加工硬化指数n计算方法.docx

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加工硬化指数n计算方法

加工硬化和真应力－真应变曲线

工程应力工程应变曲线的形状是不变的,并且对试样卸载和重新加载时,应力也没有区别（必须保证卸载和重新加载之间的时间足够短）.

然而,如果用真应力和真应变来绘制曲线的话就会有区别,例如真应变的定义是长度的增量除以标距瞬时长度,然而工程应变是长度的增量除以原始标距的长度.比较这两种绘制曲线的方法,会发现随着应变的增加,应力应变的数据会发生越来越显著的差.一会儿会给出一些例子.

加工硬化率总是从真应力真应变数据中测量得到的.

绝大多数应力应变曲线都遵循一个简单的能量表达式,称之为Holloman方程,如下:

σt = Kεtn

当n为硬化比率或者硬化系数的时候，这个方程对中断的测试同样适用（但仅适用于立刻重新加载的测试，在室温下被延迟了几个小时后再加载就不适用了）.

由少量塑性应变,比如1%,引起的应力增加会很显著,在拉伸试验中可以测量出来,从而估计少量塑性应变后屈服强度的增加.

对于给定应变,应力增量越大,冷加工屈服强度越大.这个有用的参数被称做加工硬化指数,可以通过绘制如下曲线得到:

ln σ = ln K + n.ln ε

当塑性应变增加时,真应变和工程应变之间的差别也越来越大.一个可以选择的能精确测量n值的方法是在给定的应变处,测出真应力应变曲线的斜率:

dσ / dε = n KεTn−1

为了取代εn我们有:

-

dσ / dε = n σT / εT

或者

n = dσ / dε.εT / σT

这里σT和εT是测量的dσ/dε处的真应力和真应变.

第1章材料在静载下的力学行为（力学性能）

1.1材料在静拉伸时的力学行为概述

   静拉伸是材料力学性能试验中最基本的试验方法。

用静拉伸试验得到的应力－应变曲线，可以求出许多重要性能指标。

如弹性模量E，主要用于零件的刚度设计中；材料的屈服强度σs和抗拉强度σb则主要用于零件的强度设计中，特别是抗拉强度和弯曲疲劳强度有一定的比例关系，这就进一步为零件在交变载荷下使用提供参考；而材料的塑性，断裂前的应变量，主要是为材料在冷热变形时的工艺性能作参考。

图1－1几种典型材料在温室下的应力－应变曲线

   图1-1表示不同类型材料的几种典型的拉伸应力－应变曲线。

可见，它们的差别是很大的。

对退火的低碳钢，在拉伸的应力-应变曲线上，出现平台，即在应力不增加的情况下材料可继续变形，这一平台称为屈服平台，平台的延伸长度随钢的含碳量增加而减少，当含碳量增至0.6%以上，平台消失，这种类型见图1-1a；对多数塑性金属材料，其拉伸应力-应变曲线如图1-1b所示，该图所绘的虽是一铝镁合金，但铜合金，中碳合金结构钢（经淬火及中高温回火处理）也是如此，与图1-1a不同的是，材料由弹性变形连续过渡到塑性变形，塑性变形时没有锯齿形平台，而变形时总伴随着加工硬化；对高分子材料，象聚氯乙烯，在拉伸开始时应力和应变不成直线关系，见图1-1c，即不服从虎克定律，而且变形表现为粘弹性。

