误差理论及测量平差基础习题集.docx

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误差理论及测量平差基础习题集

.

第七章间接平差

§7-1间接平差原理

7.1.01在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？

偏差方程和法方程

的个数是多少？

7.1.02在某平差问題中，假如剩余现测个数少于必需观察个数，此时间

接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为何？

7.1.03假如某参数的近似值是依据某些现测值计算而得的，那么这些观察

值的偏差方程的常数项都会等于零吗？

7.1.04在图7-1所示的闭合水平网中，A为已知点（HA=10.OOOm），P1，P2

为高程未知点，测得离差及水平路线长度为：

h1=1.352m,S1=2km，h2=-0.531m，S2=2km,h3=-0.826m,S3=lkm。

试用间接平差法求各髙差的平差值。

7.1.05在三角形（图7-2）中，以不等精度测得

α=78o23′12"，Pα=1;

β=85o30'06"，P?

=2;

γ=16o06'32"，Pγ=1;

δ=343o53'24",Pδ=1；

试用间接平差法求各内角的平差值。

6.1.06设在单调附合水平路线（图7-3）中已知A,B两点高程为HA，HB，路线

长为

'.

.

S1，S2，观察高差为h1h2，试用间接平差法写出P点高程平差值的公式。

7.1.07在测站0点观察了6个角度（如图7-4所示），得同精度独立观察值:

L1=32o25'18",L2=61o14'36",

L3=94o09'40",L4172010'17"

L5=93o39'48",L6=155o24'20"

已知A方向方向角αA=21o10'15"，试按间接平差法求各方向方向角的平差值。

§7-2偏差方程

7.2.08在间接平差中，为何所选参数的个数应等于必需观察数，并且参

数之间要函

数独立?

7.2.09可否说选用了足够的参数，每一个观侧值都能表示成参数的函数?

7.2.10在平面控制网中，应怎样选用参数?

7.2.11条件方程和偏差方程有何异同?

7.2.12偏差方程有哪些特色?

7.2.13图7-5中,A,B为已知点，P1~P5为待定点，P1,P5两点间的边长为

已知，

L1～L6为角度观察值，S1~S6为边长观察值，试确立图中独立参数的个数。

7.2.14在图7-6中，A,B已知点，P1~P3为未知点，观察角度L1～L11，若设

角度观

'.

.

参数独立参数有哪些角？

7.2.15s列出7-7中各形的差方程式（常数用字母表示）

（I）A,B,C,D已知点，P1、P5未知点.高差h1~h5，h2，h4参数;

（2）A,B已知点，P1~P3未知点，高差h1~h7，P1点高程、高差h3，

h5参

数;

（3）P1~P4未知点，高差h1~h6，P1~P3点的高程参数

7.2.16在直角三角形（7-8）中，得三之L1L2和L3

若参数

，列出形的差方程式。

7.2.17

确立某向来方

，在Xi（i=1,2,

⋯,5）

（xi无差）了5

个yi

xi/cm

1

2

3

4

5

yi/cm

3.30

4.56

5.90

7.10

8.40

列出确立直的差方程。

'.

.

7.2.18。

在待定点P上,向已知点A,B,C进

行方向观察。

如图7-9所示,设为零方向定向角平差值,Li（i=1，2，3）为方向观察值，A,B,C

点的坐标及P点的近似坐标均列于表中，试列出所有

观侧值的偏差方程。

点号

X/m

Y/m

观测

值

（o

′"）

A

826.823

393.245

ZP

2103

42

B

695.741

445.678

L1

2518

38

C

633.226

371.062

L2

7128

54

P

703.800

264.180

L3

102

2236

7.2.19

在图7-10中,A,B,C

为已知点，今在此间加测一点P，其近似坐标为

=771.365m,

465.844m.

已知起算数据和观察值列十表中，试

列出所有观察

点

坐标

号

Y/m

X/m

A

867.106

338.796

B

734.058

279.305

C

598.943

372.070

角号

1

2

3

4

'.

.

