几何模型一线三等角模型.docx
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几何模型一线三等角模型
-线三等角模型
一•一线三等角概念
二•一线三等角的分类
全等篇
AP
BAP
同侧
异侧
P
A
B
同侧
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异侧
三.〃一线三等角〃的性质
1•一般情况下，如图3-1,由L1=^2=Z.3,易得AAECsABDE.
2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等•如图3-1,若CE=ED,则厶AECw△BDE.
图3-1图3-2
3.中点型〃一线三等角"
如图3-2,当Z.1=^2=A3,且D是BC中点时，ABDEcoACFDcoADFE・
4•〃中点型•线三等角〃的变代T解）
图3-5
其实这个第图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？
不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形进行解题
四、“一线三等角”的应用
6•“一线三等角”应用的三种情况•
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；
c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.
体会：
感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.
7•在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段.
8•构造一线三等角的步骤：
找角、定线、构相似
坐标系中，要讲究“线"的特殊性
如图3・6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.
解题示范
例2如图所示，四边形ABCD中，ZC=90ABD=ZDBC=22.5\AE丄BC于E,ZADE=67.5\AB=6,则CE=.
例3如图，四边形ABCD中，ZABC=ZBAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5.求BC的长.
例4如图，△ABC中,ZBAC=45°,AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.
i线三等角，补形最重要，内构勒思考，外构更精妙•找出相似形，
比例不能少•巧设未知数，妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中•般考虑纵横两个方向构造
//c
2D
Un（a•/?
）UrW5°-/
例5如图，在AABC中，ZBAC=135,AC=AB,AD丄AC交BC于点D,若AD二门，
求AABC的面积
当然有45或135等特殊角，据此也可以构造不同的•线三等角
•线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在•起，是相似集中条件的•种
人练身手：
1・如图，△/（EC中，tanZJCD=^,Z5=90。
，a=2,BC=4.求加的长.
2•如图.ZUBC中，ZB二90°,ZC4Z>-45°,AB^39CD=5,求的长.
3•如图.在四边形MCD中，ZBAD二ZACB二Z4CD=45°9AC=49求△〃（?
£>的周长.
A
4•在克角三角形ABC.ZO90e.Z羽30,^C=4.Q为XC的中点•若△DEF为正三角形.求CF的长.
B
5•如图.在RtAABC中.ZACB=3O0•场平分乙CAB.若ZCD^=6O0.心=4笛求XZ＞的长.
6•如图.在等腰直角三角形中.ZBAC=9Q9■D为上一点■连接CDP为CD上一点.
ZBPDM5,■若CP=69XCQ的面积为18,则线段的长为•
&如图.auc中.ZBYC=90・.AB・2yfi•点D丘BC边上.BC"41CD.DE丄BC且.DE・DCDE
交AC边与点F.EF”■则AC的长为.
BDC
9•如图.在平面直角坐标系中.点A（4,OX点（0,2力）.点C在第-像限内.若SC为等边三角形，则点C的坐标为.
10.矩形ABCD在直角坐标系的位置如图所示，点^（2>/15,0）点C（0,5）,反比例画数y=£的图像交边仙、BC干D、E两点•且ZDOE=45°,则.
H•如图•“线y=2x-4交坐标轴与儿B曲点.交双曲线y=-（x>0）于点G115^=8,点P在点C
x
的右侧的双曲线匕ZPBC=45・.则点P的坐标为.
12.在^ABC中.AB=2近4=45。
，以点A为直角顶点作等ft?
fl/fiZUDE.点D在BC上■点E在*C上.
若CE=W■则CD的长为.
13•如图.中.ZG90,.AC=6.BC=&。
定斜边的中点.E为BC上动鼠DF—E于点F.连接QE.若△QEF足等腰直角三角形，求DE的长度・
14•在△仙C中.Z〃=45・■ZC=30・•点DUlBC上一点.连接VD过点，作在/G上取点F.连接DF・延长W至E.使AE=AF.连接EG.DG.RGE=DF・
（1）若AB^2j2AB=29求的长：
（2）如图k
当点G在ACk时.求证：
BD^-CGz
2
（3）如图2.
当点G在/C的垂直平分红上时，直接写岀备的位.
D
（2）
（3）
A
例7：
在平面直角坐标系中，已知点Ad,0）,B（0,3）,C（—3,0）,D是线段AB上一
点，CD交y轴于E,且S
BCE=2S
zAOB.
（1）求直线AB的解析式：
求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由;
若F为射线CD±-点，且ZDBF=45\求点F的坐标.
COAx
2
例8：
如图,直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax交FA'B两点（A在B的左侧八
BC=2AC,点P是抛物线上一点.
（1）求抛物线的函数农达式:
（2）若点P在直线AB的下方，求点
（3）若点P在直线AB的上方，且Z
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练1：
.如图，抛物线的顶点为C（-1,-1）,且经过点A、点B和坐标原点0,点B的横坐标为一3.
（1）求抛物线的解析式：
（2）若点D为抛物线上的一点，且厶B0D的面积等于△B0C的面积，请直接写出点D的坐标：
（3）若点E的坐标为（0,2）,点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P.使得ZOPE
=45?
若存在，求出点P的坐标：
若不存在，请说明理由.
课后作业：
如图，点A（0r1）,B（3,0）lP为直线y=-x+5上一点，若zAPB=45>,求点P的坐标
在四边形ABCD中，zABC=zBAD=90°,zACD=45°,AB=3>AD=4I求AC的长•
B
如图，正方形ABCD中，点EFG分别在AB.BGCD上，△EFG为等边三角形，求证:
BE+GC=百BC
D
B
如图，△ABCU△DBA,且AC二BC,求证：
CD二2AB.
如图，在四边形ABCD中，ZABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=$"5,求BD的长
如图，点A是反比例（X>0）图形上一•点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0,
2）,点厶ABC是等边三角形时，求点A的坐标・
拋物线y=与坐标轴交于八B.C三点.点P右瀝物线匕PEkBC予总E.若PE=2CE.
求P点坐标・
如图，抛物线y=ax+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧〉,与y轴交于点C直线I：
y=-于x+m经过点A,与抛物线交于另-点D（5,一T），点P是直线I上方的抛物线上的动点，连接PC、PD.
（1）求抛物线的解析式：
（2）当APCD为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设APCD的而积为S请你探究：
使S的值为整数的点P共有几个，说明理由.
4222
yx+—
9•如图1,已知直线y二kx与抛物线交于点A（3,6）・
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（1）求直线y二kx的解析式和线段0A的长度：
（2）点P为抛物线第-象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、0不重合），交直线0A于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？
如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由；
（3）
如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段0A上（与点0、A不重合），点D（m,0）是x轴正半轴上的动点，且满足ZBAE二ZBED二/AOD.继续探究：
m在什么范圉时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
如图，直线AC：
y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C抛物线y=ax+bx+c（a>0）过、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且aOBC—OCA.
（1）求抛物线的解析式：
（2）点D为抛物线上一点，DCA=45。
，求点D的坐标：
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