二次函数实际问题及应用学案横版.docx

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二次函数实际问题及应用学案横版

二次函数实际问题及应用

适用学科

初中数学

适用年级

初中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

1.根据实际问题列二次函数关系式；

2.二次函数的运用；

3.应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值；

4.应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题；

5.应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；

学习目标

一、知识与技能

1.会根据题目所给实际问题列二次函数关系式；

2.能根据题意判断是何种类型的运用，然后根据具体类型的解题方法来解决实际问题；

3.能将实际问题转化为二次函数的模型，运用二次函数的图像、性质来解决问题；

4.掌握转化、实际到理论、理论到实际的学习方法，做到学以致用。

二、过程与方法

1．列二次函数关系式是建立在等式关系的基础上的，只不过是用一个未知量表示另一个未知量，所以解决这类问题是跟方程紧密联系在一起的，还有一些建立等量关系的一些公式（利润=售价-进价等等）；

2．加强和巩固对不同类型的方程实际问题的攻克；

3．引导学生先将各部分用关于自变量的代数式表示出来，然后再根据等量关系将它们组合在一起，进而列出关系式；

4．让学生通过实践二次函数不同类型的应用，总结出做不同类型题目的方法。

三、情感、态度与价值观

1．培养学生分步，循序渐进、由浅入深、组合的学习方法；

2．养成善于观察、勤动手、勤思考的学习习惯；

3．培养学生学习数学的数学思想（数形结合、转化、方程、分类等）。

4．激发学生学习数学的兴趣，形成良好的价值观。

学习重点

根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的应用

学习难点

根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的应用

学习过程

一、复习预习

1、抛物线与x轴的交点：

（1）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）在形式上有区别也有联系；

（2）令抛物线y=0时，二次函数就变为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；反过来，令一元二次方程0=y时，一元二次方程就变为二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）；

（3）二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数与x轴交点的横坐标。

2、图像法求一元二次方程的近似根：

（1）作出二次函数的图像；

（2）观察二次函数图像与x轴的交点在哪些点之间；

（3）取适当的值进行试解，求方程的近似根。

3、抛物线与不等式（组）的关系：

（1）当抛物线的函数值大于或小于零时，即对应着一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）；

（2）当ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）时，即对应着抛物线的函数值大于或小于零；

（3）求解一个一元二次不等式的解集可以先画出对应的抛物线的图像，然后在图像上选取大于

或小于零的部分，再对应到自变量x的取值范围就可以求出不等式的解集；

（4）当ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）时，对应二次函数的图像在x轴上方或x轴下方。

4、抛物线与直线的交点:

（1）若抛物线与直线有一个交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：

ax2+bx+c=kx+b，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+（b-k）x-b=0的解，且判别式△=0；

（2）若抛物线与直线有两个交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：

ax2+bx+c=kx+b，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+（b-k）x-b=0的解，且判别式△>0；

（3）若抛物线与直线没有交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：

ax2+bx+c=kx+b，此时一元二次方程ax2+（b-k）x-b=0无解，且判别式△<0；

二、知识讲解

考点/易错点1

根据实际问题列二次函数关系式：

1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

（1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）．

（2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

（3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

（4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

（5）检验所得解是否符合实际：

即是否为所提问题的答案．

（6）写出答案．

2、常见题目类型

（1）几何类（三角形、四边形、圆等）

一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。

（2）桥梁问题

这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。

（3）销售问题

这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：

围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。

考点/易错点2

二次函数的应用：

1、应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值：

这类问题常见有面积、利润销售量的最大（小）值，一般这类问题的解题方法是：

先表示出二次函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。

2、应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题:

这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式求出顶点坐标。

3、应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；

这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式求出顶点坐标。

三、例题精析

【例题1】

【题干】（庆阳）图

（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图

（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

A．y=-2x2

B．y=2x2

C．y=-x2

D．y=-x2

【答案】C

【解析】解：

设此函数解析式为：

y=ax2，a≠0；

那么（2，-2）应在此函数解析式上．

则-2=4a，即得a=-，那么y=-x2．故选C．

【例题2】

【题干】（自贡）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（　　）

A．y=2a（x-1）

B．y=2a（1-x）

C．y=a（1-x2）

D．y=a（1-x）2

【答案】D

【解析】解：

由题意第二次降价后的价格是a（1-x）2．

则函数解析式是y=a（1-x）2．

故选D．

【例题3】

【题干】（青岛）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为______________．

【答案】.

【解析】解：

因为抛物线过点（0，0）和（40，0），

∴y=ax（x-40）①

又∵函数过点（20，16）代入①得

20a（20-40）=16，

解得a=．

∴抛物线的解析式为y=-

故答案为y=．

【例题4】

【题干】（哈尔滨）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）的关系式为_____________．（不要求写出自变量x的取值范围）

【答案】y=.