图1-1d为苏打石灰玻璃的应力-应变曲线，只显示弹性变形，没有塑性变形立即断裂，这是完全脆断的情形。

工程结构陶瓷材料象Al2O3，SiC等均属这种情况，淬火态的高碳钢、普通灰铸铁也属这种情况。

1.2金属材料的弹性变形

1.2.1广义虎克定律

   已知在单向应力状态下应力和应变的关系为：

   一般应力状态下各向同性材料的广义虎克定律为：

     其中：

    如用主应力状态表示广义虎克定律,则有

1.2.2弹性模量的技术意义

   工程上把弹性模量E、G称做材料的刚度，它表示材料在外载荷下抵抗弹性变形的能力。

在机械设计中，有时刚度是第一位的。

精密机床的主轴如果不具有足够的刚度，就不能保证零件的加工精度。

若汽车拖拉机中的曲轴弯曲刚度不足，就会影响活塞、连杆及轴承等重要零件的正常工作；若扭转刚度不足，则可能会产生强烈的扭转振动。

曲轴的结构和尺寸常常由刚度决定，然后作强度校核。

通常由刚度决定的尺寸远大于按强度计算的尺寸。

所以，曲轴只有在个别情况下，才从轴颈到曲柄的过渡园角处发生断裂，这一般是制造工艺不当所致。

   不同类型的材料，其弹性模量可以差别很大，因而在给定载荷下，产生的弹性挠曲变形也就会相差悬殊。

材料的弹性模量主要取决于结合键的本性和原子间的结合力，而材料的成分和组织对它的影响不大，所以说它是一个对组织不敏感的性能指标，这是弹性模量在性能上的主要特点（金属的弹性模量是一个结构不敏感的性能指标，而高分子和陶瓷材料的弹性模量则对结构与组织很敏感）。

改变材料的成分和组织会对材料的强度（如屈服强度、抗拉强度）有显著影响，但对材料的刚度影响不大。

从大的范围说，材料的弹性模量首先决定于结合键。

共价键结合的材料弹性模量最高，所以象SiC，Si3N4陶瓷材料和碳纤维的复合材料有很高的弹性模量。

而主要依靠分子键结合的高分子，由于键力弱其弹性模量最低。

金属键有较强的键力，材料容易塑性变形，其弹性模量适中，但由于各种金属原子结合力的不同，也会有很大的差别，例如铁（钢）的弹性模量为210GPa，是铝（铝合金）的三倍（EAl≈70GPa），而钨的弹性模量又是铁的两倍（Ew≈70GPa）。

弹性模量是和材料的熔点成正比的，越是难熔的材料弹性模量也越高。

1.2.3弹性比功

    对于弹簧零件来说，不管弹簧的形状如何（是螺旋弹簧还是板弹簧），也不管弹簧的受力方式如何（是拉压还是弯扭），都要求其在弹性范围内（弹性极限以下）有尽可能高的弹性比功。

弹性比功为应力－应变曲线下弹性范围内所吸收的变形功，即：

弹性比功

式中σe为材料的弹性极限，它表示材料发生弹性变性的极限抗力。

理论上弹性极限的测定应该是通过不断加载与卸载，直到能使变形完全恢复的极限载荷。

实际上在测定弹性极限时是以规定某一少量的残留变形（如0.01%）为标准，对应此残留变形的应力即为弹性极限。

   弹性模量是材料的刚度性能，材料的成分与热处理对它影响不大；而弹性极限是材料的强度性能，改变材料的成分与热处理能显著提高材料的弹性极限。

这里附带说明，材料的弹性极限规定的残留变形量比一般的屈服强度更小，是对组织更敏感的性能指标，如它对内应力、钢中残留奥氏体、自由铁素体和贝氏体等能灵敏地反映出材料内部组织的变化。

1.2.4滞弹性

   理想的弹性体其弹性变形速度是很快的，相当于声音在弹性体中的传播速度。

因此，在加载时可认为变形立即达到应力-应变曲线上的相应值，卸载时也立即恢复原状，图上的加载与卸载应在同一直线上，也就是说应变与应力始终保持同步。

但是，在实际材料中有应变落后于应力现象，这种现象叫做滞弹性（如图1-2）。

对于多数金属材料，如果不是在微应变范围内精密测量，其滞弹性不是十分明显，而有少数金属特别象铸铁、高铬不锈钢则有明显的滞弹性。

例如普通灰铸铁在拉伸时，其在弹性变形范围内应力和应变并不遵循直线AC关系（参见图1-2），而是加载时沿着直线ABC，在卸载时不是沿着原途径，而是沿着CDA恢复原状。

加载时试样储存的变形功为ABCE，卸载时释放的弹性变形能为ADCE，这样在加载与卸载的循环中，试样储存的弹性能为ABCDA，即图中阴影线面积。

这个滞后环面积虽然很小，但在工程上对一些产生振动的零件却很重要，它可以减小振动，使振动幅度很快地衰减下来，正是因为铸铁有此特性，故常被用来制作机床床身和内燃机的支座。

