二项式知识点十大问题练习含复习资料.docx

二项式知识点十大问题练习含复习资料.docx

《二项式知识点十大问题练习含复习资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式知识点十大问题练习含复习资料.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二项式知识点十大问题练习含复习资料

1．二项式定理：

，

2．基本概念：

①二项式展开式：

右边的多项式叫做

的二项展开式。

②二项式系数:

展开式中各项的系数

.

③项数：

共

项，是关于

与

的齐次多项式

④通项：

展开式中的第

项

叫做二项式展开式的通项。

用

表示。

3．注意关键点：

①项数：

展开式中总共有

项。

②顺序：

注意正确选择

其顺序不能更改。

与

是不同的。

③指数：

的指数从

逐项减到

，是降幂排列。

的指数从

逐项减到

，是升幂排列。

各项的次数和等于

.

④系数：

注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

项的系数是

与

的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令

令

5．性质：

①二项式系数的对称性：

与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

，···

②二项式系数和：

令

则二项式系数的和为

，

变形式

。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令

，则

，

从而得到：

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

⑤二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数

是偶数时，则中间一项的二项式系数

取得最大值。

如果二项式的幂指数

是奇数时，则中间两项的二项式系数

同时取得最大值。

⑥系数的最大项：

求

展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别

为

，设第

项系数最大，应有

，从而解出

来。

专题一

题型一：

二项式定理的逆用；

例：

解：

与已知的有一些差距，

练：

解：

设

，则

题型二：

利用通项公式求

的系数；

例：

在二项式

的展开式中倒数第

项的系数为

，求含有

的项的系数？

解：

由条件知

，即

，

，解得

，由

，由题意

，

则含有

的项是第

项

系数为

。

练：

求

展开式中

的系数？

解：

，令

则

故

的系数为

。

题型三：

利用通项公式求常数项；

例：

求二项式

的展开式中的常数项？

解：

，令

，得

，所以

练：

求二项式

的展开式中的常数项？

解：

，令

，得

，所以

练：

若

的二项展开式中第

项为常数项，则

解：

，令

，得

.

题型四：

利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：

求二项式

展开式中的有理项？

解：

，令

（

）得

，

所以当

时，

，

，

当

时，

，

。

题型五：

奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

例：

若

展开式中偶数项系数和为

，求

.

解：

设

展开式中各项系数依次设为

则有

①，

则有

②

将①-②得：

有题意得，

，

。

练：

若

的展开式中，所有的奇数项的系数和为

，求它的中间项。

解：

，

，解得

所以中间两个项分别为

，

，

题型六：

最大系数，最大项；

例：

已知

，若展开式中第

项，第

项与第

项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

解：

解出

，当

时，展开式中二项式系数最大的项是

，

当

时，展开式中二项式系数最大的项是

，

。

练：

在

的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：

二项式的幂指数是偶数

，则中间一项的二项式系数最大，即

，也就是第

项。

练：

在

的展开式中，只有第

项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

解：

只有第

项的二项式最大，则

，即

所以展开式中常数项为第七项等于

例：

写出在

的展开式中，系数最大的项？

系数最小的项？

解：

因为二项式的幂指数

是奇数，所以中间两项（

）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有

的系数最小，

系数最大。

例：

若展开式前三项的二项式系数和等于

，求

的展开式中系数最大的项？

解：

由

解出

假设

项最大，

，化简得到

，又

，

，展开式中系数最大的项为

有

练：

在

的展开式中系数最大的项是多少？

解：

假设

项最大，

，化简得到

，又

，

，展开式中系数最大的项为

题型七：

含有三项变两项；

例：

求当

的展开式中

的一次项的系数？

解法①：

，

，当且仅当

时，

的展开式中才有x的一次项，此时

，所以

得一次项为

它的系数为

。

解法②：

故展开式中含

的项为

，故展开式中

的系数为240.

练：

求式子

的常数项？

解：

，设第

项为常数项，则

，得

.

题型八：

两个二项式相乘；

例：

解：

.

练：

解：

.

练：

解：

题型九：

奇数项的系数和与偶数项的系数和；

例：

解：

题型十：

赋值法；

例：

设二项式

的展开式的各项系数的和为

，所有二项式系数的和为

若

则

等于多少？

解：

若

，有

，

，

令

得

，又

即

解得

，

.

练：

若

的展开式中各项系数之和为

，则展开式的常数项为多少？

解：

令

，则

的展开式中各项系数之和为

，所以

，则展开式的常数项为

.

例：

解：

练：

解：

题型十一：

整除性；

例：

证明：

能被64整除

证：

由于各项均能被64整除

1、（x－1）11展开式中x的偶次项系数之和是

1、设f（x）=

（1）11,偶次项系数之和是

2、

2、4n

3、

的展开式中的有理项是展开式的第项

3、3,9,15,21

4、（21）5展开式中各项系数绝对值之和是

4、（21）5展开式中各项系数系数绝对值之和实为（21）5展开式系数之和，故令1，则所求和为35

5、求（12）

（1）10展开式中x4的系数

5、

要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与

（1）9展开式中的项

作积，第一个因式中的－x3与

（1）9展开式中的项

作积，故x4的系数是

6、求

（1）+

（1）2+…+

（1）10展开式中x3的系数

6、

=

，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为

7、若

展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？

7、由条件得21，x2的项为

，则

因n∈N，故当10或11时上式有最小值，也就是11和10，或10和11时，x2的系数最小

8、自然数n为偶数时，求证：

8、原式=

9、求

被9除的余数

9、

∵k∈Z,∴91∈Z，∴

被9除余8

10、在（x2+32）5的展开式中，求x的系数

10、

在

（1）5展开式中，常数项为1，含x的项为

，在

（2）5展开式中，常数项为25=32，含x的项为

∴展开式中含x的项为

，此展开式中x的系数为240

11、求（21）12展开式中系数最大的项

11、设1的系数最大，则1的系数不小于与2的系数，即有

∴展开式中系数最大项为第5项，T5=