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误差理论与测量平差
国土信息与测绘工程系教案（首页）
班级：
课程：
误差理论与测量平差授课日期：
年月日第周
A.提出问题，导入新课
观测必然有误差，衡量观测数据精度的指标有：
方差和协方差、平均误差、
或然误差、相对误差、限差等概念外，还有权、协因素（权倒数）
本次课程的内容：
权与定权的常用方法、协因素传播定律。
B.授课章节名称：
§3.4权与定权的常用方法，§3.5协因素传播定律
教学要点：
1、权和协因素的基本概念
2、协因素和协因素阵传播定律
重点：
1、权、确定权的常用方法
2、单位权方差
难点：
1、权和方差的关系、单位权方差的作用
2、权阵、方差阵、协因素阵的关系
C.教学过程设计
权的概念
单位权方差和单位权中误差
确定权常用的方法
协因素和协因素阵的基本概念
协因素和协因素阵的传播定律
一些需要注意的问题
课堂习题
作业题布置
第六讲
同学们，我们上一节课学习了误差传播定律在大地测量具体问题中的一些应用，例如：
菲列罗公式、算术中数的中误差、水准测量高差的中误差、三角高程测量的中误差、若干独立误差联合影响的中误差、限差的确定、交会点的精度等。
本次课将学习误差理论的另一个重要内容：
权、协因素和协因素传播定律。
§3.4权与定权的常用方法
一定的测量条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的方差。
在
实际测量中可通过各观测值方差之间的比例关系来表征精度，这就是权的概念。
一、权的定义
设有一系列观测值L（i=1,2,…，n），它们的方差是g2（i=1,2,…,n），如果选定任意常
2
数二°,则观测值Li的权定义为：
PiOr，（i=1,2,…,n）
ai
根据权的定义，可知各观测值权之间的比例关系是:
Pl：
P2：
可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，这表明方差越小其权约大，或者说精度越高其权越大。
因此，权可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。
2
就普遍情况而言，权定义中的方差G，可以是同一个量的不同次观测的精度，也可以是不同量的观测值的精度。
就是说，用权来比较各观测值之间的精度高低，不限于是对同一
个量的观测值，同样也适用于对不同量的观测值。
22
1、选定了一个二0值，即有一组对应的权。
或者说，有一组权，比有一个对应的匚0值。
2、一组观测值的权，其大小与c2有关，但权之间的比例关系与Co无关。
2
3、在同一个问题中只能选定一个二o值。
二、单位权方差（中误差）
22
从权的定义可以看出，匚0只是起到一个比例常数的作用；二0不同，各个观测值的权
的数值不同，但观测值权之间的比例不变。
二1一旦选定，它还有具体的含义。
【例子】设有三个观测值L1、L2和L3，其中误差是「=「、二2=2”和匚3=3”。
求各个观测值的权。
解：
根据权的定义有:
2
Pi2，（i=1,2/,n）
5
因为比例常数
6=2”、二o
取二o取二o取匚o
Co是任意选定的，故可以得出许多不同的权。
例如我们选取
=3”、二o=6等，可得相应权如下
=1”时：
P1=1，
P2=14，P3=19
=2时:
5=4，
P2=1，P3=49
=3时：
P1=9，
P2=94，P3=1
=6“时:
Pr=36
，P2=9，P3=4
6，总是
取二o
但不论如何选取
当取二°=；丁1时，观测值l1的权是1，实际上就是以观测值L1的精度作为标准，其它的观测值精度都是和它进行比较。
当取二。
=：
;2=2“时，观测值L2的权是1，实际上就是以
观测值L2的精度作为标准，其它的观测值精度都是和它进行比较，等等。
因此，通常称二o
为单位权中误差，而二2称为单位权方差，把权等于1的观测值称为单位权观测值。
三、测量中确定权的基本方法
