知识讲解 一元二次不等式及其解法 基础.docx
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知识讲解一元二次不等式及其解法基础
一元二次不等式及其编稿：
张希勇审稿：
李霞
【学习目标】
1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；
2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；
3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：
250xx?
?
.一元二次不等式的一般形式：
20axbxc?
?
?
（0）a?
或20axbxc?
?
?
（0）a?
.
设一元二次方程20（0）axbxca?
?
?
?
的两根为12xx、且12xx?
，则不等式20axbxc?
?
?
的解集为?
?
21xxxxx?
?
或，不等式20axbxc?
?
?
的解集为?
?
21xxxx?
?
要点诠释：
讨论一元二次不等式或其解法时要保证（0）a?
成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程20（0）axbxca?
?
?
?
的两根为12xx、且12xx?
，设acb42?
?
?
，它的解按照0?
?
，0?
?
，0?
?
可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc?
?
?
（0）a?
的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc?
?
?
（0）a?
或20axbxc?
?
?
（0）a?
的解集.
24bac?
?
?
0?
?
0?
?
0?
?
二次函数
cbxaxy?
?
?
2（0?
a）的图象
20（0）axbxca?
?
?
?
的根
有两相异实根
）（,2121xxxx?
有两相等实根
abxx221?
?
?
无实根
的解集）0（02?
?
?
?
acbxax
?
1xxxx?
?
或
?
2x?
?
?
?
?
?
?
?
abxx2
R
的解集）0（02?
?
?
?
acbxax
?
?
21xxxx?
?
?
?
要点诠释：
（1）一元二次方程20（0）axbxca?
?
?
?
的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线?
ycbxax?
?
2与x轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分0,0,0?
?
?
?
?
?
三种情况，得到一元二次不等式20axbxc?
?
?
与20axbxc
?
?
?
的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程20axbxc?
?
?
（0）a?
，计算判别式?
：
①0?
?
时，求出两根12xx、，且12xx?
（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②0?
?
时，求根abxx221?
?
?
；
③0?
?
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的过程
开始
将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0（a>0）
Δ=b2-4ac
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根Δ≥0?
否
是
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【典型例题】
类型一：
一元二次不等式的解法
例1.解下列一元二次不等式
（1）250xx?
?
；
（2）2440xx?
?
?
；（3）2450xx?
?
?
?
【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符法则解答.
【解析】
（1）方法一：
因为2（5）410250?
?
?
?
?
?
?
?
所以方程250xx?
?
的两个实数根为：
10x?
，25x?
函数25yxx?
?
的简图为：
因而不等式250xx?
?
的解集是{|05}xx?
?
.方法二：
250（5）0xxxx?
?
?
?
?
050xx?
?
?
?
?
?
?
或050xx?
?
?
?
?
?
解得05xx?
?
?
?
?
或05xx?
?
?
?
?
，即05x?
?
或x?
?
.因而不等式250xx?
?
的解集是{|05}xx?
?
.
（2）方法一：
因为0?
?
，
方程2440xx?
?
?
的解为122xx?
?
.
函数244yxx?
?
?
的简图为：
所以，原不等式的解集是{|2}xx?
方法二：
2244
（2）0xxx?
?
?
?
?
（当2x?
时，2
（2）0x?
?
）
所以原不等式的解集是{|2}xx?
（3）方法一：
原不等式整理得2450xx?
?
?
.
因为0?
?
，方程2450xx?
?
?
无实数解，
函数245yxx?
?
?
的简图为：
所以不等式2450xx?
?
?
的解集是?
.所以原不等式的解集是?
.
方法二：
∵2245
（2）110xxx?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
∴原不等式的解集是?
.【总结升华】
1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2.当0?
?
时，用配方法，结合符法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?
?
且是一个完全平方数时，利用因式分解和符法则比较快捷，（如第1小题）.
