历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 c单元 三角函数理科 含答案.docx
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历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编c单元三角函数理科含答案
数学
C单元 三角函数
C1角的概念及任意角的三角函数
C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
12．B9、C2、C6函数f（x）＝4cos2
·cos
－2sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为________．
12．2 f（x）＝4cos2
sinx－2sinx－|ln（x＋1）|＝2sinx
－|ln（x＋1）|＝sin2x－|ln（x＋1）|.令f（x）＝0，得sin2x＝|ln（x＋1）|.在同一坐标系中作出函数y＝sin2x与函数y＝|ln（x＋1）|的大致图像，如图所示．
观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f（x）有2个零点.
19．C2、C5、C8如图14所示，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．
（1）证明：
tan
＝
；
（2）若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan
＋tan
＋tan
＋tan
的值．
19．解：
（1）证明：
tan
＝
＝
＝
.
（2）由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B.
由
（1）知，
tan
＋tan
＋tan
＋tan
＝
＋
＋
＋
＝
＋
.
连接BD，
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，
在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC，
所以AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcosA，
则cosA＝
＝
＝
.
于是sinA＝
＝
＝
.
连接AC，同理可得
cosB＝
＝
＝
，
于是sinB＝
＝
＝
.
所以tan
＋tan
＋tan
＋tan
＝
＋
＝
＋
＝
.
9．C2、C5、C7若tanα＝2tan
，则
＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
9．C
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝3.
18．C2、C3、C5、C6已知函数f（x）＝sin
－xsinx－
cos2x.
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）讨论f（x）在
，
上的单调性．
18．解：
（1）f（x）＝sin
－xsinx－
cos2x＝cosxsinx－
（1＋cos2x）
＝
sin2x－
cos2x－
＝sin2x－
－
，
因此f（x）的最小正周期为π，最大值为
.
（2）当x∈
，
时，0≤2x－
≤π，从而
当0≤2x－
≤
，即
≤x≤
时，f（x）单调递增；
当
≤2x－
≤π，即
≤x≤
时，f（x）单调递减．
综上可知，f（x）在
，
上单调递增；在
，
上单调递减．
C3三角函数的图象与性质
17．C4、C3某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）
在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin（ωx＋φ）
0
5
－5
0
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）图像上所有点向左平行移动θ（θ>0）个单位长度，得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）图像的一个对称中心为
，求θ的最小值．
17．解：
（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－
.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin（ωx＋φ）
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f（x）＝5sin
.
（2）由
（1）知f（x）＝5sin
，所以g（x）＝5sin
.
因为y＝sinx的图像的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
所以令2x＋2θ－
＝kπ，k∈Z，
解得x＝
＋
－θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图像关于点
成中心对称，所以令
＋
－θ＝
，k∈Z，解得θ＝
－
，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值
.
15．C5，C3已知函数f（x）＝
sin
cos
－
sin2
.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值．
15．解：
（1）因为f（x）＝
sinx－
（1－cosx）
＝sin
－
，
所以f（x）的最小正周期为2π.
（2）因为－π≤x≤0，所以－
≤x＋
≤
.
当x＋
＝－
，即x＝－
时，f（x）取得最小值．
所以f（x）在区间上的最小值为
f
＝－1－
.
12．A3、C3若“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
12．1 ∵y＝tanx在区间
上单调递增，∴y＝tanx
的最大值为tan
＝1.
又∵“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，∴m≥1.
4．C3，C4下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）
A．y＝cos2x＋
B．y＝sin2x＋
C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx
4．A 选项A中，y＝－sin2x，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B中，y＝cos2x是偶函数，图像不关于原点对称；选项C中，y＝
sin
，图像不关于原点对称；选项D中，y＝
sin
，最小正周期为2π.故选A.
15．C3、C5、C6已知函数f（x）＝sin2x－sin2x－
，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间－
，
上的最大值和最小值．
15．解：
（1）由已知，有
f（x）＝
－
＝
cos2x＋
sin2x－
cos2x＝
sin2x－
cos2x＝
sin2x－
.