在实际测量工作中，往往是要根据事先给定的条件，先确定出各观测值的权，也就是
先确定它们精度的相对数值指标，然后通过平差计算，一方面求出各观测值的最可靠值，另
一方面求出它们精度的绝对数字指标。
下面根据权的定义和测量中经常遇到的几种情况，导
出其实用的定权公式。
（1）算术中数的权
设对某个物理量等精度地观测了n次，即Li（i=1,2/,n），若每一次观测的精度是二，
权为p。
求算术中数的权？
解：
由于算术中数是
1
L（LiL^Ln）
n
其方差是
2
根据权的定义有
2
^0---
P2，Pl二r2、二nr二np
二二匚（匚n）匚
所以算术中数的权是等精度观测值的权的n倍。
（2）水准测量的权
水准测量中，设水准路线长为S的高差的权是p，中误差是匚；并设水准路线长为So
的高差的权是1,单位权中误差是二0。
当单位距离水准测量所得高差的中误差均为K时，
有
-■KS，二0=K、S0
这样可得路线长为S的高差的权是
所以水准测量中高差的权与路线长成反比。
（3）三角高程测量的权
这样可得距离为S时三角高程测量高差的权是
S2
所以三角高程测量高差的权与距离的平方成反比。
§3.5协因素（权倒数）和协因素传播定律
权是一种比较观测值之间精度高低的指标，当然，也可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。
因此，同方差传播定律一样，也存在根据观测值的权来求观测值函数权的问题。
一、协因素与协因素阵
2
Dll=；「oQll
同时又称
（i
i
i
'qii
qi2…
qin'
Pi
Pi2
Pin
q21
q22…
q2n
i
i…
i
・■・
■・・■・・
…
P2i
P2
P2n
qn2…
qnn」
i
i…
i
Pni
Pn2
Pn
是观测值向量L=（L|L2…Ln）T的权阵。
Ln）的权和相关权组成
的矩阵，即:
Pl
Pi2
P2i
P2
.Pni
Pn2
Pin
P2n
Pn」
J2°i
0
・.・・
0、
'Qii
0
■.■・
0、
Dll=
0
环
・・・
0
2
0
q22
…
0
…
・・・
…
—°0
…・
…
<0
0
-・・
2s丿
<0
0
（
Qnn丿
f
qii
0
…
0'
a
iPi
0
0'
A.
0
q22
…
0
0
仏
0
Pll=Qll=
・・・
…
■■•
—
…
・・・
-・・
<0
0
…
qnnJ
I0
0
iPn」
但是当Fj=o时，即观测值（LiL2
Ln）互不相关时，有
0
<0
P2
0
0
0
Pn」
、协因素传播定律
由协因素和协因素阵的定义可知，协因素阵和协方差阵的关系只是相差一个比例常数；而且观测向量协因素阵的对角线元素是相应的权倒数。
因此，有了协因素和协因素阵的概念,
根据方差传播定律，可以方便地得到由观测向量的协因素阵求其函数的协因素阵的计算公式，从而得到了函数的权。
YrFnX/F0，ZiPXiK
假定观测值X的协方差阵是DXX，按照方差传播定律有
n5in迩
DYY
r>r
二rFn
Dxx
n:
：
n
F：
Dzz
t〉.n
Dxx
n:
：
n
nt
r:
：
t
二rFn
Dxx
n:
：
t
由于协因素阵和协方差阵的关系是D=；「2Q，所以有
°厂影算鳥，QZZ总Qxx
QYZ=r先
n：
.t
这就是线性函数的协因素（或协因素阵）传播定律，也称之为权逆阵传播定律。
在形式上与协方差阵传播定律相同，所以将协方差阵传播定律和协因素阵传播定律合称为广义传播定律。
如果Y和Z的各个分量是X的非线性函数，可先求出Y和Z的全微分，即r>1tXn>1r>1t>1
dY二FdX，dZ二KdX
则可得到Y和Z的协因素阵和互协因素阵Qyy，Qzz和Qyz。
r1t1rrttrt
【例1】设有独立观测值L,假定各Li的权是Pi。
设有函数Z=f（L1,L2,…丄n），求函数n1
Z的权。
解：
假定独立观测值L的协方差阵是
U0…
0
方11
0…
0、
1P1
0…
0、
Dll=
0环…
0
2
0
q22
0
2
