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导数在不等式证明中的应用毕业论文

导数在不等式证明中的应用--毕业论文

【标题】导数在不等式证明中的应用

【作者】龙定洪

【关键词】导数应用不等式辅助函数证明

【指导老师】金茂明

【专业】数学与应用数学

【正文】

1、引言与预备知识:

引言:

在证明不等式时，通常采用的是用初等方法的证明,而当我们遇到用常规方法很难直接证明的不等式时该怎么办呢?

在我们学习了导数后,能否绕过这个障碍,利用导数对其求证?

故本文重点探讨怎样利用导数去证明不等式,在证明过程中我们会感受到此种方法的简捷性.此种方法体现了高等师范院校的毕业生对所学高等数学知识在初等数学中的应用,同时,它对中学数学教师和即将跨入大学的高中生也有一定的帮助.下面我们就应用导数证明不等式的方法进行以下几个方面的探讨,介绍具体的证明思路与方法.

预备知识:

为了探讨导数在不等式证明中的应用,则需给出以下相关的理论知识:

拉格朗日（Lagrange）中值定理、利用导数判断函数单调性定理、极值第一充分条件、极值第二充分条件、最值第一充分条件、最值第二充分条件、最值第三充分条件、凹凸函数定义、詹森（Jensen）不等式定理.（以上某些定理及概念见参考文献[1]、[2]、[6].）2、导数在不等式证明中的应用

2.1应用拉格朗日（Lagrange）中值定理证明不等式

2.1.1拉格朗日（Lagrange）中值定理:

设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）可导，则至少存在一点，使得:

.

拉格朗日中值定理是微积分中最重要的定理之一，也称为微积分中值定理,它是沟通函数与其导数的桥梁，是应用导数研究函数性质的重要数学工具，下面我们就应用它来证明不等式.2.1.2证明不等式:

证明思路:

由待证不等式建立函数式，应用拉格朗日中值定理得到等式，再消去证明不等式成立.

例1证明:

当时，.

证:

设,在上满足拉格朗日中值定理的条件，

所以，存在使得:

即:

.

再由得

.

例2证明.

证明:

由拉格朗日中值定理得:

因为在与之间，且，

所以

.

小结:

用拉格朗日中值定理证明不等式，一般具有以下特点:

不等式同解变形后，一端可以转化为同一个函数值之差，比如:

，另一端有的因式.2.2用函数的单调性证明不等式

回忆一下，例如，函数单调递增的定义:

如果，有，则称在（a,b）上递增;如果其中的不等号是严格不等号，则称函数严格单调递增.

2.2.1:

利用导数来研究函数的单调性:

设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间上可导,设曲线在其上每一点都存在切线,若切线与轴正方向的夹角都是锐角，即切线斜率，则曲线必严格单增（如图1）;若切线与轴正方向的夹角是钝角，即切线斜率，则曲线必严格单减（如图2），由此可见，应用导数的符号能够判别函数的单调性.

YY

BA

AB

OabXOabX

图1:

函数单调上升图2:

函数单调下降

定理1:

设函数在内可导，

（1）若时，则函数在内严格单调递增;

（2）若时，，则函数在内严格单调递减.

2.2.2:

应用此定理来证明不等式:

证明思路:

由特征不等式建立函数，通过求导应用定理判定函数单调性，再由单调性证明不等式成立.

例3:

（2001年高考题）已知，是正整数，且,证明:

分析:

要证，两边取对数后只需要证,即证，由于上式两端分别为函数，在点处的函数值，且依题意有:

，于是构造函数，即只需要证明在是递减函数.

，当时，所以从而在上是递减，故结论获证.

证明:

在两边取自然对数，

只要证，

即:

构造函数，求导得:

，

于是在上是减函数，

由知:

，即:

，

所以:

.

例4:

证明:

当时，有，而且等号成立当且仅当.证明:

当时，不等式显然成立，

因此只需要证明当且，不等式是严格不等式，令则，

当时，因此严格递增;

当时，，因此严格递减.