所以f（x）的最小正周期T＝
＝π.
（2）因为f（x）在区间－
，－
上是减函数，在区间－
，
上是增函数，f－
＝－
，f－
＝－
，f
＝
，所以f（x）在区间－
，
上的最大值为
，最小值为－
.
18．C2、C3、C5、C6已知函数f（x）＝sin
－xsinx－
cos2x.
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）讨论f（x）在
，
上的单调性．
18．解：
（1）f（x）＝sin
－xsinx－
cos2x＝cosxsinx－
（1＋cos2x）
＝
sin2x－
cos2x－
＝sin2x－
－
，
因此f（x）的最小正周期为π，最大值为
.
（2）当x∈
，
时，0≤2x－
≤π，从而
当0≤2x－
≤
，即
≤x≤
时，f（x）单调递增；
当
≤2x－
≤π，即
≤x≤
时，f（x）单调递减．
综上可知，f（x）在
，
上单调递增；在
，
上单调递减．
C4 函数
的图象与性质
10．C4已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x＝
时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．f
（2）B．f（0）（2）C．f（－2）（2）
D．f
（2）10．A 依题意得f（x）在
上单调递减，且直线x＝
是f（x）的图像的一条对称轴．又f（－2）＝f（π－2），f（0）＝f
，且
<
<π－2<2<
，所以f（0）＝f
>f（π－2）＝f（－2）>f
（2），故选A.
17．C4、C3某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）
在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin（ωx＋φ）
0
5
－5
0
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）图像上所有点向左平行移动θ（θ>0）个单位长度，得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）图像的一个对称中心为
，求θ的最小值．
17．解：
（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－
.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin（ωx＋φ）
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f（x）＝5sin
.
（2）由
（1）知f（x）＝5sin
，所以g（x）＝5sin
.
因为y＝sinx的图像的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
所以令2x＋2θ－
＝kπ，k∈Z，
解得x＝
＋
－θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图像关于点
成中心对称，所以令
＋
－θ＝
，k∈Z，解得θ＝
－
，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值
.
8．C4函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图像如图12所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
图12
A.
，k∈Z
B.
，k∈Z
C.
，k∈Z
D.
，k∈Z
8．D 由图知
＝
－
＝1，所以T＝2，即
＝2，所以ω＝±π.
因为函数f（x）的图像过点
，
所以当ω＝π时，
＋φ＝
＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝
＋2kπ，k∈Z；
当ω＝－π时，
＋φ＝－
＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝－
＋2kπ，k∈Z.
所以f（x）＝cos
，由2kπ<πx＋
<π＋2kπ解得2k－
，k∈Z，故选D.
9．C4、C9将函数f（x）＝sin2x的图像向右平移φ0<φ<
个单位后得到函数g（x）的图像，若对满足|f（x1）－g（x2）|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝
，则φ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
9．D 由已知得g（x）＝sin（2x－2φ），又|f（x1）－g（x2）|＝2，0<φ<
，所以当|x1－x2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x1＝
，2x2－2φ＝－
，则|x1－x2|＝
＝
，得φ＝
.
3．C4要得到函数y＝sin
的图像，只需将函数y＝sin4x的图像（ ）
A．向左平移
个单位B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位D．向右平移
个单位
3．B 设将y＝sin4x的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin4（x－φ）＝sin（4x－4φ）＝sin
，则φ＝
.
3．C4如图12，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin
x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：
m）的最大值为（ ）
图12
A．5B．6C．8D．10
3．C 据图可知，－3＋k＝2，得k＝5，所以ymax＝3＋5＝8.
4．C3，C4下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）
A．y＝cos2x＋
B．y＝sin2x＋
C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx
4．A 选项A中，y＝－sin2x，最小正周期为π，且图像关于原点对称；选项B中，y＝cos2x是偶函数，图像不关于原点对称；选项C中，y＝
sin
，图像不关于原点对称；选项D中，y＝
sin
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