0
1/P2…
0
………
■一
"0
…
……
・・・
=矶
・■・
・・・
0…
1°
0…
qnnJ
1°
0…
1/Pn」
所以观测值的协因素阵是
001Pn
对函数z=f（Li，L2,…，Ln）进行全微分有
f-f-f
dzdL1dL2dLn二KdL
无cL2cLn
Qzz二KQllKT二
4
；：
f
；:
l2
1pi
f、0eLn
0
（cf
00
1P20
01Pn
丿衍
3Ln丿
展开后写成纯量的形式有
丄二f2丄.丄2丄….丄2丄
Pz:
LPl儿2P2：
'LnPn
这就是权倒数传播定律。
1
解：
X（L「L2•…Ln）
n
根据权倒数传播定律有
所以
PX二np
即算术中数的权是观测值权的n倍。
【例3】已知独立观测值Li的权是Pi（i=1,2，…，n）。
求加权平均值的权。
解：
X二占（PiLiP2L2P丄n）
[P]
根据权倒数传播定律有
所以
Px二［p］
即加权平均值的权是所有观测值权的和。
【例4】已知观测值向量Xi和X2的协因素阵是Qx1x1、Qx2x2和互协因素阵是Qx1x2，设有
函数向量Y和Z=KX2。
试求丫和Z的互协因素阵。
解：
令观测向量X为
根据协因素传播定律有
=（F0）Qxx
=FQx1x2KT
=（F
J
0）
Qx1x1
Qx1x20
QX2X2八KT
T-■
V=QllAK
AQllATK=0
W=AL+A0
其中AQllat是对称可逆阵。
求k和V的协因素阵和互协因素阵。
解：
首先求出函数向量W的协因素阵
Qww=AQllA
再把K和V表示为W的函数，即
K一（AQLLAT）畅,V=-QllAT（AQllAT）」W
这样有
Qkk=（AQllAT）JQww（AQllAT）J=（AQllAT）J
Qvv=QllAT（AQllAt）」Qww（AQllAt）」AQll=QllAT（AQllAt）-1AQll
Qkv=-（AQllAT）二Qww〔-（AQllAT）」AQlJ二（AQllAT）」AQll
习题4
〔1〕设三角形三个内角的中误差是''二A=2、匚b=4、二c=8，取二A为单位权中
误差，试求各角的权。
一3的精度测量了9次，其平均值的权为
差。
〔3〕三角形中有两个角利用同一经纬仪测量了2回，每一测回的中误差是_5”；若第三个
角利用另一台经纬仪测量，每测回的中误差是_10_。
问第三角应当测量几次才能与第一和
第二角的权相等。
〔4〕水准路线长450米，其高差之权是4,若使得高差的权为1,路线长应当为多少？
〔5〕三角高程测量中，已知8公里高差的权是1，则4公里高差的权是多少？
〔6〕三角形中，A角测了3次，B角测了2次，若每一测回的权是1。
求C角的权。
111111
〔7〕已知L1、L2、L3的权分别是、一、，求函数zL1L2L34的权。
16425425
〔8〕设x、y的权均为p，求函数z=xy的权
〔9〕已知z=x•y，x=u2，y=2u，u的权为pu，求x、y、z的权和Pxy。
广2
-1
-1）
〔10〕已知观测向量L—Ll2l3f的协方差阵是DLL-
-1
2
0，若取单位权
-1
0
3
J
、、,21
方差为0—1。
试求Qll，PLL，pL1，PL2，Pl3以及
1
。
Pl.
Pl2
L3
〔11〕已知平面点坐标x、y的中误差是_4.0cm、一3.0cm。
2.T
1）若已知平面点坐标x、y的协方差是bxy=9.0cm，试写出向量Z=（xy）的协方差阵和平面点坐标x、y的相关系数\。
2）
3）若已知平面点坐标x、y的相关系数是'xy一-0.5，试写出Z=x丫丁的协方差阵。
4）
5）
2_2
若取匚0=9cm，试写出
yy的权阵和协因素阵。
'2「
‘21
z2-T
|L,Y=
!
X，Qll=
J1丿
J1丿LL
<_12J
〔12〕已知X二
1）和2）中的Z=[x
PX1和PX2
。
试求Qxx、QyY、QXL
、Qlx、
Qyl、Qly、Qxy以及
〔13丨已知PLL=
—2
1-2
2-0
=8。
求Pl1、
PL2、
QLL、DLL
升级会员 