总之，,即:

.

令则,

同样地有:

当时,严格递增,

当时，严格递减,

因此:

即:

综上所述:

.

小结:

用函数的单调性证明不等式:

将不等式同解变形成一端为零,另一端设为辅助函数,及不等式即;由不等式的条件确定

的定义域.如证明时,,可以取的定义域为区间.当函数满足以下条件时,可以用函数的单调性证明不等式:

（i）（）;

（ii）函数在上单调增加（减少）.

2.3、用函数的极值与最值证明不等式

证明原理:

亦即等价于函数有最大值0（或有最小值0）.2.3.1:

极值（最值）与导数的关系:

在利用函数的极值与最小值求证不等式时,先来看一下极值（最值）与导数的关系:

1、在什么条件下,一个点是极值点呢?

怎么求极值?

在数学分析中,定理分别介绍了极值的三个充分条件定理1:

（极值的第一充分条件）:

设函数在点连续,在某领域内可导.（i）若当时,,当时,,则在点取得极小值.

（ii）若当时,,当时,,则在点取得极大值.于是由定理1可以得出用第一充分条件求极值的方法:

（i）确定的定义域D;

（ii）在D内求,确定的可能极值点;

（iii）在每个可能极值点确定在左,右邻近的符号,按极值第一充分条件.判定是的极

大（小）值点或者不是的极值点.

定理2:

（极值的第二充分条件）:

设函数在（a,b）上可导,,在处二阶可导,且

（i）若则在取得极大值.

（ii）若则在取得极小值.

于是由此定理我们可以得出用第二充分条件求极值的方法:

（i）确定的定义域D;

（ii）在D内求,确定的驻点;

（iii）求和每个驻点点二阶导数的值,按极值第二充分条件判定是极大（小）值点.

2:

最值:

这里,我们给出最值的三个充分条件及求最值的三种方法.

定理3:

（最值的第一充分条件）:

则是最大值,最小值分别为是的可能极值点或或,.是的可能极值点或或.

求最值方法之一:

求在[a,b]上的最值:

（i）求,确定的可能极值点;

（ii）求和;

（iii）按最值的第一充分条件求的最大值,求最小值.

定理4:

（最值的第二充分条件）:

是某个区间,若在中只有一个可能极值点,且也是的极值点,则也是的最值点.

求最值方法之二:

是定义在一般区间上的函数,若满足最值的第二充分条件,可按以下步骤求得它的一个最值:

（i）在内求,解得唯一的一个可能极值点;

（ii）按极值的充分条件判定是的极大（小）值点.则是的最大（小）值点;定理5:

（最值的第三充分条件）:

对实际问题,若目标函数在定义域内唯一的可能极值点,而目标函数必存在最大（小）值,则即为的最大（小）值点.

求最值方法三:

求实际问题的最值:

（i）建立目标函数并确定它的定义域;

（ii）求目标函数的可能极值点;

（iii）若唯一,根据实际问题意义,所求最值一定存在,则该就是要求的最值点.2.3.2:

证明不等式:

证明思路:

由特征不等式建立函数,通过导数求出极值并判定是极大值还是极小值,再求出最大值或最小值,从而证明不等式.

例5:

设,当时,试证,其中等号仅当时成立.

证明:

令,令即:

=0，是唯一驻点，

又

所以在时取得最大值，

于是当是恒有:

其中仅当时等号成立，

故，

其中仅当时等号成立.

例6:

设是大于1的常数，且证明:

对于任意恒有.

证:

设函数=，则有:

，

驻点为

当时，

当时，

所以是唯一极小值点，也是最小值点.

当时，

于是有:

（）.

小结:

用函数的极值与最值证明不等式时，将不等式同解变形为,的定义域为，求函数在上的

最小值（最大值）,可证得若函数的最小值点又恰是它的极小值点时，则，有，类似地可证.

2.4、用函数的凹凸性证明不等式

凸（凹）函数在近代分析、优化等领域都有重要的应用.下面先证明凸（凹）函数的重要性质，然后用此性质很方便地证明不等式.

