CPK资料.docx
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CPK资料
品质统计过程中的意义
CPK：
ComplexProcessCapabilityindex的缩写，是现代企业用于表示制程能力的指标。
制程能力强才可能生产出质量、可靠性高的产品。
制程能力指标是一种表示制程水平高低的方法，其实质作用是反映制程合格率的高低。
制程能力的研究在於确认这些特性符合规格的程度，以保证制程成品的良率在要求的水准之上，可作为制程持续改善的依据。
而规格依上下限有分成单边规格及双边规格。
只有规格上限和规格中心或只有规格下限和规格中心的规格称为单边规格。
有规格上下限与中心值，而上下限与中心值对称的规格称为双边规格。
当我们的产品通过了GageR&R的测试之后，我们即可开始Cpk值的测试。
CPK值越大表示品质越佳。
Cpk——过程能力指数
CPK=Min（CPKu,CPKl）
USL（Upperspecificationlimit）:
规格上限。
LSL（Lowspecificationlimit）:
规格下限。
ˉx=（x1+x2+...+xn）/n:
平均值。
T=USL-LSL:
规格公差。
U=（USL+LSL）/2：
规格中心。
CPKu=|USL-ˉx|/3σ
CPKl=|ˉx-LSL|/3σ
CPK的意义
制程水平的量化反映;（用一个数值来表达制程的水平）制程能力指数：
是一种表示制程水平高低的方便方法，其实质作用是反映制程合格率的高低。
CPK的计算公式
CPK=CP*（|1-CA|）
Ca（CapabilityofAccuracy）：
制程准确度;
Cp（CapabilityofPrecision）:
制程精密度;
注意:
计算Cpk时，取样数据至少应有20组数据，而且数据要具有一定代表性。
CPK计算实例
某零件质量要求为20±0.15，抽样100件，测得：
=20.05mm；s=0.05mm，求过程能力指数。
根据零件的规格要求，Tu=20.15，Tl=19.85
M=Tu+Tl/2=（20.15+19.85）/2=20.00
ε=|M-
|=0.05
CPK=CP*（|1-CA|）=T-2ε/6s=（0.3-2*0.05）/（6*0.05）=（0.3-0.1）/（6*0.05）≈0.67[1]
等级Cpk值处理原则
A+≥1.67无缺点考虑降低成本
A1.33≤Cpk<1.67状态良好维持现状
B1.0≤Cpk<1.33改进为A级
C0.67≤Cpk<1.0制程不良较多,必须提升其能力
DCpk<0.67制程能力较差，考虑整改设计制程[2]
Cpk应用讲议
1.Cpk的中文定义为：
制程能力指数，是某个工程或制程水准的量化反应，也是工程评估的一类指标。
2.同Cpk息息相关的两个参数：
Ca,Cp.
Ca:
制程准确度。
在衡量「实际平均值」与「规格中心值」之一致性。
对於单边规格，因不存在规格中心，因此不存在Ca；对於双边规格，Ca=（ˉx-U）/（T/2）。
Cp:
制程精密度。
在衡量「规格公差宽度」与「制程变异宽度」之比例。
对於单边规格，
只有上限和中心值，Cpu=|USL-ˉx|/3σ。
只有下限和中心值，Cpl=|ˉx-LSL|/3σ
对於双边规格：
Cp=（USL-LSL）/6σ
3.Cpk,Ca,Cp三者的关系：
Cpk=Cp*（1-|Ca|），Cpk是Ca及Cp两者的中和反应，Ca反应的是位置关系（集中趋势），Cp反应的是散布关系（离散趋势）
4.当选择制程站别Cpk来作管控时，应以成本做考量的首要因素，还有是其品质特性对后制程的影响度。
5.计算取样数据至少应有20~25组数据，方具有一定代表性。
6.计算Cpk除收集取样数据外，还应知晓该品质特性的规格上下限（USL，LSL），才可顺利计算其值。
7.首先可用Excel的“STDEVP”函数（注：
还是应该是“STDEV”，可参考minitab计算出的数据。
）自动计算所取样数据的标准差（σ），再计算出规格公差（T），及规格中心值（U）.规格公差T=规格上限－规格下限；规格中心值U=（规格上限+规格下限）/2；
8.依据公式：
Ca=（ˉx-U）/（T/2），计算出制程准确度：
Ca值（ˉx为所有取样数据的平均值）
Ca的评级标准及处理：
等级
Ca值
处理原则
A
|Ca|≤12.5%
作业员遵守作业标准操作并达到要求，需继续保持。
B
12.5%≤|Ca|≤25%
有必要将其改进为A级。
C
25%≤|Ca|≤50%
作业员可能看错规格或不按作业标准操作。
须检讨规格及作业标准。
D
50%≤|Ca|
应采取紧急措施全面检讨所有可能影响之因素，必要时得停止生产。
9.依据公式：
Cp=T/6σ，计算出制程精密度：
Cp值
Cp的评级标准及处理：
等级
Cp值
处理原则
A+
Cp≥1.67
无缺点。
可考虑降低成本。
A
1.33≤Cp≤1.67
状态良好维持现状。
B
1.00≤Cp≤1.33
改进为A级。
C
0.67≤Cp≤1.00
制程不良较多，须提升能力。
D
Cp≤0.67
制程能力歹差，应考虑重新整改设计程程。
10.依据公式：
Cpk=Cp（1-|Ca|），计算出制程能力指数：
Cpk值
11.Cpk的评级标准：
（可据此标准对计算出之制程能力指数做相应对策）
等级
Cpk值
处理原则
A++
Cpk≥2.0
特优，可考虑成本的降低
A+
2.0>Cpk≥1.67
优，应当保持之
A
1.67>Cpk≥1.33
良，能力良好，状态稳定，但应尽力提升为A+级
B
1.33>Cpk≥1.0
一般，制程因素稍有变异即有产生不良的危险，应利用各种资源及方法将其提升为A级
C
1.0>Cpk≥0.67
差，制程不良较多，必须提升其能力
D
0.67>Cpk
不可接受，其能力太差，应考虑重新整改设计制程。
12.Cpk和制程良率换算。
Cpk
每一百万件之不良
合格率
0.33
317310
68.3
0.67
45500
95.5
1
2700
99.73
1.33
63
99.9937
1.67
0.57
99.99995
2
0.002
100
CPK与PPK都是表示制程能力的参数，PPK中添加了对过程特殊原因的关注，是描述过程性能的指标。
现代计算中多采用Minitab软件来实现，方便快
正态分布
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正态分布（Normaldistribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N（μ，σ^2）。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ=0,σ=1的正态分布。
目录
1简介
2特征
3类型
4分布曲线
4.1正态分布曲线性质
4.2标准正态曲线
5历史发展
6研究过程
7曲线应用
7.1频数分布
7.2考试成绩及学生综合素质研究
7.3医学参考值
7.4统计的理论基础
1简介
定义：
若随机变量
[span]服[span]从一个位置参数为
[span][span]、尺度参数为
[span]的概率分布，[span]且其概率密度函数[span]为
则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作
，读作
服从
，或
服从正态分布。
当
时，正态分布就成为标准正态分布
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
正态分布
正态分布一种概率分布，也称“常态分布”。
正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ，σ^2）。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ=0，σ^2=1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
[1]
正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。
2特征
正态分布公式
服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
集中性：
正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：
正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：
正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ2）：
均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
u变换：
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
面积分布
1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。
不同范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
⒉几个重要的面积比例轴与正态曲线之间的面积恒等于1。
