全市级联考Word浙江省台州市届高三上学期期末数学试题.docx

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全市级联考Word浙江省台州市届高三上学期期末数学试题

台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题

数学2018.01

参考公式：

柱体的体积公式：

其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式：

其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

台体的体积公式：

其中、分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

球的表面积公式：

球的体积公式：

，其中表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则=（）

A.B.C.D.

2.若复数（为虚数单位），则=（）

A.B.C.D.

3.已知为锐角，且，则=（）

A.B.C.D.

4.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知数列满足，，则（）

A.B.C.D.

6.有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）

A.B.C.D.

7.已知实数，满足不等式组则的取值范围是（）

A.B.C.D.

8.已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

9.已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为（）

A.B.C.D.

10.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

非选择题部分（共110分）

二、填空题：

本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

11.双曲线的离心率为_________，渐近线方程为__________.

12.已知随机变量的分布列为：

则=__________，=__________.

13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_________；表面为__________.

14.若的展开式中所有项的系数之和为256，则=__________，含项的系数是_________（用数字作答）.

15.当时，的最小值为3，则实数的值为_________.

16.在中，内角，，所对的边为，，，点是其外接圆上的任意一点，若，，则的最大值为_________.

17.如图，在棱长为2的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为________.

三、解答题：

本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18.已知函数（，，为常数），

且，.

（1）求的单调递增区间；

（2）当时，求函数的最大值与最小值.

19.如图，正方形的边长为4，点，分别为，的中点，将，，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.

（1）求证：

平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

20.已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

21.已知椭圆:

的左右焦点分别为，，左顶点为，点在椭圆上，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点，，.求证：

以为直径的圆恒过交点，，并求出面积的取值范围.

22.数列，中，为数列的前项和，且满足，，

.

（1）求，的通项公式；

（2）求证：

；

（3）令，，求证：

.

台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题

数学参考答案及评分标准2018.01

一、选择题

1-5:

BCDBC6-10:

DDABA

二、填空题

11.，12.，13.，14.，

15.16.17.

三、解答题.

18.解：

（1）由题得：

，

由，，得故，

∴，

当，时，的单调递增，

可得，，

∴的单调递增区间为；

（2）由

（1）得，

由得：

.∴，

故在上的最大值为，最小值为.

19.解：

（1）∵，∴平面，

又平面，∴，

由已知可得，∴平面；

（2）由

（1）知平面平面，则为与平面所成角，设，交于点，连，则，，

又平面，平面，∴，

在中，，

∴与平面所成角的正弦值为.

20.解：

（1）函数的定义域为，，

∵，∴，解得或，为减函数，

，解得，为增函数，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）∵在恒成立，

∴，

令，则，

当时，，

当，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴.

21.解：

（1）∵，∴，

又点在椭圆上，∴，∴，

解得，或（舍去），又，∴，

所以椭圆的方程为；

（2）∵，，，

方法一：

当直线的斜率不存在时，，为短轴的两个端点，则，，

，，则以为直径的圆恒过焦点，，

当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，

设点（不妨设），则点，

由，消去得，所以，，

所以直线的方程为，

因为直线与轴交于点，令得，

即点，同理可得点，

，，，

，同理，

则以为直径的圆恒过焦点，，

当的斜率存在且不为零时，

，

面积为，

又当直线的斜率不存在时，，面积为，

面积的取值范围是.

方法二：

当，不为短轴的两个端点时，设，

则，由点在椭圆上，∴，

所以直线的方程为，令得，

即点，同理可得点，

以为直径的圆可化为，

代入，化简得，

令解得

∴以为直径的圆恒过焦点，，

∴，又，∴，∴面积为，

当，不为短轴的两个端点时，，面积为，

∴面积的取值范围是.

22.解：

（1）∵，∴当时，，

∴，∴，

∴，

∴，

（2）∵，

∴，

，

∴；

（3）①当时，左边右边，

②当时，∵，

，

∴，

，令，

则，

易知在上单调递增，

所以，∴，

由①②可知对于任意的，.