中考二次函数实际问题应用题.docx

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中考二次函数实际问题应用题

二次函数的实际应用

1.（2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：

z1（元）与月份x之间满足函数关系式：

，该企业自身处理每吨污水的费用：

z2（元）与月份x之间满足函数关系式：

；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．

（参考数据：

≈15.2，

≈20.5，

≈28.4）

【答案】解：

（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，

则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：

。

将（1，12000）代入得：

k=1×12000=12000，

∴

（1≤x≤6，且x取整数）。

根据图象可以得出：

图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：

，解得：

。

∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。

（2）当1≤x≤6，且x取整数时：

=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。

∵a=﹣1000＜0，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。

当7≤x≤12时，且x取整数时：

W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣

x2+1900。

∵a=﹣

＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，

∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。

∵22000＞18975.5，

∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。

（3）由题意得：

12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，

设t=a%，整理得：

10t2+17t﹣13=0，解得：

。

∵

≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）∴a≈57。

答：

a整数值是57。

【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。

【分析】

（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。

再利用函数图象得出：

图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。

（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。

（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可。

2.（2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）

（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　　元（用含x的代数式表示）；

（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？

最大是多少元？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

3.（2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：

米）与时间t（单位：

秒）之间的关系得部分数据如下表：

时间t（秒）

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

…

行驶距离s（米）

0

2.8

5.2

7.2

8.8

10

10.8

…

（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；

（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；

（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？

②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较

与

的大小，并解释比较结果的实际意义．

【答案】解：

（1）描点图所示：

（2）由散点图可知该函数为二次函数。

设二次函数的解析式为：

s=at2＋bt＋c，

∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。

又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：

，解得：

。

经检验，其余各点均在s=－5t2+15t上。

∴二次函数的解析式为：

。

（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

∵

，∴当t=

时，滑行距离最大，为

。

因此，刹车后汽车行驶了

米才停止。

②∵

，∴

。

∴

。

∵t1＜t2，∴

。

∴

。

其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。

【分析】

（1）描点作图即可。

（2）首先判断函数为二次函数。

用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。

（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。

（4）求出

与

，用差值法比较大小。

4.（2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。

根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。

现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。

在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？

每天最大销售毛利润为多少？

（注：

每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）

【答案】解：

根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400

∴当

时，函数Z取得最大值。

∵x为正整数，且

，

∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。

答：

商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。

【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。

【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。

5.（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400

元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，

公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种

产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价

均不低于2600元．

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）该公司的销售人员发现：

当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?

（其它销售条件不变）

【答案】解：

（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。

答：

商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。

（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；

当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；

当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。

∴

。

（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当

时，利润y有最大值，

此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，

答：

公司应将最低销售单价调整为2750元。

【考点】二次函数的应用。

【分析】

（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。

（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。

（3）由

（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。

6.（2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖

出200件。

如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。

设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大月利润是多少元？

【答案】解：

（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：

（60－50＋x）元，总销量为：

（200-10x）件，

商品利润为：

y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。

∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12。

（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，

∴当x=5时，最大月利润y=2250。

答：

每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。

【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。

【分析】

（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。

（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值。

7.（2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：

销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.

（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？

最大的月利润是多少？

【答案】解：

（1）依题意得

自变量x的取值范围是：

0＜x≤10且x为正整数。

（2）当y=2520时，得

，

解得x1=2,x2=11（不合题意，舍去）。

当x=2时，30+x=32。

∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。

（3）

∵a=-10＜0∴当x=6.5时，y有最大值为2