d=|R-r|两圆相内切
d<|R-r|两圆内含
d=0,两圆同心。
14.两圆相交弦所在直线方程的求法:
圆C1的方程为:
x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圆C2的方程为:
x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为:
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
16.焦半径公式:
在椭圆=1中,F1、F2分别左右焦点,P(x0,y0)是椭圆是一点,则:
(1)
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
(2)三角形PF1F2的面积如何计算
17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
18.直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)则弦长P1P2=
19.双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。
20.抛物线中与焦点有关的一些结论:
(要记忆)
解题思路与方法:
高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外,就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题:
(1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向,这是减少或避免错误的一个关键。
(2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线,通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时:
涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍。
(3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。
一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。
定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)。
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小。
(4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。
(5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。
(6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”,将“形”化成“数”,使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方法有:
直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤:
建系、设点、列式、化简、确定点的范围。
(7)参数方程,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解。
第二部分解析几何中的范围问题(研究性学习之二)
在直线与圆锥曲线相交问题中,关于直线的斜率或纵截距的取值范围,关于圆锥曲线的离心率、长轴长(或实轴长)、短轴长(或虚轴长)等有关参量的取值范围,是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。
对此,一般情况下的解题思路,首先寻觅出(或直接利用)相关的不等式,进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。
在这里,我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。
一、“题设条件中的不等式关系”之运用
事物都是一分为二的。
对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系,既可作为推导或求解的条件而增加难度,也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。
在解决范围问题时,不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式,往往成为解题的关键环节.
例1、已知双曲线中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线右支上 ,点M(m,0)到直线AP的距离为1.
(1)若直线AP的斜率为k,且,求实数m的取值范围;
(2)当时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线方程.
分析:
对于
(1),已知直线AP的斜率k的取值范围,要求m的取值范围,首先需要导出k与m的关系式;对于
(2),则要利用三角形内心的性质,三角形内心到三边距离相等;三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线;三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质,还要视题设条件的具体情况来定夺.
解:
(1)由已知设直线AP的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0
∵点M到直线AP的距离为1
∴ ①
∵
∴,
解得或
∴所求m的取值范围为.
(2)根据已知条件设双曲线方程为
当时,点M的坐标为().
∵A(1,0),,
∵点M到直线AP的距离为1,
∴△APQ的内切圆半径r=1,
∴∠PAM=45°,
(不妨设点P在第一象限)
∴直线PQ的方程为,
直线AP的方程为y=x-1
因此解得点P的坐标为()
将点P坐标代入双曲线方程得
∴所求双曲线方程为
即.
点评:
这里的
(1),是题设条件中明显的不等关系的运用;
这里的
(2),审时度势的求解出点P坐标,恰如“四两拨千斤”.同学们请注意:
一不要对三角形内心敬而生畏,二不可总想利用某一性质。
沉着冷静地分析、认知问题,便会逐渐拨开云雾,寻出解题方向.
例2、设椭圆的两个焦点是,且椭圆上存在点P使得直线垂直.
(1)求实数m的取值范围;
(2)设L是相应于焦点的准线,直线与L相交于点Q,若,求直线的方程.
分析:
对于
(1),要求m的取值范围,首先需要导出相关的不等式,由题设知,椭圆方程为第一标准方程,因而这里应有,便是特设条件中隐蔽的不等关系.
对于
(2),欲求直线的方程,注意到这里题设条件与点P的密切关系,故考虑从求点P坐标突破.
解:
(1)由题设知
设点P坐标为,则有
化简得 ①
将①与联立,解得
∵m>0,且
∴m≥1
即所求m的取值范围为.
(2)右准线L的方程为
设点
∴ ②
(ⅰ)将代入②得
③
又由题设知
∴由③得,无解.
(ⅱ)将代入②得
④
∴由题设得
由此解得m=2
从而有
于是得到直线的方程为
点评:
对于
(1),解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式对于
(2),以求解点P坐标为方向,对已知条件进行“数形转化”,乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.
二、“圆锥曲线的有关范围”之运用
我们在学习中已经看到,椭圆、双曲线和抛物线的“范围”,是它们的第一几何性质。
事实上,我们研究“范围”,一在于认知:
认知圆锥曲线特性;二在于应用:
“应用”它们来解决有关问题。
例、以为焦点的椭圆与x轴交于A,B两点
(1)过作垂直于长轴的弦MN,求∠AMB的取值范围;
(2)椭圆上是否存在点P,使∠APB=120°?
若存在,求出椭圆离心率e的取值范围.
解:
(1)基于椭圆的对称性,不妨设定为右焦点,M在第一象限,则易得,
设A(-a,0),B(a,0),则∠AMB为直线AM到BM的角,
又
∴利用公式得 ①
此时注意到椭圆离心率的范围:
0 ∴ ②
∴由①②得
由此解得
(2)设椭圆上存在点P使∠APB=120°
基于椭圆的对称性,不妨设点P(x,y)在第一象限
则有x>0,y>0
∴根据公式得
整理得 ①
又这里 ②
∴②代入①得 ③
此时注意到点P在椭圆上,故得 ④
∴由③④得
⑤
由⑤得 ⑥
于是可知,当时,点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为;
当时,点P不存在.