观察值

79o

53o

66o

63o

51'20"

35'50"

50'10"

00'43"

7.2.20

图7-ll

中，A,B,C为已知点，P为待定点，网中观察了3条边长L1~L3，

起算

数据及观察数据均列于表中，现选待定点的坐标平差值为参数，其坐标近似值为

=

57578.93m,=70998.26m，试列出各观察边长的偏差

方程式

点

坐标

号

X/m

Y/m

编号

L

L

L

1

2

3

观察值

3128.86

3367.20

6129.88

/m

A

60509.596

69902.525

B

58238.935

74300.086

C

51946.286

73416.515

7.2.21有边角网如图7-12所示，A，B，C为已知点，P1P2为待定点，角度观察值

为

L1~L7，边长观察值为S，已知点坐标和观察数据均列于表中，若设待定点坐

标为参数，试列

出所有偏差方程。

点

近似坐标

号

0

0

点

坐标

X/m

Y/m

870.180

294.430

号

1

X/m

P

Y/m

P2

841.950

450.720

'.

.

A

760.274

208.722

B

619.109

318.629

C

703.808

491.110

角号

角号

L1

33o

24′

L5

34o04′

10"

45"

L2

70o

44′

L6

64o30′

46"

22"

L3

32o

23′

L7

31o49′

52"

18"

L4

36o

09′

48"

7.2.22有一中心在原点的，了确立其方程，了10数据（xi，

yi）（i=1，2，⋯，10），已知xi无差、列出的差方程。

7.2.23确立某一抛物方程y2=ax，了6数据（xi，yi）（i=1,2,..，

6），已知

xi无差，yi相互独立的等精度，列出抛物的差方程。

7.2.24某一平差列有以下条件方程:

V1-V2+V3+5=0,

V3-V4-V5-2=0,

V5-V6-V7+3=0,

V1+V4+V7+4=0,

将其改写成差方程。

7.2.25某一平差列有以下差方程:

V1=-X1+3，

V1=-X2-1，

V1=-X1+2，

V1=-X2+1，

'.

.

V1=-X1+X2-5，

试将其改写成条件方程。

§7-3精度评定

7.3.26对控制网进行间接平差，可否在观侧前依据布设的网形和制定的观

测方案来

估量网中待定点的精度，为何?

7.3.27在间谈平差中，计算VTPV有哪几种门路?

简述其推导过程。

7.3.28为何要求参数函数的协因数?

怎样求？

7.3.29已知某平差问题的偏差方程为

V1=-,

V2=-,

V3=-1,

V4=-,

V5=3,

观察值的权阵为：

2

2

P3，

2

4

试求参数及协因数阵。

7.3.30已知某平差问题的偏差方程为:

V1=

+2,

V2=

+

3,

V3=

-1,

V4=

+6,

'.

.

V5=

+5,

观察值的权阵为单位阵，试依据偏差方程求单位权中偏差估值。

7.3.31如图7-13所示的水平网中，A,B为已知点P1~P3为待定点，观察高

差h1~

h5，相应的路线长度分别为4km,2km,2km,2km,4km，若已知平差后每千米观察高

差中偏差

的估值认=3mm.试P2点平差后高程的中偏差。

7.3.32对某水平网列出以下偏差方程x

1

0

0

1

1

0

V

0

1x?

6

1

21

8

0

1

0

2

已知QLL=I,试按间接平差法求:

（1）未知参数的协因数阵;

（2）未知数函数的权

7.3.33设由同精度独立观察值列出的偏差方程为

0

1

-

2

V

1

-1

x?

4

-1

1

1

41

21

1

0

-

3

试按间接平差法求。

7.3.34

在间接平差中，与、与V能否有关?

试证明之。

7.3.35

如图7.14所示的水平网中，A为已知水平点，B,C,D为待定高程点，

观察了6

段高差h1~h6,,线路长度S1=S2=S3=S4=1km,S5=S6=2km，假如在平差中舍去第6

'.

.

段线

路的高差h,，问平差后D点高程的权较平差时不舍去h6时所得的权减小了百分之几?

7.3.36如图7-15所示的水平网中，A，B为已知点，P1~P3为待定点，独立观察了8段

路线的高差h1~h8，路线长度S1=S2=S3=S4=S5=S6=S7=1km,S8=2km,试问平差后

哪一点高程精度最高，有关于精度最低的点的精度之比是多少?

