(2)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,
所以方程有一解.
【答案】
(1)D
(2){0}∪[1,+∞)
若将本例
(2)变为函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围如何?
[解] 由本例
(2)作出的函数y=|3x-1|的图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k∈(-∞,0].
指数函数的图象及应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称、翻折变换得到其图象.
(2)一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
[通关练习]
1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
A [解析]将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.
2.若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是________.
[解析]方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.
(1)当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即
0<a<;
(2)当a>1时,如图②,而y=2a>1不符合要求.
所以0<a<.
[答案]
指数函数的性质及应用(高频考点)[学生用书P33]
指数函数的性质主要是其单调性,特别受到高考命题专家的青睐,常以选择题、填空题的形式出现.
高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度:
(1)比较指数幂的大小;
(2)解简单的指数方程或不等式;
(3)研究指数型函数的性质;
(4)求解指数型函数中参数的取值范围.
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷丙)已知a=2,b=4,c=25,则( )
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<aD.c<a<b
(2)(2017·福州模拟)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为________.
(3)若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为________.
【解析】
(1)因为a=2=16,b=4=16,c=25,且幂函数y=x在R上单调递增,指数函数y=16x在R上单调递增,所以b<a<c.
(2)当a<1时,41-a=21,
所以a=;
当a>1时,代入不成立.
(3)f(x)为偶函数,
当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4.
所以f(x)=
当f(x-2)>0时,
有
或
解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.
【答案】
(1)A
(2) (3){x|x>4或x<0}
有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1).
(2)求解简单的指数不等式问题,应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.
[注意] 在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论.
[题点通关]
角度一 比较指数幂的大小
1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<cB.a<c<b
C.b<a<cD.b<c<a
C [解析]因为指数函数y=0.6x在(-∞,+∞)上为减函数,
所以0.60.6>0.61.5,即a>b,
又0<0.60.6<1,1.50.6>1,所以a<c,故选C.
角度二 解简单的指数方程或不等式
2.(2015·高考江苏卷)不等式2x2-x<4的解集为________.
[解析]因为2x2-x<4,所以2x2-x<22,
所以x2-x<2,即x2-x-2<0,所以-1[答案]{x|-1角度三 研究指数型函数的性质
3.(2017·太原模拟)函数y=2x-2-x是( )
A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
A [解析]令f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,排除C、D.又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数,故y=2x-2-x在R上为增函数.
角度四 求解指数型函数中参数的取值范围
4.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
[解析]当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.
[答案]-
[学生用书P34])
——利用换元法求解指数型函数的值域问题
函数f(x)=-+1在x∈[-3,2]上的值域是________.
【解析】 因为x∈[-3,2],若令t=,则t∈.y=t2-t+1=+.
当t=时,ymin=;当t=8时,ymax=57.
所以函数f(x)的值域为.
【答案】
(1)此题利用了换元法,把函数f(x)转化为y=t2-t+1,其中t∈,将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题,从而减少了运算量.
(2)对于同时含有ax与a2x(logax与logx)(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题,通常令t=ax(t=logax)进行换元巧解,但一定要注意新元的范围.
已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
[解]
(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,
令t=2x,x∈[-3,0],
则t∈.
故y=2t2-t-1=2-,t∈,故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,
解为m=-1<0,不成立.
当a<0时,开口向下,
对称轴m=<0,过点(0,-1),
不成立,
当a>0时,开口向上,
对称轴m=>0,过点(0,-1)
必有一个根为正,
所以a