滞弹性也有不好的一面，如在精密仪表中的弹簧、油压表或气压表的测力弹簧，要求弹簧薄膜的弹性变形能灵敏地反映出油压或气压的变化，因此不允许材料有显著的滞弹性。

对于高分子材料，滞弹性表现为粘弹性并成为材料的普遍特性，这时高分子的力学性能都与时间有关了，其应变不再是应力的单值函数也与时间有关。

高分子材料的粘弹性主要是由于大的分子量使应变对应力的响应较慢所致。

1.2.5包辛格效应及其使用意义

   包辛格效应就是指原先经过变形，然后在反向加载时弹性极限或屈服强度降低的现象,如图1－3所示。

特别是弹性极限在反向加载时几乎下降到零，这说明在反向加载时塑性变形立即开始了。

包辛格效应在理论上和实际上都有其重要意义。

在理论上由于它是金属变形时长程内应力的度量（长程内应力的大小可用X光方法测量），包辛格效应可用来研究材料加工硬化的机制。

在工程应用上，首先是材料加工成型工艺需要考虑包辛格效应。

其次，包辛格效应大的材料，内应力较大。

1.3金属材料的塑性变形

1.3.1屈服强度及其影响因素

   1.屈服标准

   工程上常用的屈服标准有三种：

（1）比例极限  应力-应变曲线上符合线性关系的最高应力，国际上常采用σp表示，超过σp时即认为材料开始屈服。

（2）弹性极限  试样加载后再卸载，以不出现残留的永久变形为标准，材料能够完全弹性恢复的最高应力。

国际上通常以σel表示。

应力超过σel时即认为材料开始屈服。

   （3）屈服强度  以规定发生一定的残留变形为标准，如通常以0.2%残留变形的应力作为屈服强度，符号为σ0.2或σys。

   2.影响屈服强度的因素

   影响屈服强度的内在因素有：

结合键、组织、结构、原子本性。

如将金属的屈服强度与陶瓷、高分子材料比较可看出结合键的影响是根本性的。

从组织结构的影响来看，可以有四种强化机制影响金属材料的屈服强度，这就是：

（1）固溶强化；

（2）形变强化；（3）沉淀强化和弥散强化；（4）晶界和亚晶强化。

沉淀强化和细晶强化是工业合金中提高材料屈服强度的最常用的手段。

在这几种强化机制中，前三种机制在提高材料强度的同时，也降低了塑性，只有细化晶粒和亚晶，既能提高强度又能增加塑性。

   影响屈服强度的外在因素有：

温度、应变速率、应力状态。

随着温度的降低与应变速率的增高,材料的屈服强度升高，尤其是体心立方金属对温度和应变速率特别敏感，这导致了钢的低温脆化。

应力状态的影响也很重要。

虽然屈服强度是反映材料的内在性能的一个本质指标，但应力状态不同，屈服强度值也不同。

我们通常所说的材料的屈服强度一般是指在单向拉伸时的屈服强度。

   3.屈服强度的工程意义

   传统的强度设计方法，对塑性材料，以屈服强度为标准，规定许用应力[σ]=σys/n，安全系数n一般取2或更大，对脆性材料，以抗拉强度为标准，规定许用应力[σ]=σb/n，安全系数n一般取6。