7.3.37在图7-16所示的三角形中，A,B为已知点，C为待定点。

A,B点的已知坐标,C点的近似坐标及AC和BC边的近似边长列于图中（均以km为单位），试

按间接平坦法求C点坐标的权倒数和有关权倒数（设=2x105,参数以m为单

位）。

7.3.38某一平差问题按间接平差法求解，已列出法方程为

-2.4=0，

+3.2=0，

试计算函数的权。

7.3.39在三角网（如图7.17所示）中，A,B,C为已知点，D为待定点，观察

了6个角度

L1–L6,设D点坐标为参数，已列出其至已知点同的方向角偏差方

程:

=-4.22+1.04,

'.

.

=0.30

-5.96

=2.88

+2.28

试写出角BDC平差后的权函数式。

7.3.40有水平网如图7-18所示，A,B,C,D为已知点，P1、P2为未知点，观察高差h1-h5

，路线长度为S1=S2=S5=6km,S3=8km,S4=4km，若要求平差后网中最短处平差

后高程中偏差5mm，试估量该网每千米观察高差中偏差应为多少。

7.3.41在图7-19的大地四边形中，A,B为已知点，C,D为未知点，L1～L8

为角度观察

值，若设未知点的坐标为参数，试写出求CD边长平差值中偏差的权函数式。

§7-4水平网平差示例

7.4.42在水平网平差中，定权式为以km为单位，当令c=2时，

经平差计

算求得的单位权中偏差代表什么量的中偏差?

在

令c=1和c=2两种状况下，经平差分别求得的V,，

以及同样吗”

7.4.43在图7-20所示的水平网中，A,B为已知

点HA=10.210m,HB=12.283m,观察各点间的高差

'.

.

为:

h1=1.215m,h2=0.852m,h3=0.235m,h4=-2.311m,h5=0.150m,

h6=1.062m,

h7=1.931m,

h8=-2.166m

设观察值的权阵为单位阵（各路线长度同样），试按间接平差法求待定点

C,D,E最或

是高程及此中偏差。

7.4.44水平网（如图7-21所示）中，A,B为已知点，HA=5.530m,HB=8.220m,

观察高

差和各路线长度为:

h1

=1.157m,S

1=2km,

h2=I.532m,S2=2km,

h3

=-2.025m,S

3=2km,

4

4

=2km,

h=0.663m,S

h5

=0.498m,S5=4km,

试按间接平差法求

（1）

待定点C,D最或

是高

程;

（2）

平差后C,D间高差的协因数

及中

偏差

（3）在令c=2和c=4两种状况下，经平

差分别

求得的

能否同样?

为何?

'.

.

7.4.45有水平网如图7-22所示，A,B为已

知点，HA=21.400m，HB=23.810m，各路线观侧离

差为：

h

1=1.058m,h

2

=-0.912m,

h

3=0.446m,h

4

=-3,668m,

h

5

=1.250m,h=2.310mh

7

=-3.225m

6

设观察高差为等权独立观察值.试按间接平

差法求P1P2P3等候定点平差后的高程及中偏差。

7.4.46在图7-22所示的水平网中，加测了两条水平路线8,9（如图7-23所

示）,h8=

1.973m,h9=-1.354m，其他观察高差见题7.4.45。

设观侧高差的权为单位阵，

（1）增添了两条水平路线后，单位权中偏差能否有所变化？

（2）增添了两条水平路线后，待定点P1P2P3平差后高差的权较之未增添两条

水平路

线时有何变化？

§7-5间接平差特例—直接平差

7.5.47有附合水平路线（图7-24）,P为待定点，A,B为已

知点其高程为HAHB，观察

高差为h1，h2，相应的路线长度为S1km,S2km，试求P点平差后高程的权PX。

7.5.48在如图7-25所示的水平网中已知高程H=53m,H

B

=58.00m,测

A

得高差（设

'.

.

