小学数学解题方法解题技巧之两差法.docx

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小学数学解题方法解题技巧之两差法

第一章小学数学解题方法解题技巧之两差法

解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。

用两差法一般是解答差倍问题。

差倍问题的数量关系是：

两数差÷倍数差=1倍数

1倍数×倍数=几倍数

较小数+两数差=较大数

例1某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。

这个厂男女职工共有多少人？

（适于四年级程度）

解：

根据“人数差÷倍数差=1倍数”，有：

65÷（6-1）=13（人）

那么，这个厂男女职工共有的人数是：

13×（6+1）=91（人）

答略。

例2小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。

小李、小华两人分别用去多少钱？

（适于五年级程度）

解：

小华比小李多用2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。

小李用的钱数是：

0.55×3=1.65（元）

小华的钱数是：

0.55×8=4.40（元）

答略。

例3甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。

问甲乙两数各是多少？

（适于四年级程度）

解：

甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。

解法是：

28÷（3-1）=14……………………………乙数

14×3=42…………………………………甲数

答：

甲数是42，乙数是14。

例4一个植树小组植树。

如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。

这个植树小组有多少人？

一共有多少棵树苗？

（适于五年级程度）

解：

把题中的条件简要摘录如下：

      每人5棵      剩14棵

      每人7棵      缺4棵

比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。

根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。

（14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数

5×9+14=59（棵）……………………………棵数

答略。

例5用一个杯子向一个空瓶里倒水。

如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。

一杯水和一个空瓶各重多少克？

（适于五年级程度）

解：

解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。

这道题的“暗差”有两个：

一个是5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。

这里两个暗差的等量关系是：

2杯水的重量=160克。

这样就能很容易求出一杯水的重量：

160÷2=80（克）

一个空瓶的重量：

440-80×3=200（克）

答略。

*例6甲从西村到东村，每小时步行4千米。

3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。

问乙需要几小时才能追上甲？

（适于高年级程度）

解：

乙出发时，甲已经行了（4×3.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。

所以：

答：

乙需2.8小时才能追上甲。

例6是典型的“追及问题”。

由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。

*例7某电风扇厂生产一批电风扇。

原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。

这批电风扇的生产任务是多少台？

（适于高年级程度）

解：

在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：

（120+30）×12。

因为实际每天比原计划多生产30台，因此：

计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：

120×60=7200（台）

答略。

*例8甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。

问这段路长多少千米？

（适于五年级程度）

解：

解答这道题应从“差异”入手。

因为凡是发生差异必定有它的道理。

题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。

为什么会“甲比乙少用了3小时”？

因为甲比乙的速度快。

（1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？

在3小时里甲比乙正好多走：

4×3=12（千米）

（2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？

5-4=1（千米）

（3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？

12÷1=12（小时）

（4）这段路长多少千米？

5×12=60（千米）

综合算式：

5×[4×3÷（5-4）]

=5×[12÷1]

=5×12

=60（千米）

答略。

解：

此题是“差倍”问题的变形。

答略。

两堆煤原来各有多少吨？

（适于六年级程度）

解：

这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。

虽然知道甲堆运

知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。

本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。

然后再看假设引出了什么差异。

已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？

270-120=150（吨）……………………甲堆

答略。

*例11祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。

求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？

（适于六年级程度）

解：

因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。

1100-550=550（日元）

由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：

7-5=2（份）

所以，每一份的钱数是：

550÷2=275（日元）

哥哥有零花钱：

275×7=1925（日元）

其中祖父给的是：

1925-1100=825（日元）

答：

祖父给兄弟二人的钱都是825日元。

*例12一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：

“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？

”牧羊人说：

“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。

”请你帮助小明算一算。

（适于五年级程度）

解：

由“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。

由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。

此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图22-1）。

用除法可以求出1倍数（山羊只数），再用加法就可以求出绵羊只数。

（99+99）÷（3-1）

=198÷2

=99（只）…………………山羊只数

99+99=198（只）…………绵羊只数

答略。

*例13某工厂有大、小两个车间。

如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍；如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。

求大、小两个车间各有多少人？

（适于高年级程度）

解：

根据“如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多30×2人；根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多（30×2+10×2）人。

把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（30×2+10×2）人。

用除法可以求出1倍数（调动后，小车间人数），加上10就得小车间原有人数。

（30×2+10×2）÷（3-1）+10

=80÷24+10

=50（人）………………（小车间原有人数）

50+30×2=110（人）…（大车间原有人数）

答略。

在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。

年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。

但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。

抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。

*例14今年哥哥18岁，弟弟8岁。

问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？

（适于高年级程度）

解：

作图22-2。

哥哥和弟弟年龄之差（18-8）岁始终不变。

把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。

用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。

8-（18-8）÷（3-1）=3（年）

答略。

*例15今年父亲40岁，儿子4岁。

问几年后父亲的年龄是儿子的4倍？

（适于高年级程度）

解：

作图22-3。

父子年龄之差（40-4）岁始终不变。

把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多（4-1）=3倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。

用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。

（40-4）÷（4-1）-4

=36÷3-4

=8（年）

答略。