正态曲线下，横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为68.268949%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.449974%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）内的面积为99.730020%。
[2]
3类型
一般正态分布与标准正态分布的转化
由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件。
一般正态分布与标准正态分布的区别与联系
正态分布也叫常态分布，是连续随机变量概率分布的一种，自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布。
标准正态分布是正态分布的一种，具有正态分布的所有特征。
所有正态分布都可以通过Z分数公式转换成标准正态分布。
两者特点比较：
⑴正态分布的形式是对称的，对称轴是经过平均数点的垂线。
⑵中央点最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，再向外弯。
⑶正态曲线下的面积为1。
正态分布是一族分布，它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。
标准正态分布是正态分布的一种，其平均数和标准差都是固定的，平均数为0，标准差为1。
⑷正态分布曲线下标准差与概率面积有固定数量关系。
所有正态分布都可以通过Z分数公式转换成标准正态分布。
主要特征
1．集中性：
正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2．对称性：
正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
3．均匀变动性：
正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
4．正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）。
5．u变换：
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
3σ原则
4分布曲线
正态分布曲线性质
1.当x<；μ时，曲线上升；当x>；μ时，曲线下降。
当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。
2.正态曲线关于直线x=μ对称。
3.σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。
4.在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积为1。
3σ原则：
P（μ-σ标准正态曲线
标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间（a，b）内取值概率。
“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：
一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的μ和σ^2为0和1，通常用ξ（或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为Z～N（0，1）。
2．标准化变换：
此变换有特性：
若原分布服从正态分布，则Z=（x-μ）/σ～N（0,1）就服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换。
⒊标准正态分布表：
标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。
5历史发展
正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：
在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。
其实，他提出的形式有相当大的局限性：
海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。
拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。
因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：
由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。
但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。
拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。
6研究过程
正态分布的概念及特征：
一、正态分布的概念
由一般分布的频数表资料所绘制的直方图，图⑴可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。
我们
正态分布研究图1
设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图⑶。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normaldistribution）。
由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布（standardnormaldistribution），亦称u分布。
u被称为标准正态变量或标准正态离差（standardnormaldeviate）。
正态分布研究图2
正态分布研究图3
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。
正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。
对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：
①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式u=（X-μ）/σ求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数X1和标准差S分别代替μ和σ，按u=（X-X1）/S式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴
正态分布面积图1
上的总面积为100%或1。
图2正态曲线与标准正态曲线的面积分布
正态分布的应用某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。
正态分布面积图2
7曲线应用
综述
⒈估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
⒉制定参考值范围
⑴正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
⑵百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
⒊质量控制：
为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。
这样做的依据是：
正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
⒋正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
频数分布
例1.10某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。
本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（3.1）用样本均数X和标准差S分别代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。
查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。
该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。
其它计算结果见表3。
表3100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
分布
x+-s
身高范围（cm）
实际分布
人数
实际分布
百分数（%）
理论分布（%）
X+-1s
168.69～176.71
67
67.00
68.27
X+-1.96s
164.84～180.56
95
95.00
95.00
X+-2.58s
162.35～183.05
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