3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【高清课堂：
一元二次不等式及其解法387159题型一一元二次不等式的解法】
【变式1】已知函数222,0,（）2,0xxxfxxxx?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解不等式f（x）＞3.
【答案】由题意知20,23xxx?
?
?
?
?
?
或20,23,xxx?
?
?
?
?
?
?
解得：
x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}
【变式2】（2015重庆）函数22（x）log（x2x3）f?
?
?
的定义域是（）
A.[-3,1]B.（-3,1）C.（-∞，-3]∪[1.+∞）D.（-∞，-3）∪（1.+∞）【答案】由题意得：
2230xx?
?
?
，即（x1）（x3）0?
?
?
解得x>1或x<-3,
所以定义域为（-∞，-3）∪（1.+∞），
故选D。
类型二：
含字母系数的一元二次不等式的解法
例2．解下列关于x的不等式
（1）x2-2ax≤-a2+1；
（2）x2-ax+1>0；
（3）x2-（a+1）x+a<0；
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
【解析】
（1）22210[（）1][（）1]011xaxaxaxaaxa?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
∴原不等式的解集为{|11}xaxa?
?
?
?
.
（2）Δ=a2-4
当Δ>0，即a>2或a<-2
时，原不等式的解集为}2424|{22?
?
?
?
?
?
aaxaaxx或
当Δ=0，即a=2或-2
时，原不等式的解集为{|}2axx?
.当Δ<0，即-2当a>1时，原不等式的解集为{x|1.
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定：
对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：
求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：
根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.举一反三：
【变式1】解关于x
的不等式：
）0（01）1（2?
?
?
?
?
axaax
【答案】原不等式化为0）1）（（?
?
?
axax
①a=1或a=-1时，解集为?
；
②当0时，aa1?
，解集为：
1{|}xaxa?
?
；
③当a>1或-1时，aa1?
，解集为：
1{|}xxaa?
?
.
【变式2】解关于x的不等式：
223（）0xaaxa?
?
?
?
（aR?
）
【答案】2232（）0（）（）0xaaxaxaxa?
?
?
?
?
?
?
?
当a＜0或a＞1时，解集为2{|}xxaxa?
?
或；
当a=0时，解集为{|0}xx?
；
当0＜a＜1时，解集为2{|}xxaxa?
?
或；
当a=1时，解集为{|1}xx?
；
【变式3】（2015春房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。
【答案】
∵56x2+ax－a2＜0，∴（7x+a）（8x－a）＜0
，即[（）]（）078aaxx?
?
?
?
。
①当a=0
时，78aa?
?
，不等式化为x2＜0，解得x∈?
。
②当a＞0
时，78aa?
?
，不等式解集为{|}78aaxx?
?
?
。
当a＜0
时，78aa?
?
，不等式解集为{|}87aaxa?
?
?
例3．解关于x的不等式：
ax2－（a+1）x+1＜0.【解析】若a=0，原不等式?
－x+1＜0?
x＞1；
若a＜0，原不等式
?
211
（1）0xxaa?
?
?
?
11（）
（1）0xxxaa?
?
?
?
?
?
或x＞1；
若a＞0，原不等式
?
2111
（1）0（）
（1）0xxxxaaa?
?
?
?
?
?
?
?
，
其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式?
x?
?
；
（2）当a＞1时，原不等式
?
11xa?
?
；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
?
11xa?
?
综上所述：
当a＜0
，解集为1{|1}xxxa?
?
或；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1
时，解集为1{|1}xxa?
?
；
当a=1时，解集为?
；
当a＞1
时，解集为1{|1}xxa?
?
.【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
（ax-1）（x-2）≥0；
【答案】当a=0时，x∈（-?
2].
当a≠0时，方程（ax-1）（x-2）=0
两根为2,121?
?
xax
①当a>0时，
若210?
?
aa，，
即210?
?
a
时，）,1[]2,（?
?
?
?
?
ax?
；
若210＝，aa?
，
即21?
a时，x∈R；
若210?
