全等三角形培优含答案教程文件.docx
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全等三角形培优含答案教程文件
全等三角形培优(含答案)
三角形培优练习题
1已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
2已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
3已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
4已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
A
5已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
6如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
7已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
8.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB9已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
10.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
11如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
12如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
13已知:
如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F。
求证:
BE=CD.
14在△ABC中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,
求证:
①
≌
;②
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
15如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
16.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
17.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
全等三角形证明经典(答案)
1.延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE即:
10-2<2AD<10+24又AD是整数,则AD=5
2证明:
连接BF和EF。
因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC=∠AED。
所以∠ABE=∠AEB。
所以AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
3证明:
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2
又∵CD=DE
∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)
∴EG=AC
∵EF//AB
∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE
∴EF=EG
∴EF=AC
4证明:
在AC上截取AE=AB,连接ED
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB,AD=AD
∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)
∴∠AED=∠B,DE=DB
∵AC=AB+BD
AC=AE+CE
∴CE=DE
∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C
∴∠B=2∠C
5证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
因为CE⊥AB
所以∠CEB=∠CEF=90°
因为EB=EF,CE=CE,
所以△CEB≌△CEF
所以∠B=∠CFE
因为∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
所以∠D=∠CFA
因为AC平分∠BAD
所以∠DAC=∠FAC
又因为AC=AC
所以△ADC≌△AFC(SAS)
所以AD=AF
所以AE=AF+FE=AD+BE
6证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:
∠A+∠D=180°;
又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
7证明:
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当ADBC时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
所以:
AE=DE
而AB=CD
所以:
BE=CE(等量加等量,或等量减等量)
所以:
△BEC是等腰三角形
所以:
角B=角C.
8作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)
因为PCP
D
A
C
B
9作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5
AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
10证明:
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°,
又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
11证明:
在AB上找点E,使AE=AC
∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ADE≌△ADC。
DE=CD,∠AED=∠C
∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
12证明:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
13证明:
因为AB=AC,
所以∠EBC=∠DCB
因为BD⊥AC,CE⊥AB
所以∠BEC=∠CDB
BC=CB(公共边)
则有三角形EBC全等于三角形DCB
所以BE=CD
14
(1)证明:
∵∠ACB=90°,
(2)∴∠ACD+∠BCE=90°,
(3)而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
(4)∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
(5)∴∠ACD=∠CBE.
(6)在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,
(7)∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),
(8)∴AD=CE,DC=BE,
(9)∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE;
15
(1)证明;因为AE垂直AB
(2)所以角EAB=角EAC+角CAB=90度
(3)因为AF垂直AC
(4)所以角CAF=角CAB+角BAF=90度
(5)所以角EAC=角BAF
(6)因为AE=ABAF=AC
(7)所以三角形EAC和三角形FAB全等
(8)所以EC=BF
(9)角ECA=角F
(10)延长FB与EC的延长线交于点G
(11)因为角ECA=角F(已证)
(12)所以角G=角CAF
(13)因为角CAF=90度
(14)所以EC垂直BF
16在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
17证明:
作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵AC=CB∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠BCD=BD
∴△CDG≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE