高中数学人教A版选修23第三章 统计案例 单元综合检测 12.docx
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高中数学人教A版选修23第三章统计案例单元综合检测12
第二章随机变量及其分布综合检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2013·霍邱二中一模）设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P（ξ<4）＝0.3，那么n的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．10
[答案] D
[解析] ∵P（ξ<4）＝
＝0.3，∴n＝10.
2．已知随机变量X满足D（X）＝1，则D（2X＋3）＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
[答案] B
[解析] D（2X＋3）＝4D（X）＝4.
3．（2013·景德镇市高二期末）已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D（X）等于（ ）
X
0
1
P
m
2m
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 由m＋2m＝1得，m＝
，∴E（X）＝0×
＋1×
＝
，D（X）＝（0－
）2×
＋（1－
）2×
＝
，故选B.
4．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是
，则该随机变量的方差等于（ ）
A．10B．100C.
D.
[答案] C
[解析] 由正态分布密度曲线上的最高点
知
＝
，∴D（X）＝σ2＝
.
5．（2013·辽师大附中高二期中）若随机变量η～B（n，0.6），且E（η）＝3，则P（η＝1）的值是（ ）
A．2×0.44B．3×0.44
C．2×0.45D．3×0.64
[答案] B
[解析] ∵η～B（n,0.6），∴E（η）＝0.6n＝3，∴n＝5，∴P（η＝1）＝C
·0.6·（1－0.6）4＝3×0.44，故选B.
6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是
的事件为（ ）
A．恰有1只是坏的B．4只全是好的
C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的
[答案] C
[解析] X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P（X＝k）＝
（k＝1、2、3、4）．
∴P（X＝1）＝
，P（X＝2）＝
，P（X＝3）＝
，P（X＝4）＝
，∴选C.
7．对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] “第一次摸出次品”记为事件A，“第二次摸出次品”记为事件B.
则P（A）＝
＝
.P（AB）＝
＝
，
则P（B|A）＝
＝
.
8．已知随机变量ξ服从正态分布N（3,4），则E（2ξ＋1）与D（2ξ＋1）的值分别为（ ）
A．13,4B．13,8C．7,8D．7,16
[答案] D
[解析] 由已知E（ξ）＝3，D（ξ）＝4，得E（2ξ＋1）＝2E（ξ）＋1＝7，D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝16.
9．（2012·兰州一中期末）有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 从10个球中任取4个，有C
＝210种取法，取出的编号互不相同的取法有C
·24＝80种，∴所求概率P＝
＝
.
10．设随机变量ξ服从分布P（ξ＝k）＝
，（k＝1,2,3,4,5），E（3ξ－1）＝m，E（ξ2）＝n，则m－n＝（ ）
A．－
B．7C.
D．－5
[答案] D
[解析] E（ξ）＝1×
＋2×
＋3×
＋4×
＋5×
＝
，∴E（3ξ－1）＝3E（ξ）－1＝10，
又E（ξ2）＝12×
＋22×
＋32×
＋42×
＋52×
＝15，∴m－n＝－5.
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（a、b、c∈[0,1）），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝
（3a）·b≤
·
2＝
，等号在3a＝b＝
，即a＝
，b＝
时成立．
12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：
f1（x）＝x，f2（x）＝x2，f3（x）＝x3，f4（x）＝sinx，f5（x）＝cosx，f6（x）＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 由于f2（x），f5（x），f6（x）为偶函数，f1（x），f3（x），f4（x）为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.
P（ξ＝1）＝
＝
，
P（ξ＝2）＝
＝
，
P（ξ＝3）＝
＝
，
P（ξ＝4）＝
＝
.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
E（ξ）＝1×
＋2×
＋3×
＋4×
＝
.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上）
13．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E（ξ）＝8.9，则y的值为________．
[答案] 0.4
[解析] 由分布列可得x＝0.6－y且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4.
14．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有一台雷达发现飞行目标的概率为________．
[答案] 0.22
[解析] 所求概率为0.9×（1－0.85）＋（1－0.9）×0.85＝0.22.易出现如下错误：
0.9＋0.85＝1.75，两个事件A，B中恰有一个发生包含两种情况：
一是A发生而B不发生；二是A不发生而B发生．
15．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E（X）＝________.
[答案]
[解析] 这是100次独立重复试验，X～B
，
∴E（X）＝100×
＝
.
16．（2013·陕西宝鸡中学高二期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．
①P（B）＝
；
②P（B|A1）＝
；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
[答案] ②④
[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P（A1）＝
，P（A2）＝
，P（A3）＝
，又P（B|A1）＝
，P（B|A2）＝
，P（B|A3）＝
，故②对③错；∴P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P（A3B）＝P（A1）·P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）＋P（A3）·P（B|A3）＝
×
＋
×
＋
×
＝
，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．
[解析] 取球次数X是一个随机变量，X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均值和方差，可先求X的分布列．
P（X＝1）＝
＝0.2，
P（X＝2）＝
×
＝0.2，
P（X＝3）＝
×
×
＝0.2，
P（X＝4）＝
×
×
×
＝0.2，
P（X＝5）＝
×
×
×
×
＝0.2.
于是，我们得到随机变量X的分布列
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由随机变量的均值和方差的定义可求得：
E（X）＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2
＝0.2×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，
D（X）＝（1－3）2×0.2＋（2－3）2×0.2＋（3－3）2×0.2＋（4－3）2×0.2＋（5－3）2×0.2＝0.2×（22＋12＋02＋12＋22）＝2.
[点评] 把5个小球排成一排，在每一个位置上是白球的概率都是
，∴P（X＝k）＝
，k＝1、2、3、4、5.
18．（本题满分12分）（2011·江西理，16）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望．
[分析] 8杯饮料中含4杯A饮料，从8杯中任选4杯，其中恰含k杯A饮料的概率服从超几何分布．
设新录用员工的月工资为y，则y的取值与X的取值对应关系为
y
3500
2800
2100
X
4
3
0,1,2
[解析]
（1）X的所有可能取值为：
0,1,2,3,4，
P（X＝i）＝
（i＝0,1,2,3,4），
即
X
0
1
2
3
4
P
（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500，
则P（Y＝3500）＝P（X＝4）＝
，
P（Y＝2800）＝P（X＝3）＝
，
P（Y＝2100）＝P（X≤2）＝
，
E（Y）＝3500×
＋2800×
＋2100×
＝2280.
所以新录用员工月工资的期望为2280元．
[点评] 要注意超几何分布的特点，是总数为N件的A、B两类物品，其中含M件A类物品，从中任取n件（n≤N）时恰含有A类物品m件，要严格按其特点作出判断．
19．（本题满分12分）（2013·揭阳一中高二段测）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（1）的条件下，求ξ、η的分布列及E（ξ），E（η）；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在
（2）的条件下，x、y为何值时，z＝xE（ξ）＋yE（η）最大？
最大值是多少？
项目
产品
工人（名）
资金（万元）
甲
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