考研数三真题及答案解析.docx
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考研数三真题及答案解析
2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、
１．当x0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）
A）xo（x2）o（x3）
23
B）o（x）o（x2）o（x3）
（C）o（x2）o（x2）o（x2）（D）o（x）o（x2）o（x2）
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例2332如当x0时f（x）x2x3o（x）,g（x）x3o（x2），但f（x）g（x）o（x）而不是
2
o（x2）故应该选（D）
2．函数
f（x）
x（x1）lnx
的可去间断点的个数为
A）0（B）1（C）2
）
D）3
详解】当xlnx0时，x1exlnx1~xlnx，
lxim0f（x）lxim0
xlnx
x（x1）lnx
lim
x0xlnx
1，所以x0是函数
f（x）的可去间断点．
lixm1f（x）lixm1
x（x1）lnx
xlnx
2xlnx
1
1，所以x1是函数f（x）的可去间断点．
2
x
x1
limf（x）lim
x1x1x（x1）lnx
lim
x1
xlnx
（x1）lnx
，所以所以x1不是函数f（x）的
可去间断点．故应该选（C）．３．设Dk是圆域D
（x,y）|x2y21的第k象限的部分，记Ik（yx）dxdy，则Dk
A）I10（B）I20（C）I30（D）I40
详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
k
2
（k1）
2k
1
sincos|k21
32
Ik（yx）dxdyDk
所以I1
I30,I223,I4
４．设
A）
B）
C）
D）
d（sincos）r2dr1
23，应该选（
B）．
an为正项数列，则下列选择项正确的是（
anan1，则
（1）an收敛；
n1
（1）n1an收敛，则anan1
an收敛．则存在常数P1，使limnpan存在；n1n
若存在常数P1，使limnpan存在，则an收敛．
nn1
k
k21（sinsin）d
2
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（
A），但少一
条件liman0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，
n选项（B）５．设Ａ，
（A）
（B）
（C）
（D）
也不正确，反例自己去构造．
Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则矩阵矩阵矩阵矩阵
C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵
A的行向量组等价．A的列向量组等价．B的行向量组等价．B的列向量组等价．
不是必要条件，
详解】把矩阵A，C列分块如下：
A1,2,,n
C1,2,,n，由于ＡＢ＝Ｃ，
则可知ibi11bi22binn（i1,2,,n），
得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的
列向量组线性表示．同时由于B可逆，即ACB1，
同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵
C的列向量组与矩阵
A的列向量组等价．应该选（B）．
1a1
200
6．矩阵
aba
与矩阵
0b0
1a1
000
C的列向量组线性表示，所以矩阵
相似的充分必要条件是
A）a0,b2
B）a0，b为任意常数
C）a2,b0
A）P1P2P3
B）P2P1P3
C）P3P2P1
D）P1P3P2
200
1a1
200
0b0
是对角矩阵，所以矩阵A=
aba
与矩阵
0b0
000
1a1
000
D）a2，b为任意常数
详解】注意矩阵
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
1a1
22EAaba（2（b2）2b2a2）
1a1
从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．
22
7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N（0,1）,X2~N（0,22）,X3~N（5,32），
PiP2Xi2，则
X
详解】若X~N（,2），则~N（0,1）
P12
（2）1，
P2P2X22P1X2
2
12
（1）1，
P3
25
3
X35
3
25
3
7
（1）
3
731）
P3
P21
733
（1）
23
（1）0．
A）
1
12
B）
C）1
D）
故选择（A）．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
X
0
1
2
3P
P
1/2
1/4
1/8
1/8
Y
-1
0
1
P
1/3
1/3
1/3
则PXY2（）
1111PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y11224246
，故选择（C）．
、填空题（本题共
6小题，每小题
4分，满分24分.把
答案填在题中横线上）
9．设曲线yf（x）和yx2
x在点1,0处有切线，
limnfn
n2
详解】由条件可知f10,f'
（1）1．所以
f1
limnflimnn2n
n2
f
（1）
2n2
2f'
（1）2
n22n
10．设函数
x
zzx,y是由方程zyxy确定，则
zx|（1,2）．
x
详解】
Fx,y,z（zy）xxy
Fxx,y,z（zy）xlzy）y,Fz（x,ny,z）x（zy）x1，
当x1,y2时，z0，
所以z|（1,2）22ln2．
11．lnx2dx．
12
（1x）
详解】
lnx
lnxdxlnxd
2
（1x）2
lnx|1
|11
x（1x）
dxlnx|1ln2
x1
1
12．微分方程yy1y
4
0的通解为．
详解】方程的特征方程为
1
r0，两个特征根分别为1
41
1
2，所以方程通
2
解为y（C1C2x）e2，其中C1,C2为任意常数．
13．设Aaij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij
的代数余子式，且满足
Aijaij0（i,j1,2,3），则A=．
详解】由条件Aijaij0（i,j1,2,3）可知AA*T0，其中A*为A的伴随矩阵，从
而可知
*T31
A*A*A31A，所以A可能为1或0．
n,r（A）n
*T
但由结论r（A*）1,r（A）n1可知，AA*T0可知r（A）r（A*）,伴随矩阵的秩只
0,r（A）n1
能为3，所以A1.
14．设随机变量X服从标准正分布X~N（0,1），则EXe2X．
【详解】
EXe2X
xe2x1e
2
x2
2dx
2e
2
2
2dx
（x2）
（x2）2
（x22）e2dx
2e
2
t2
2
dt2
t2
e2dt
22
e2E（X）2e2
2e
所以为2e2．
三、解答题
15．（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a,n．
分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．
【详解】当x0时，cxo1s1x2o（x2），
2
cos2x11（2x）2o（x2）12x2o（x2），
2
122922
cos3x1（3x）2o（x2）1x2o（x2），
所以
1cosxcos2xcos3x1
（112x
o（x2））（12x2
292o（x2））（12x2
o（x2））7x2o（x2）
由于1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，所以a7,n2．16．（本题满分10分）
3
设D是由曲线y3x，直线xa（a0）及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x
轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy，求a的值．
详解】
由微元法可知
Vx
a2
Vy
2xf（x）dx2
4
a
x3dx0
6a3；
7
25
a
2
ydxx3dxa3；
05
由条件10VxVy，知a
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2dxdy．
D
详解】
222223x628x416x2dxdyx2dxdyx2dxdy0x2dxxdy2x2dxxdy
DD1D2333
18．（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60Q,（P1000
该的边际利润．
当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．使得利润最大的定价P．
是单价，单位：
元，Q是销量，单位：
件），已知产销平衡，求：
（1）
（2）
（3）
【详解】
2
1）设利润为y，则yPQ（600020Q）40QQ6000，1000
边际利润为y'40Q.
500
（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：
当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．
（3）令y'0，得Q20000,P602000040.
10000
19．（本题满分10分）
设函数fx在［0,）上可导，f00，且limf（x）2，证明
1）存在a0，使得fa1;
2）对
（1）中的a，存在（0,a），使得f'（）1
a
详解】
35证明
（1）由于limf（x）2，所以存在X0，当xX时，有f（x），x22
又由于fx在［0,）上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1;
2）
存在
函数fx在［0,a］上可导，由拉格朗日中值定理，
20．
设
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