三角形的内角同步培优题典解析版.docx
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三角形的内角同步培优题典解析版
专题1.2三角形的内角（人教版）
姓名：
__________________班级：
______________得分：
_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•天心区期末）△ABC中，若∠A：
∠B：
∠C＝1：
2：
3，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
【解析】∵在△ABC中，∠A：
∠B：
∠C＝1：
2：
3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：
A．
2．（2020春•江阴市期中）将一副三角板如图放置，作CF∥AB，则∠EFC的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【分析】根据等腰直角三角形求出∠BAC，根据平行线求出∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC＝45°，
∵∠E＝30°，
∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACF＝105°，
故选：
C．
3．（2020春•赣榆区期中）下列条件能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝2∠CB．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：
∠B：
∠C＝2：
3：
4D．∠A＝40°，∠B＝55°
【分析】利用三角形内角和定理结合已知条件求出三角形的内角即可判断．
【解析】A、∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，
∴△ABC不是直角三角形，本选项不符合题意．
B、∵∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，本选项符合题意．
C、∵∠A：
∠B：
∠C＝2：
3：
4，
∴∠C
180°＝80°，
∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意．
D、∵∠A＝40°，∠B＝55°，
∴∠C＝85°，
∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意，
故选：
B．
4．（2019秋•宜兴市期中）如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．
【解析】∵∠A＝75°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．
故选：
D．
5．（2019春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数是（ ）
A．115°B．110°C．105°D．100°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABD+∠DBC＝75°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解析】∵∠ABC＝75°，
∴∠ABD+∠DBC＝75°，
∵∠ABD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠BCD+∠DBC）＝105°，
故选：
C．
6．（2019春•常州期中）下列条件：
①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：
∠B：
∠C＝2：
3：
5；③∠A
∠B
∠C；④∠A＝∠B＝2∠C；⑤∠A＝∠B
∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义解答．
【解析】①∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、5x，
由三角形内角和定理得，2x+3x+5x＝180°，
解得，x＝18°，
∠C＝5x＝90°，即△ABC为直角三角形；
③∠A
∠B
∠C，
则∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，
由三角形内角和定理得，∠A+2∠A+3∠A＝180°，
解得，∠A＝30°，
∴∠C＝3∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；
④∠A＝∠B＝2∠C，
由三角形内角和定理得，2∠C+2∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝36°，∠A＝∠B＝2∠C＝72°，即△ABC不是直角三角形；
⑤∠A＝∠B
∠C，
由三角形内角和定理得，
∠C
∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，即△ABC是直角三角形；
故选：
C．
7．（2019春•兴化市期中）在△ABC中，∠C＝40°，∠B＝4∠A，则∠A为（ ）度．
A．30B．28C．26D．40
【分析】根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5∠A+40°＝180°，
∴∠A＝28°，
故选：
B．
8．（2019春•垦利区期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解析】∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：
C．
9．（2019春•南京期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠EDF＝∠B，若∠2＝2∠1，则∠EDB的度数为（ ）
A．120°﹣aB．60°
aC．90°
aD．45°
a
【分析】根据∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1，求出∠B，∠1（用α表示）即可解决问题．
【解析】∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠1，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠1，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C，∠A＝α，
∴∠B＝90°
α，
∵2∠1+∠1+∠C＝180°，
∴∠1
（90°
α），
∴∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1＝180°﹣（90°
α）
（90°
α）＝60°
α，
故选：
B．
10．（2019春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝40°，高BE、CF交于点O，则∠BOC为（ ）
A．40°B．110°C．130°D．140°
【分析】根据∠BOC＝∠CEO+∠ECO，求出∠CEO，∠ECO即可．
【解析】∵△ABC中，高BE、CF交于点O，
∴∠AEB＝∠ADFC＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ACF＝50°，
∴∠BOC＝∠CEO+∠ECO＝90°＝50°＝140°，
故选：
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019春•京口区校级月考）如图，点D在三角形ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝20°，则∠ACE的大小是 50 度．
【分析】由∠A＝80°，∠B＝20°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
【解析】∵∠ACD＝∠B+∠A，
而∠A＝80°，∠B＝20°，
∴∠ACD＝80°+20°＝100°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝50°，
故答案为：
50．
12．（2019春•广陵区校级月考）一个三角形三个内角度数的比是2：
5：
4，那么这个三角形是 锐角 三角形．
【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状．
【解析】依题意，设三角形的三个内角分别为：
2x，5x，4x，
∴2x+5x+4x＝180°，
∴5x≈81.82°．
∴这个三角形是锐角三角形．
故答案为：
锐角．
13．（2019春•崇川区校级月考）若△ABC为钝角三角形，且∠A＝50°，则∠B的取值范围为 130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40° ．
【分析】根据钝角三角形的定义即可判断．
【解析】当130°＞∠B＞90°时，△ABC是钝角三角形，
当∠C＞90°时，△ABC是钝角三角形，此时0°＜∠B＜40°，
故答案为130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40°．
14．（2019春•江宁区校级月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，用∠1和∠2表示出∠A，则关系式是 2∠A＝∠1﹣∠2 ．
【分析】此题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．
【解析】如右图，设翻折前A点的对应点为F；
根据折叠的性质知：
∠3＝∠4，∠F＝∠A；
由三角形的外角性质知：
∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；
△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；
故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，
180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，
故答案为：
2∠A＝∠1﹣∠2．