三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用
在直线与曲线相交问题中,直线与某圆锥曲线相交的大前提,往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。
因此,对于有关一元二次方程的判别式△>0,求某量的值时,它是去伪存真的鉴别依据,求某量的取值范围时,它是导出该量的不等式的原始不等关系。
例1、已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,且右焦点到直线的距离为3,若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N,使M、N关于过A点的直线对称,求直线l的斜率取值范围。
解:
(既设又解)设右焦点F(c,0),则由
又b=1,∴
∴椭圆方程为 ①
设直线l的方程为y=kx+m ②
将②代入①得
由题意 ③
且 ④
∴
∴点P坐标为
又根据题意知M、N关于直线AP对称,故有
⑤
于是将⑤代入③得
因此可知,所求k的取值范围为.
例2、已知椭圆C的中心在原点上,焦点在x轴上,一条经过点且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点,交x轴于点M,又
(1)求直线l的方程;
(2)求椭圆C的长轴长的取值范围.
解:
(1)由题意设椭圆C的方程为.
∵直线l的方向向量为
∴亦为直线l的方向向量
∴直线l的斜率
因此,直线l的方程为
即
(2)设
将直线l的方程与椭圆方程联立,消去x得
由题设
①
且 ②
又这里M(1,0)
∴由得
∴ ③
进而由③得 ④
∴由④得 ⑤
∴②代入⑤得 ⑥
⑦
注意到由⑥得
故由⑦得
因而得1 ∴由⑦解出代入①并利用⑧得
⑨
另一方面,再注意到,
再由⑦得
.
因此有
即所求椭圆C的长轴的取值范围为.
点评:
欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围,需要利用或挖掘题目中的不等关系.在这里,我们由导出关于a、b的等式⑦之后,一方面利用了本题中人们熟知的△>0确定的不等式,另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系:
a>b>0,双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用,乃是解题成功的关键.
四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用
所给问题中的某些点,注定要在相关圆锥曲线的内部。
比如圆锥曲线的弦的内分点,又如圆锥曲线任意两弦的交点等。
因此,点在圆锥曲线内部的充要条件,便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。
其中,常用的充要条件为:
1、
2、
3、
4、
例、已知椭圆的焦点为,过点且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,,又椭圆上不同两点A、C满足条件:
成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)设弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m,求m的取值范围.
解:
(1)由题设得2a=10,c=4
∴a=5,b=3,c=4
∴椭圆方程为
(2)(设而不解)设
则由题意得
①
故有点
∵A、C在椭圆上
∴
两式相减得
②
∴由①及所设得 ③
∴弦AC的垂直平分线方程为
∴由题意得 ④
注意到当x=4时椭圆上点的纵坐标为,又点在椭圆内部
故得 ⑤
于是由④、⑤得
∴所求的取值范围为
点评:
此题解法充分体现了“以我为主”的思想。
以我为主:
以我所引入的参数诠释已知条件,以我所引入的参数构造弦的斜率,以我对这一解的认知决定解题策略……,本解法以运用自设参数为主而将所给的y=kx+m放在十分次要的位置,从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中,待抬头看题设时,解题已经胜利在望。
想一想:
这里为什么可以不用直线方程y=kx+m与椭圆方程联立。
五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用
“相等”与“不等”是辩证的统一,根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系,椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系,那么必然蕴含这隐蔽的“不等”关系。
因此,对于椭圆或双曲线的探求范围问题,适时认知并发掘出本题的不等关系,往往成为解题成败的关键环节。
圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有:
1、
2、
例、已知双曲线的左、右焦点分别为、,若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与成等比数列,求离心率e的取值范围.
分析:
寻求e的范围的一般途径为
(1)认知或发掘出本题的不等关系;
(2)将
(1)中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式;
(3)将
(2)中的不等式演变为关于e的不等式,进而通过解这一不等式导出所求范围.
其中,有关双曲线上点P处的两条焦点半径的问题,定义中明朗的等量关系:
是认知或求值的理论基础;而定义中隐蔽的不等关系:
则是寻求参量范围的重要依据。
解:
(1)确立不等关系
注意到这里 ①
(2)不等关系演变之一
设左支上的点P到左准线的距离为d,
则由题意得
(变形目的:
利用第二定义,寻找两焦半径与e的联系)
∴ ②
又点P在双曲线左支上
∴(点P在左支这一条件的应用) ③
∴由②③解得 ④
∴将④代入①得 ⑤
(3)不等关系演变之二:
由⑤得
故解得
于是可知,所求离心率e的范围为
第三部分直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习之一)
众所周知,直线与圆锥曲线的问题,是解析几何解答题的主要题型,是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。
多年备考的实践经验告诉我们,欲更快地提高解决这类问题的实践能力,需要切实解决好以下两个问题:
(1)条件或目标的等价转化;
(2)对于交点坐标的适当处理。
本文试从上述两个问题的研究切入,对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索,希望对高考备考有所帮助。
一、条件或目标的认知与转化
解题的过程是一系列转化的过程。
从某种意义上说,解题,就是要将所解的题转化为已经解过的题。
然而,转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。
有了足够的认知基础,我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。
1、化生为熟
化生为熟是解题的基本策略。
在直线与圆锥曲线相交问题中,弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。
因此,由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题,要注意适时向弦长或弦中点问题转化。
一但转化成功,解题便得以驾轻就熟,胜券在握。
(1)向弦中点问题转化
例1.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为
(1)求双曲线方程;
(2)若直线(km≠0)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求m的取值范围。
略解:
(1)所求双曲线方程为(过程略)
(2)由消去y得:
由题意知,当时, ①
设中点
则C、D均在以A为圆为的同一圆上
又
∴ ②
于是由②得 ③
由②代入①得,解得m<0或m>4 ④
于是