每条线路长度相等）

h1=2.95m

h2=2.97m

h3=2.08m

h4=2.06m

试求:

（I）P点高程的平差值;

（2）P点平差后高程的权倒数。

7.5.49在如图7-26所示的水平网中，A,B,C为已知点，P为待定高程点，已知HA=2I.910m,HB=22.870m,HC=26.890m，观察高差及相应的路线长度为:

h

1

=3.552mh2=2.605m,h3=1.425m,

S

1

=2km,S2=6km,S3=3km,

试求;

（1）P

点的最或是高程;

（2）P

点平差后高程的权（当c=1时）

7.5.50按不一样的测回数观察某角，其结果以下:

观察值测回数

78o18′05"5

095

088

147

156

103

设以5测回为单位权观察试求

（1）该角的最或是值及此中偏差

（2）一测回的中偏差

§7-6三角网坐标平差

7.6.51在图7-27所示的测角网中，A.B,C为已知点，P点为待定点。

已知

'.

.

点坐标和P

点的近似坐标为:

XA=4728.008m,YA=227.880m;

XB=4604.993m,YB=362.996m;

XC=4750.191m,YC=503.152m;

=4881.27m,=346.86m。

角度同精度观察值:

L1=94o

29'32",L

2=

44o20'36.3",L3=47o19'43.

3",L,=85

o59'51.6",

设P点的坐标平差值为未知参

数,，试按间接平差

法，

（1）列出偏差方程及法方程;

（2）计算P点坐标平差值及协因数阵7.6.52在三角形ABC中（如图

7-28所示）

A,B为已知点，C点为待定点，已知点坐标为:

XA=1km,YA=1km,

XB=1km,YB=6km,

C点的近似坐标为:

5.3km,3.5k.,

近似边长：

5.9km，

5.0km

L1，L2，L3，是同精度角度观察值。

试按间接平差法求

C点坐标的权倒数及相

关权倒数。

7.6.53在图7-29

所示的三角网中A,B为已知点，P

1

，P为待定点，已知点

2

坐标为XA=867.156m,XA=252.080m,X8=638.267m,Y,=446.686m,待定点近似

'.

.

坐标为:

855.050m，491.050m，

634.240m，222.820m，

同精度角度观察值为:

L2=94o15'21",L2=43o22'42",L2=38o26'00",L2=102o35'52",L2=38o58'01",L2=42o21'43"

设P1，P2点坐标平差值为参数

x?

，试按坐标平差法求

41

（1）P1，P2点坐标平差值及点位中误

差;

近似坐标/m

X0/mY0/m

777.416320.647

点

号844.971504.160

（2）观察值的平差值

7.6.54

在图7-30

所示的测角网中，A,B,C为已知点，

P1，P2为待定点，L1～

L10为角度观察值已，

点

坐标

知点坐标与待定点

近似坐标为

号

X/m

Y/m

A

883.2892

259.1385

B

640.2838

144.1899

编号

观察值（o′

C

612.0508

463.8277

1

552813.2

2

974153.9

3

930206.0

4

440351.6

5

504244.3

'.

.

6595757.2

7691922.1

8995638.2

9290551.3

10505729.

同精度角度观侧值为

试按坐标平差法求

（1）偏差方程及法方程;

（2）待定点最或是坐标及点位中偏差;

（3）观察值更正数及平差值。

7.6.55有三角网如图7-31所示，已知BH边的方向角为=284o57'29.

5",A,B为

已知点，其坐标为;

XA=97689.562m

YA=31970.853m

XB=102344.255m,

YB=34194.167m,

C,D,E点为待定点、观察

角值为

角号

观察值

角号

观察值

角号

观察值

1

60o

05′

4

66o40′7

65o

23′

11.4"

43.9"

03.9"

2

56o

30′

5

49o21′8

60o

34′

'.

.

12.5"49.8"45.2"

363o24′663o57′954o02′

37.6"27.7"11.8"

1054o14′

40.2"

试求:

（1）待定点坐标平差值:

（2）CE边的相对中偏差。

§7-7测边网坐标平差

7.7.56在图7-32所示的直角三角形ABC中，边长观察值L1=278.61m,

L2=

431.52m,L1=329.56m,0L=I,若选AB及AC距离为未知参数，。

并