二次函数综合题等腰三角形汇总.docx

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二次函数综合题等腰三角形汇总

二次函数综合题——等腰三角形

一．解答题（共30小题）

1．（2014•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）直线3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△的面积；

（3）点Q在x轴上运动，求出所有△是等腰三角形的点Q的坐标．

2．（2014秋•怀宁县校级月考）如图，二次函数﹣x23的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△的面积为6．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）如果点P在x轴上，且△是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

3．（2011•淮安）如图．已知二次函数﹣x23的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；

（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△是以为底边的等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2014•曲靖模拟）如图，已知二次函数2﹣4的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．

（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．

（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接，找出x轴上所有点M的坐标，使得△是等腰三角形．

5．（2008秋•密云县期末）已知二次函数2的图象分别经过点（0，3）（3，0）（﹣2，﹣5），

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△是等腰三角形，求出点B的坐标．

6．（2008•海淀区二模）已知二次函数2的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值；

（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△是等腰三角形，求出点B的坐标．

7．（2006•松江区二模）如图，已知二次函数2（c≠0）的图象经过点A（﹣2，m）（m＜0），与y轴交于点B，∥x轴，且32．

（1）求m的值；

（2）求二次函数的解析式；

（3）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左恻）．问线段上是否存在点P，使△为等腰三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

8．（2010秋•永新县校级月考）已知二次函数（x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．

（1）求出A、B、C三点的坐标；

（2）求△的面积；

（3）在y轴上是否存在点P，使P、A、C能组成以为腰的等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

9．（2013•德宏州）如图，已知直线与抛物线

交于A、B两点．

（1）求交点A、B的坐标；

（2）记一次函数的函数值为y1，二次函数

的函数值为y2．若y1＞y2，求x的取值范围；

（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与构成的三角形为等腰三角形？

并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．

10．（2014•曲阜市模拟）设二次函数2（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△为等腰三角形．

（1）当△为等腰直角三角形时，求b2﹣4的值；

（2）当△为等边三角形时，求b2﹣4的值．

11．（2015•赤峰）已知二次函数2﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接、、，求证：

△是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△为等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2013秋•本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数﹣x2的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作⊥x轴，交直线于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接交于F点，连接，在动点C的运动过程中，若△的面积是△面积的2倍，求点C的坐标？

（3）在动点C的运动过程中，△能否为等腰三角形？

若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

13．（2011•临川区模拟）如图，已知二次函数2的图象经过三点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），它的顶点为M，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于D、E两点．

（1）求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；

（2）若点E的坐标是（2，﹣3），且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；

（3）试探究：

抛物线的对称轴上是否存在点P，使△为等腰三角形？

如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

14．（2006•孝感）如图，已知二次函数

2的图象与x轴只有一个公共点M，与y轴的交点为A，过点A的直线与x轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B．

（1）求点A、B的坐标（用含b、c的式子表示）；

（2）当S△4S△时，求二次函数的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设点P为x轴上的一个动点，那么是否存在这样的点P，使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2011•东营模拟）如图，已知二次函数﹣x2（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且3，顶点为M．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，若，四边形的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：

线段上是否存在点N，使△为等腰三角形？

如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

16．（2010•徐州）如图，已知二次函数

的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接．

（1）点A的坐标为，点C的坐标为；

（2）线段上是否存在点E，使得△为等腰三角形？

若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接、，若所得△的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

17．（2011•呼伦贝尔）如图，已知二次函数23的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（

），且△∽△．

（1）求C点坐标、∠的度数及二次函数23的关系式；

（2）在线段上是否存在点M（m，0）．使得以线段为直径的圆与边交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

18．（2013•廊坊一模）如图，二次函数2的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求出这个二次函数的解析式；

（2）直接写出点B的坐标为；

（3）在x轴是否存在一点P，使△是等腰三角形？

若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形的面积最大？

若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．

19．（2012•景宁县模拟）已知二次函数﹣x2+45图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点D是该函数图象上一点，且点D的横坐标为4，连，点P是上一动点（不与点A重合），过P作⊥交射线于点Q，以为一边在的右侧作正方形．设点P的坐标为（t，0）．

（1）求点B，C，D的坐标及射线的解析式；

（2）在上是否存在点P，使△为等腰三角形？

若存在，求正方形的边长；若不存在，请说明理由；

（3）设正方形与△重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．

20．（2013•徐州）如图，二次函数

2﹣

的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以为边在x轴上方作正方形，点P是x轴上一动点，连接，过点P作的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：

；

（2）当点P在线段（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

21．（2013•鞍山一模）如图，已知二次函数28（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（﹣2，0），∠

，点D是抛物线的顶点，直线交x轴于点E．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）在直线上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P是直线2x﹣4上一点，过点P作直线垂直于直线，垂足为M，若∠75°，求出点P的坐标．

22．（2013•菏泽）如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数﹣

3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数

的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，有⊥？

②当P运动到何处时，四边形的面积最小？

此时四边形的面积是多少？

23．（2014•北塘区二模）已知二次函数2﹣51（m为常数，m＞0），设该函数图象与y轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．

（1）求点A、B的坐标；

（2）点O为坐标原点，点M为函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时△的周长最小；

（3）若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且△的面积为10，求m的值．

24．（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=﹣x2

的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2．

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△是以为底边的等腰三角形？

若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

25．（2015•曲靖一模）如图，直线﹣

2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．

（1）求B、C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△是以为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？

求出四边形的最大面积及此时E点的坐标．

26．（2014•怀集县二模）如图，△是以为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数﹣

3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数

2的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形能构成平行四边形．

（1）试求点B、D的坐标，并求出该二次函数的解析式；

（2）P、Q分别是线段、上的动点，点P从A开始向D运动，同时点Q从C开始向A运动，它们运动的速度都是每秒1个单位，求：

①当P运动到何处时，△是直角三角形？

②当P运动到何处时，四边形的面积最小？

此时四边形的面积是多少？

27．（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数2的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△为等腰三角形？

若存在．请求出点P的坐标）；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△面积最大，试求出最大面积．

28．（2015•丹东）如图，已知二次函数2

的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接、．

（1）请直接写出二次函数2

的表达式；

（2）判断△的形状，并说明理由；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

（4）若点N在线段上运动（不与点B、C重合），过点N作∥，交于点M，当△面积最大时，求此时点N的坐标．

29．（2013•无锡）如图，直线﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段于点A，交直线﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线交直线于D，且：

1：

3．

（1）求点A的坐标；

（2）若△是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

30．（2014•遵义）如图，二次函数

2的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△沿翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形的形状，并求出D点坐标．

二次函数综合题——等腰三角形

参考答案

一．解答题（共30小题）

1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．（0，4）；（8，0）；17．；18．（6，0）；19．；20．（-3，4）；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；