   需要注意的是，按照传统的强度设计方法，必然会导致片面追求材料的高屈服强度，但是随着材料屈服强度的提高，材料的抗脆断强度在降低，材料的脆断危险性增加了。

   屈服强度不仅有直接的使用意义，在工程上也是材料的某些力学行为和工艺性能的大致度量。

例如材料屈服强度增高，对应力腐蚀和氢脆就敏感；材料屈服强度低，冷加工成型性能和焊接性能就好等等。

因此，屈服强度是材料性能中不可缺少的重要指标。

1.3.2　加工硬化和真应力－应变曲线

   1.真实应力-应变曲线

   材料开始屈服以后，继续变形将产生加工硬化。

但材料的加工硬化行为，不能用条件的应力-应变曲线来描述。

因为条件应力σ=F/A,条件应变

。

应力的变化是以不变的原始截面积来计量，而应变是以初始的试样标距长度

来度量。

但实际上在变形过程的每一瞬时试样的截面积和长度都在变化，这样，自然不能真实反映变形过程中的应力和应变的变化，而必须采用真实应力-应变曲线。

真实应力-应变曲线也叫流变曲线。

真实应力S=F/A，真实应变

。

   由图1－4可以看出，真实应变与条件应变相比有两个明显的特点。

第一，条件应变往往不能真实反映或度量应变。

第二，真实应变可以叠加，可以不计中间的加载历史，只需要知道试样的初始长度和最终长度。

条件应变总大于真应变，在条件应变为0.1左右时，两者相差不多，随着应变量的增加，两者的相差越来越大。

   2.真应力－应变关系

   从试样开始屈服到发生颈缩，这一段应变范围中真实应力和应变的关系,可用以下方程描述

式中n称为加工硬化指数或应变硬化指数，K叫做强度系数。

如取对数,则有

在双对数的坐标中真应力和真应变成线性关系,直线的斜率即为n，而K相当于ε=1.0时的真应力，见图1－5。

理想的弹性体和理想的塑性体限定了一般材料加工硬化指数n的变化范围，如用S=Kεn 方程描述，则在图1－6中，理想弹性体n=1为-45。

斜线，理想塑性体n=0为一水平直线，n=1/2的为一抛物线。

   3.加工硬化指数n的实际意义

   加工硬化指数n反应了材料开始屈服以后，继续变形时材料的应变硬化情况，它决定了材料开始发生颈缩时的最大应力。

n还决定了材料能够产生的最大均匀应变量（见1.3.3内容），这一数值在冷加工成型工艺中是很重要的。

   对于工作中的零件，也要求材料有一定的加工硬化能力，否则，在偶然过载的情况下，会产生过量的塑性变形，甚至有局部的不均匀变形或断裂，因此材料的加工硬化能力是零件安全使用的可靠保证。

   形变硬化是提高材料强度的重要手段。

不锈钢有很大的加工硬化指数n=0.5，因而也有很高的均匀变形量。

不锈钢的屈服强度不高，但如用冷变形可以成倍地提高。

高碳钢丝经过铅浴等温处理后拉拔，可以达到2000MPa以上。

但是，传统的形变强化方法只能使强度提高，而塑性损失了很多。

现在研制的一些新材料中，注意到当改变了显微组织和组织的分布时，变形中既能提高强度又能提高塑性，见图1－7。

1.3.3颈缩条件和抗拉强度

   1.颈缩条件

   应力-应变曲线上的应力达到最大值时即开始出现颈缩。

在颈缩前变形沿整个试样长度是均匀的，发生颈缩后变形则主要集中在局部区域，在此区域内横截面越来越细，局部应力越来越高，直至不能承受外加载荷而断裂。

出现颈缩时正是相当于负荷-变形曲线上的最大载荷处，因此，应有dF=0

                      dF=d（S·A）=AdS+SdA=0

即　　                  -dA/A=dS/S

   又按体积不变定理有　dL/L=-dA/A=dε

故有

　　　　　　            dS/dε=S

   这就是出现颈缩的条件，即当加工硬化速率等于该处的真应力时就开始颈缩。

   依据颈缩条件，倘若已有真应力-应变曲线，并作出相应的应变硬化速率和应变的关系，这两个曲线的交点即表示在该应变量下将要开始颈缩，在交点的左方dS/dε>S，硬化作用较强，足以补偿因截面之减小所引起的应力升高，而在交点的右方dS/dε

在发生颈缩时所对应的均匀真应变量εm在数值上等于n（见图1-8）。

   因为从n的定义得出      dS/dε=nS/ε

   颈缩条件为             dS/dε=S

   代入上式得              n=εm

   2.抗拉强度

   在材料不产生颈缩时抗拉强度代表断裂抗力。

脆性材料用于产品设计时，其许用应力是以抗拉强度为依据的。

抗拉强度对一般的塑性材料有什么意义呢？

虽然抗拉强度只代表产生最大均匀塑性变形抗力，但它表示了材料在静拉伸条件下的极限承载能力。

对应于抗拉强度σb的外载荷，是试样所能承受的最大载荷，尽管此后颈缩在不断发展，实际应力在不断增加，但外载荷却是在很快下降的。

1.3.4　塑性的测量及其实际意义

   1.塑性的测量

   工程上常用条件塑性而不是真实塑性。

拉伸时条件塑性以延伸率

和断面收缩率

表示（点击察看动画演示）。

;

;

