湖南省长沙市中考数学冲刺3.docx
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湖南省长沙市中考数学冲刺3
2021年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．πD．4
2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（ ）
A．×106B．×107C．×108D．×106
3．（3分）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6aC．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5
5．（3分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27°B．108°C．116°D．128°
7．（3分）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：
cm）分别是：
22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24
9．（3分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：
甲：
11；乙：
4；丙：
16；丁：
7；戊：
17．根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：
x2﹣2021x＝ ．
12．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 ．
13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为 ．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝，则BD的长为 ．
16．（3分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
．
18．（6分）先化简，再求值：
（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：
△ABC．
求作：
△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：
如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：
由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
∴△A'B'C′≌ ．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：
凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
21．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：
▱ABCD是矩形；
（2）求AD的长．
22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：
∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
24．（10分）我们不妨约定：
在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝
的图象上的一对“T点”，则r＝ ，s＝ ，t＝ （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？
如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：
y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？
若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
25．（10分）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．
2021年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．πD．4
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．
【解答】解：
∵﹣3＜﹣1＜π＜4，
∴最大的数是4，
故选：
D．
2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（ ）
A．×106B．×107C．×108D．×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：
10040000＝×107．
故选：
B．
3．（3分）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：
A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：
C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6aC．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：
A．a3•a2＝a5,故此选项符合题意；
B．2a+3a＝5a,故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6,故此选项不合题意；
D．（a2）3＝a6,故此选项不合题意；
故选：
A．
5．（3分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF的度数．
【解答】解：
∵AB∥CD，
∴∠CHG＝∠AGE＝100°，
∴∠DHF＝∠CHG＝100°．
故选：
A．
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27°B．108°C．116°D．128°
【分析】直接由圆周角定理求解即可．
【解答】解：
∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°，
故选：
B．
7．（3分）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【解答】解：
∵k＝2＞0，b＝1＞0，
∴直线经过一、二、三象限．
故选：
B．
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：
cm）分别是：
22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：
将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，
∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，
故选：
C．
9．（3分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：
列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，
∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为＝，
故选：
A．
10．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：
甲：
11；乙：
4；丙：
16；丁：
7；戊：
17．根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9
【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【解答】解：
由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：
11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：
4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：
16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；
由丁：
7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；
由戊：
17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．
∴各选项中，只有A是正确的，
故选：
A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：
x2﹣2021x＝ x（x﹣2021） ．
【分析】直接提取公因式x,即可分解因式．
【解答】解：
x2﹣2021x＝x（x﹣2021）．
故答案为：
x（x﹣2021）．
12．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 45° ．
【分析】利用垂径定理可得AC＝BC＝
＝2,由OC＝2可得△AOC为等腰直角三角形，易得结果．
【解答】解：
∵OC⊥AB,
∴AC＝BC＝
＝2,
∵OC＝2,
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
故答案为：
45°．
13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为 12 ．
【分析】根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE＝AB，AB＝BC，即可求出BC．
【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AE＝EB＝，
∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12，
故答案为：
12．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 ﹣1 ．
【分析】把x＝3代入方程得出9﹣3k﹣12＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：
把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：
9﹣3k﹣12＝0，
解得：
k＝﹣1，
故答案为：
﹣1．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝，则BD的长为 ．
【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣＝．
【解答】解：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣＝．
故答案为：
16．（3分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 50 ．
【分析】利用共抽取作品数＝A等级数÷对应的百分比求解，即可求出一共抽取的作品份数，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．
【解答】解：
∵30÷25%＝120（份），
∴一共抽取了120份作品，
∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：
120﹣30﹣28﹣12＝50（份），
故答案为：
50．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：
原式＝﹣2×+1+
＝﹣+1+4
＝5．
18．（6分）先化简，再求值：
（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
【分析】直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：
原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2
＝﹣2x,
当x＝﹣时，
原式＝﹣2×（﹣）
＝1．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：
△ABC．
求作：
△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：
如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：
由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
∴△A'B'C′≌ △ABC（SSS） ．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ④ ．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
【分析】
（1）根据SSS证明三角形全等即可．
（2）根据SSS证明三角形全等．
【解答】解：
（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故答案为：
△ABC（SSS）．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS,
故答案为：
④．
20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：
凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【分析】
（1）用发放景点吉祥物的数量除以游客的总数量即可；
（2）设袋子中白球的数量为x，用袋子中红球的数量除以球的总个数等于列出方程求解即可．
【解答】解：
（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为
＝；
（2）设袋子中白球的数量为x，
则＝，
解得x＝36，
经检验x＝36是分式方程的解且符合实际，
所以估计纸箱中白球的数量接近36．
21．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：
▱ABCD是矩形；
（2）求AD的长．
【分析】
（1）由等边三角形的性质得OA＝OB，再由平行四边形的性质得OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，则BD＝AC，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠BAD＝90°，则∠ADB＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】
（1）证明：
∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，
∴BD＝AC，
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：
∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝4．
22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【分析】
（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：
（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，
依题意得：
4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，
解得：
x＝22．
答：
该参赛同学一共答对了22道题．
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，
依题意得：
4y﹣（25﹣y）≥90，
解得：
y≥23．
答：
参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：
∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
【分析】
（1）通过SAS求证△ADB≌△ADC即可证明∠B＝∠ACB；
（2）利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．
【解答】解：
（1）证明：
在△ADB和△ADC中：
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD＝
＝
＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝
＝
＝4，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，
S△ABE＝
＝
＝22．
24．（10分）我们不妨约定：
在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B
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