a∥b的条件的序号是()
A.①②B.①③C.①④D.③④
4.已知等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为()
A.12或9B.12C.9D.7
5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB,垂足为D,则∠DCB等于()
A.44°B.68°C.46°D.22°
6.已知等腰三角形一腰长的高线等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的一个底角等于()
A.15°或75°B.15°
C.75°D.150°或30°
7.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且AE=AF,则∠A等于()
A.30°B.40°C.50°D.70°
8.如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长为()
A.
B.
C.
D.
9.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于()
A.1:
3B.2:
3C.
:
2D.
:
3
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于()
A.30°B.40°C.45°D.36°
二、填一填(每题4分,共20分)
11.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF交CD于点G。
如果∠1=50°,那么∠2的度数是____________。
12.已知等腰三角形ABC的腰AB=AC=10cm,底边BC=8cm,BD=12cm,则∠A的平分线的长是__________cm。
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么点D到直线AB的距离是_______cm。
14.一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为24cm和42cm两部分,则它的底边长为__________cm。
15.如图,已知一束光线与水平面成60°的角度照射地面,现在地面AB上支放一个平面镜CD,使这束光线经过平面镜反射后成水平光线,则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数为________。
三、做一做(第16~22题每题6分,第23、24每题9分,共60分)
16.如图,AB∥CD,AD∥BC,∠A的2倍与∠C的3倍互补,求∠A和∠D的度数。
17.如图,已知△ABC和△BDE均为等边三角形,求证:
BD+CD=AD。
18.如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,∠ADC=60°,把△ADC沿直线AD翻折,点C落在C’的位置,若BC=4,求BC’的长。
19.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形;(用序号写出所以情形)
(2)选自第
(1)小题中的一种情形,说明△ABC是等腰三角形的理由。
20.如图,在梯形ABCD中,AD平行BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E。
求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE。
21.如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连结AP交BC于点E,连结BP交AC于点F。
(1)求证:
∠CAE=∠CBF;
(2)求证:
AE=BF;
(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G)记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,当∠ACB=100°和∠ACB=80°时,分别讨论是否存在点P,能使得S△ABC=S△ABG成立、
22.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD,垂足为M,求证:
AM=
(AB+CA)。
23.在△ABC中,AB=AC。
(1)如图
(1),如果∠BAD=30°,AD是边BC上的高,AD=AE,则∠EDC=_________°;
(2)如图
(2),如果∠BAD=40°,AD是边BC上的高,AD=AE,则∠EDC=_________°;
(3)思考:
通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?
请用式子表示:
________;
(4)如图(3),如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?
如有,请你写出来,并说明理由。
24.若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点。
(1)若点P为锐角△AB