?
aa，，即21?
a
时，）,2[]1,（?
?
?
?
?
?
ax.
②当a<0
时，则有：
21?
a，∴]21[，ax?
.
【变式2】解关于x的不等式：
ax2＋2x-1<0；
【答案】当a=0
时，）21,（?
?
?
x.当a≠0时，Δ=4+4a=4（a+1），
①a>0时，则Δ>0
，）11,11（aaaax?
?
?
?
?
?
?
.
②a<0时，
若a<0，△<0，即a<-1时，x∈R；
若a<0，△=0，即a=-1时，x∈R且x≠1；
若a<0，△>0，即-1）,11（）11,（?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aaaax.【高清课堂：
一元二次不等式及其解法387159题型二含参数的一元二次不等式的解法】
【变式3】求不等式12x2－ax＞a2（a∈R）的解集．
【答案】
当a＞0
时，不等式的解集为{|-}43aaxxx?
?
或；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为{|-}34aaxxx?
?
或.
类型三：
一元二次不等式的逆向运用
例4.不等式20xmxn?
?
?
的解集为（4,5）x?
，求关于x的不等式210nxmx?
?
?
的解集.【思路点拨】
由二次不等式的解集为（4,5）可知：
4、5是方程20xmxn?
?
?
的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.
【解析】由题意可知方程20xmxn?
?
?
的两根为4x?
和5x?
由韦达定理有45m?
?
?
，45n?
?
?
∴9m?
?
，20n?
?
∴210nxmx?
?
?
化为220910xx?
?
?
?
，即220910xx?
?
?
（41）（51）0xx?
?
?
，解得1145x?
?
?
?
，
故不等式210nxmx?
?
?
的解集为11（,）45?
?
.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
举一反三：
【变式1】（2015浙江校级模拟）设关于x的不等式（ax-1）（x+1）<0（a∈R）的解集为{x|-1A.-2B.-1C.0D.1
【答案】∵关于x的不等式（ax-1）（x+1）<0（a∈R）的解集为{x|-1∴对应一元二次方程（ax-1）（x+1）=0的两个实数根为-1和1，
∴11xa?
?
或x=-1,即a的值是1，故选D。
【变式2】已知220axxc?
?
?
的解为1132x?
?
?
试求a、c,并解不等式220cxxa?
?
?
?
.
【答案】由韦达定理有：
11232a?
?
?
?
，1132ca?
?
?
，∴12a?
?
2c?
.
∴代入不等式220cxxa?
?
?
?
得222120xx?
?
?
?
，
即260xx?
?
?
，（3）
（2）0xx?
?
?
，解得23x?
?
?
，
故不等式220cxxa?
?
?
?
的解集为：
（2,3）?
.
【变式3】已知关于x的不等式20xaxb?
?
?
的解集为（1,2），求关于x的不等式210bxax?
?
?
的解集.
【答案】由韦达定理有：
1212ab?
?
?
?
?
?
?
?
，解得32ab?
?
?
?
?
?
代入不等式210bxax?
?
?
得
22310xx?
?
?
，即（21）
（1）0xx?
?
?
，解得12x?
或1x?
.∴210bxax?
?
?
的解集为：
1（,）（1,）2?
?
?
?
.
类型四：
不等式的恒成立问题
【高清课堂：
一元二次不等式及其解法387159题型三不等式恒成立的问题】
例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，
求实数a的取值范围．
【思路点拨】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】原不等式等价于（a＋2）x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有220,44
（2）
（1）0.aaa?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
整理，得2,
（2）（3）0.aaa?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解得a＞2.
故a的取值范围是（2，＋∞）．
【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.举一反三：
【变式1】已知关于x的不等式（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】
（1）当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0,对一切实数x成立，符合题意.
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.
（2）当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0）5m4m（12）1m（1605m4m222，
即?
?
?
?
?
?
?
?
19m15m1m或，∴1综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.
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