15．（2019春•长春月考）当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为120°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 20°或15° ．
【分析】分两种情况，根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】①120°÷3＝40°，
180°﹣120°﹣40°＝20°，
则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°；
②设这个“梦想三角形”的其它两个内角的度数分别为3x、x，
则3x+x+120°＝180°，
解得，x＝15°，
则这个“梦想三角形”的最小内角的度数15°，
故答案为：
20°或15°．
16．（2018秋•新抚区校级月考）在△ABC中，若2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的度数为 72° ．
【分析】根据三角形内角和定理，得出∠A+∠C＝180°﹣∠B，再根据2（∠A+∠C）＝3∠B，得出关于∠B的方程，求得∠B即可．
【解析】∵在△ABC中，∠A+∠C＝180°﹣∠B，且2（∠A+∠C）＝3∠B，
∴2（180°﹣∠B）＝3∠B，
∴360°＝5∠B，
∴∠B＝72°．
故答案为：
72°
17．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝ 16 °．
【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．
【解析】∵∠BAC＝180°﹣66°﹣34°＝80°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝40°，
∵∠ABC＝66°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD＝90°﹣66°＝24°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠CAE﹣∠BAD＝40°﹣24°＝16°．
故答案为：
16．
18．（2020春•如皋市期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝ 82 °．
【分析】由折叠的性质可知：
∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解析】∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝82°，
∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，
∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，
故答案为：
82．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019春•崇川区校级月考）如图，已知，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，∠DBE＝60°，求∠C的度数．
【分析】由直角三角形的性质得出∠A＝30°，再由三角形内角和定理即可得出答案．
【解析】∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠DBE＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴∠C＝∠ABC
（180°﹣30°）＝75°．
20．（2019春•东台市校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）．
【分析】
（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义可求出∠BAE的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数，在△ADE中利用三角形内角和定理可求出∠DAE的度数；
（2）∠DAE
（∠C﹣∠B），理由同
（1）．
【解析】
（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE＝90°．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°．
∵AE是∠BAC平分线，
∴∠BAE
∠BAC＝50°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝30°+50°＝80°．
∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
（2）∠DAE
（∠C﹣∠B），理由如下：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE＝90°．
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．
∵AE是∠BAC平分线，
∴∠BAE
∠BAC＝90°
（∠B+∠C），
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝90°
（∠B﹣∠C）．
∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣[90°
（∠B﹣∠C）]
（∠C﹣∠B）．
21．（2018秋•江都区月考）如图：
有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A′处，求∠A′DB的度数．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝40°，由翻折的性质可知∠DA′C＝50°，最后根据三角形外角的性质可知∠A′DB＝10°．
【解析】由折叠可得，∠CA'D＝∠A＝50°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵∠B+∠A'DB＝∠CA'D，
∴∠A'DB＝50°﹣40°＝10°．
22．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F．
（1）求证：
∠BAD＝∠C；
（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．
【分析】
（1）利用三角形内角和定理证明即可．
（2）想办法求出∠BHD，再利用平行线的性质求解即可．
【解答】
（1）证明：
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠C．
（2）解：
∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣20°﹣110°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF
∠ABC＝25°，
∵∠BDA＝∠BAC＝110°，
∴∠BHD＝180°﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°﹣25°﹣110°＝45°，
∵AD∥EF，
∴∠BEF＝∠BHD＝45°．
23．（2020春•赣榆区期中）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：
∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用
（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
【分析】
（1）利用三角形内角和定理证明即可．
（2）利用
（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，两式相加可得结论．
【解答】
（1）证明：
∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：
结论：
2∠E＝∠A+∠C．
理由：
∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，
∴∠A+∠C＝∠E+∠E，
∴2∠E＝∠A+∠C，
24．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．
（1）当α＝80°，β＝30°时，求∠E的度数；
（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；
（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．
【分析】
（1）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；
（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；
（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可．
【解析】
（1）∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD
BAC＝35°，
∴∠EDF＝∠ADB＝180°﹣35°﹣80°＝65°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°，
∴∠E＝90°﹣65°＝25°；
（2）∵∠EDF＝∠C+∠CAD，∠CAD
∠BAC
（180°﹣α﹣β），
∴∠EDF＝∠C+90°
α
β＝90°
（α﹣β），
∵∠EFD＝90°，
∴∠DEF
（α﹣β）；
（3）设AP与BC交于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD
BAC
（180°﹣α﹣β），
∵AP平分∠BAE，
∴∠BAP
BAD
（180°﹣α﹣β），
∴∠PGF＝∠AGB＝180°﹣∠B﹣∠BAP＝180°﹣α
（180°﹣α﹣β）＝135°
α
β，
∵PF平分∠EFB，
∴∠PFB＝45°，
∴∠P＝180°﹣∠PFB﹣∠PGF＝180°﹣45°﹣（135°
α
β）
α
β，
故∠P不会发生变化．
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