为均匀变形阶段的最大延伸率；

为局集变形时的延伸率；断裂时总延伸率为

，相应地断面收缩率

；

；

；

；

表示断裂时的最小截面积。

   2.塑性指标间的关系

   塑性指标间的关系要区分颈缩前和颈缩后的这两种情况。

   对于颈缩前，由于变形前后体积不变

   于是得到条件塑性与断面收缩率之间的关系有

可以看出均匀变形时

恒大于

。

   如研究均匀变形阶段真实塑性和条件塑性间的关系

可以看出条件塑性

恒大于真实塑性

。

   在发生颈缩后，由于局部变形的结果，条件塑性

和

已不能建立关系，真实塑性

。

但是真实塑性

仍可按照颈缩区域体积不变，求得和条件塑性

之间的关系

   因此，在断裂时可通过测量

，求得真实塑性

   3.塑性的实际意义

   试样拉断时所测得的条件延伸率

主要反映了材料均匀变形的能力，而断面收缩率

则主要反映了材料局部变形的能力。

如试样的

，说明拉断时不产生颈缩，反之发生颈缩的试样，其

。

1.3.5　静力韧度

   材料在静拉伸时单位体积材料从变形到断裂所消耗的功叫做静力韧度。

严格的说，它应该是真应力-应变曲线下所包围的面积也就是

工程上为了简化方便，近似地采取：

对塑性材料

   静力韧度是一个强度与塑性的综合指标。

单纯的高强度材料象弹簧钢，其静力韧度不高，而只具有很好塑性的低碳钢也没有高的静力韧度，只有经淬火高温回火的中碳（合金）结构钢才具有最高的静力韧度（动画演示）。

1.4金属材料的断裂

1.4.1静拉伸的断口

   材料在静拉伸时的断口可呈现3种情况，如图1-9所示。

   力学性能常将断裂分成正断和切断。

断裂垂直于最大正应力者叫正断，而沿着最大切应力方向断开的叫切断。

上图（a）所示的断口即为正断；图（e）所示的断口即为切断；而图（d）所示的断口，中心部分大致为正断，两侧部分为切断，

故为混合型断口。

工程上常按断裂前有无明显的塑性变形，将断裂分成脆断和韧断。

这是就宏观而言的。

注意这两种分类是从不同角度来讨论断裂的，其间并没有什么必然的联系。

正断不一定就是脆断，正断也可以有明显的塑性变形。

但切断是韧断，反过来韧断就不一定是切断了，所以切断和韧断也并非是同义语。

   对拉伸试样的宏观断口观察，可看出多数情况下有三个区域。

第一个区域在试样的中心位置，叫做纤维区（如图1-10），裂纹首先在该区域形成，该区颜色灰暗，表面有较大的起伏，如山脊状，这表明裂纹在该区扩展时伴有较大的塑性变形，裂纹扩展也较慢；第二个区域为放射区，表面较光亮平坦，有较细的放射状条纹，裂纹在该区扩展较快；接近试样边缘时，应力状态改变了（平面应力状态），最后沿着与拉力轴向成40-50°剪切断裂，表面粗糙发深灰色。

这称为第三个区域剪切唇。

试样塑性的好坏，由这三个区域的比例而定。

如放射区较大，则材料的塑性低，因为这个区域是裂纹快速扩展部分，伴随的塑性变形也小。

反之对塑性好的材料，必然表现为纤维区和剪切唇占很大比例，甚至中间的放射区可以消失。

影响这三个区比例的主要因素是材料强度和试验温度。

   如果材料的硬度和强度很高，又处于低温环境，圆形试样的拉伸断口，

断面上有许多放射状条纹，这些条纹汇聚于一个中心，这个中心区域就是裂纹源。

断口表面越光滑，放射条纹越细，这是典型的脆断形貌。

如为板状试样，断裂呈“人”字形花样，“人”字的尖端指向裂纹源（如图1-11），这对于分析压力容器或构件的失效是有帮助的。

1.4.2韧断机制--微孔聚合

   微观上的微孔聚合断裂机制，在多数情况下与宏观上的韧断相对应。

（也有在微观断口上表现为微孔聚合，实际在宏观上为脆断，这点以后就要谈到。

）试样拉伸开始出现颈缩后，就产生了三向拉应力，最大轴向拉应力位于试样中心，在此拉应力作用下，试样开始产生微孔，继而长大和聚合，形成一中心裂纹，这中心裂纹沿着垂直于拉力轴的方向伸展，到试样边缘以大约和轴向成45度平面剪切断开，如图1-12所示。

   在扫描电镜下，微孔聚合型断裂的形貌特征是一个个韧窝（即凹坑），韧窝是微孔长大的结果，韧窝内大多包含着一个夹杂物或第二相，这证明微孔多萌生于夹杂物或第二相与基体的界面上。