【解析】解：

∵AB边长为x米，

而菜园ABCD是矩形菜园，

∴BC=，

菜园的面积=AB×BC=（30-x）•x，

∴y=-x2+15x．故填空答案：

y=-x2+15x．

【例题5】

【题干】（丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

【答案】C

【解析】解：

作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，

∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE

∴∠BAC=∠DAE

又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°

∴△ABC≌△ADE（AAS）

∴BC=DE，AC=AE，

设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，

CF=AC-AF=AC-DE=3a，

在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，

解得：

a=，

∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a2=x2．

故选C．

【例题6】

【题干】（毕节地区）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

【答案】

（1）y=-10x2+180x+400（-2，3）；

（2）6．

【解析】解：

（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．

∴第x档次，提高的档次是x-1档．

∴y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]，

即y=-10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；

（2）由题意可得：

-10x2+180x+400=1120

整理得：

x2-18x+72=0

解得：

x1=6，x2=12（舍去）．

答：

该产品的质量档次为第6档．

【例题7】

【题干】（抚顺）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少？

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

【答案】

（1）y=-2x+60（10≤x≤18）；

（2）当销售价为18元时，

每天的销售利润最大，最大利润是192元；（3）15元；

【解析】解：

（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得

10k+b＝40,18k+b＝24;

解得k＝−2,b＝60;

∴y与x之间的函数关系式y=-2x+60（10≤x≤18）；

（2）W=（x-10）（-2x+60）

=-2x2+80x-600，

对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，

∵10≤x≤18，

∴当x=18时，W最大，最大为192．

即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．

（3）由150=-2x2+80x-600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）

答：

该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．

【例题8】

【题干】（天水）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．

（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？

球会不会出界？

请说明理由．

（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？

【答案】

（1）y=-（x-6）2+2.6，

（2）会出界,（3）h≥.

【解析】解：

（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，

∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），

∴2=a（0-6）2+2.6，

解得：

a=−，

故y与x的关系式为：

y=-（x-6）2+2.6，

（2）当x=9时，y=−（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，

所以球能过球网；

当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，

解得：

x1=6+2＞18，x2=6-2（舍去）

故会出界；

（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：

2＝36a+h，0＝144a+h；

解得a＝-，h=

此时二次函数解析式为：

y=−（x-6）2+

此时球若不出边界h≥，

当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：

2.43＝a（9−6）2+h，2＝a（0−6）2+h；

解得a=，h=；

此时球要过网h≥；

故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：

h≥．

【例题9】

【题干】（台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：

万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：

万元）与加工数量t（单位：

吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入-经营总成本）．

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：

用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

【答案】

（1）y=

（2）①y=②18吨

（3）购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元

【解析】解：

（1）①当2≤x＜8时，如图，

设直线AB解析式为：

y=kx+b，

将A（2，12）、B（8，6）代入得：

，解得，

∴y=-x+14；

②当x≥8时，y=6．

所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：

y=

（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20-x）吨．

①当2≤x＜8时，

wA=x（-x+14）-x=-x2+13x；

wB=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x

∴w=wA+wB-3×20

=（-x2+13x）+（108-6x）-60

=-x2+7x+48；

当x≥8时，

wA=6x-x=5x；

wB=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x

∴w=wA+wB-3×20

=（5x）+（108-6x）-60

=-x+48．

∴w关于x的函数关系式为：

w=

②当2≤x＜8时，-x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=-2，均不合题意；

当x≥8时，-x+48=30，解得x=18．

∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．

（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m-x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m-x）]万元，

∴3m+x+[12+3（m-x）]=132，化简得：

x=3m-60．

①当2≤x＜8时，

wA=x（-x+14）-x=-x2+13x；

wB=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12

∴w=wA+wB-3×m

=（-x2+13x）+（6m-6x-12）-3m

=-x2+7x+3m-12．

将3m=x+60代入得：

w=-x2+8x+48=-（x-4）2+64

∴当x=4时，有最大毛利润64万元，

此时m=，m-x=；

②当x≥8时，

wA=6x-x=5x；

wB=9（m-x）-[12+3（m-x）]=6m-6x-12

∴w=wA+wB-3×m

=（5x）+（6m-6x-12）-3m

=-x+3m-12．

将3m=x+60代入得：

w=48

∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．

综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．

四、课堂运用

【基础】

1.某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是___________.

2.一个容器内盛满纯酒精50kg，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精ykg，设每次倒出的xkg，则y与x之间的函数关系式为_________________.

3.在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是

4.（甘肃）如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是______________________.

5、（杨浦区二模）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是___________________.

【巩固】

1.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：

每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为

2.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为_______________.

3.（滨州二模）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是___________________.

4．（眉山）如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为________________.

【拔高】

1.（呼伦贝尔）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：

如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．

（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．

方案A：

每件商品涨价不超过5元；

方案B：

每件商品的利润至少为16元．

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

2.（合肥模拟）某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4m．在某次跳水时，要求该运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．

（Ⅰ）求这条抛物线的解析式；

（Ⅱ）该运动员按（Ⅰ）中抛物线运行，要使此次跳水不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多为多少米？

3.（黄冈样卷）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

课程小结

1.根据实际问题列二次函数关系式；

2.二次函数的运用；

3.应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值；

4.应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题；

5.应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题.