2.4.1、有关定义、定理及证明:

定义:

设为定义在区间上的任意两点和任意实数（0，1），总有:

（1）

则称为上的凸函数，反之，如果总有:

，

（2）

则称为上的凹函数.

如果

（1）、

（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.定理1:

设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数（凹函数）的充要条件是:

（），.定理2:

（詹森（Jensen）不等式）:

若为区间[a,b]上凸函数，则对任意,（=1,2,„,）,=1,有:

关于定理1、2以及此不等式的证明，这里不再阐述.

在此不等式的基础上，当时，有以下两个定理，下面给出定理及其证明.定理3:

:

若函数在内有二阶导数，且（即在上为凹函数，）则对任意的，有

.

即:

.

当且仅当时，“=”成立.

证明:

应用数学归纳法，时，即为凹函数的定义，其中.设当时不等式成立，即

.

则当时，

即当时不等式也成立.

由数学归纳法，不等式也成立.

（显然，如果严格上凹，则不等式的严格不等式）.

同理，有:

定理4:

若函数在内有二阶导数，且，（即在内下凹），则

对任意的，有:

即:

当且仅当时，“=”成立.

特别地，当时，上述两个定理的结论分别为:

其几何意义为:

当时（或）时，曲线在（a,b）内上凹（或下凸）如图

（1）、图

（2）所示，对于（a,b）中的任意两个值，相当于，在曲线上有点，在弦上有点，M点在N的上面（或下面）.

M

NN

M

OabOab

图3图4

2.4.2、证明不等式:

证明思路:

由待证不等式建立函数，判断其凹凸性，应用定理，定义求证.例7:

若则.

分析:

要证明的不等式等价于，对照曲线下凸的定义，可用函数的凹凸性证明:

证明:

设则有:

，

因此函数在上是下凸的

由函数的凸性的定义，有

从而不等式成立.

例8:

（均值不等式）设证明:

，

当且仅当时，式中等号成立.

证明:

令则

由定理3，对有:

即:

.

由于是单调增函数，则

当且仅当时，式中等号成立.

[备注]:

对于有些不等式，若用初等方法求证，很难入手，但是若用本文所介绍的内容，可以采用多种方法求证，如下:

例9:

证明:

若时，有.

分析:

，可同解变形为因此可考虑用拉格朗日定理证明.

如设:

则且，，

因此可考虑在R上用函数的极值与最值，或者在区间上分别用函数的单调性证明.证一:

令，则在上，

因此在区间[或上满足拉格朗日定理的条件，有:

即:

在0与之间）.

若则从而，

若则从而，

综上所述:

时，有.

证二:

利用单调性，设则

（1）:

时，，

在上单调增加，

时，

即:

即

（2）:

时，

在上单调递减，

时，

即:

也即:

.

由

（1），

（2）两式有:

时，有.

证三:

利用极值和最值，

设则且

，

令，得的唯一驻点且，

故是的唯一可能极值点且是极小值点，从而也是最小值点

时，，即:

.

因此，掌握一定的高等方法对于中学教师是很有用的，一方面我们可以获得许多种证明方法，另一方面还能对不等式有更深的理解，对今后的教学是有利的.

3、总结

通过上面的阐述可以看出在证明不等式的过程中，若按照习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以转换思维角度，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，构造函数，利用导数求证不等式的方法就是典型的例子，在解题时要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。

大胆去探求解题的最佳途径，我们在口头上提到的创新思维，又怎样去创新,创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征。

这种创新思维能保证我们顺利的解决问题，而利用导数证明不等式就是从这方面出发的，使思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养创新思维。

在解题过程中，重要是数学思想和方法，而不是会解某一道题，也不是为解题而解题，学会一种解题的方法才是有效的“授之以鱼，不如授之以渔。

”因此，在解题教学时，若能从多角度多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法是对知识理解的升华，然而利用导数求证不等式正是创新思维的产物，在证明不等式时不失为一种思路清晰、效果良好的方法。