微孔的萌生可以在颈缩之前，也可以发生在颈缩之后，这取决于第二相与基体的结合强度。

例如，对F+M的双相钢，M成岛状分布于铁素体基体上，扫描电镜观察拉伸变形时，在M/F界面上较早产生微孔并形成于颈缩之前；而调质钢的碳化物因细小均匀，与基体结合的强度高，大量的微孔萌生是在颈缩之后；如果是马氏体时效钢，因析出的金属间化合物比钢中碳化物的尺寸小一个数量级，微孔更难萌生，微孔萌生成为控制其断裂过程的主要环节。

我们说微孔多萌生于夹杂物和第二相处，这并不意味着在没有夹杂物和第二相时，便不能形成微孔，对纯金属或单相合金变形后期也可产生许多微孔，微孔可产生于晶界，或孪晶带等处，只是相对地说微孔萌生较迟些。

微孔的萌生有时并不单纯取决于拉应力，要看具体的组织而定。

   由于应力状态或加载方式的不同，微孔聚合型断裂所形成的韧窝可有三种类型：

（1）拉伸型的等轴状韧窝。

裂纹扩展方向垂直于最大主应力σmax，σmax是均匀分布于断裂平面上，拉伸时呈颈缩的试样中心部分就显示这种韧窝状。

（2）剪切型的伸长韧窝。

在拉伸试样的边缘，两侧均由剪应力切断，显示这种韧窝形状，韧窝很大如卵形，其上下断面所显示的韧窝，其方向是相反的。

（3）拉伸撕裂的伸长韧窝。

产生这种韧窝的加载方式有些和等轴状韧窝类似，但是等轴状韧窝可以认为是在试样中心加拉伸载荷的，而拉伸型韧窝是在试样边缘加载的，因而σmax不是沿截面均匀分布的，在边缘部分应力很大，裂纹是由表面逐渐向内部延伸的，好像我们把粘着的两张纸，从一端把它们逐渐撕开一样故称拉伸撕裂型。

表面有缺口的试样或者裂纹试样，其断口常显示这种类型。

这种类型的韧窝，韧窝小而浅，裂纹扩展快，故在宏观上常为脆断，所以不要把微孔聚合型的微观机制都归之为韧断，这也是宏观和微观不能完全统一之处（点击演示动画）。

   韧窝的形状取决于应力状态，而韧窝的大小和深浅取决于第二相的数量分布以及基体的塑性变形能力。

如第二相较少、均匀分布以及基体的塑性变形能力强，则韧窝大而深，如基体的加工硬化能力很强，则得到大而浅的韧窝。

1.4.3穿晶断裂--解理和准解理

   1.解理断裂

   穿晶的解理断裂常见于体心立方和密排六方金属中。

当处于低温，或者应变速率较高，或者是有三向拉应力状态，都能促使解理断裂，在宏观上表现为脆性断裂。

解理断裂是沿着一定的结晶学平面发生的，这个平面叫解理面，例如体心立方金属的解理面为（100）。

解理断裂的断口形貌表现为河流状花样，河流的流向（一些支流的汇合方向）即为裂纹扩展方向，裂纹多萌生于晶界或亚晶界（如图1-13）。

   2.准解理

   这种断口形貌常见于淬火回火的高强度钢中，或者是组织为贝氏体的钢中。

它和解理断裂有些相似，有相同的解理面，也有河流花样。

它和解理断裂在形貌上有些不同，表现在：

1）主裂纹的走向不太清晰，原因是主裂纹前方常产生许多二次裂纹，这些二次裂纹彼此连接或与主裂纹相连。

2）在晶粒内部有许多撕裂棱，撕裂棱附近有较大的变形。

3）裂纹多萌生于晶粒内部，裂纹的扩展从解理台阶逐渐过渡向撕裂棱。

1.4.4力学状态图的断裂分析

   1.应力状态系数a

   为了表示应力状态对材料塑性变形的影响，引入了应力状态系数a，它的定义为

式中最大切应力τmax按第三强度理论计算，即τmax=1/2（σ1-σ3），σ1，σ3分别为最大和最小主应力。

最大正应力Smax按第二强度理论计算，即

为泊松系数。

   对单向拉伸

   对扭转

   取

   对单向压缩

   取