傅里叶变换的意义及基础.docx

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傅里叶变换的意义及基础

傅里叶变换的意义及基础

傅里叶变换的意义

傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。

理解的关键是:

一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。

傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。

这都是一个信号的不同表示形式。

它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。

对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。

幅度是表示这个频率分量的大小。

那么相位呢，它又有什么物理意义呢,频域的相位与时域的相位有关系吗,信号前一段的相位

（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系,

傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。

也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

想一想这个问题，给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢。

答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。

所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。

傅立叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。

傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。

如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。

傅里叶变换后的频谱图

信号X（t）=2sin（3t）.它的频谱只有一个点:

（3,2）.也就是说，这个信号它只包含了一个正弦函数，角频率为3，幅值为2。

傅立叶定理指出:

任何一个周期函数都可以分解为很多正弦函数的和。

进而我们可以把一个

非周期函数看作是一个周期为无限大的周期函数。

傅立叶定理有着非常广泛的应用。

所以傅里叶变换后得到的频谱图会有很多点构成，每个点代表着该正弦函数的频率及振幅。

傅里叶变换，其物理意义是什么,

1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么,

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。

要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。

傅立叶原理表明:

任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。

该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。

最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。

它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。

"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:

1.傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2.傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3.正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算

卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;,.著名的卷积定理指出:

傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT））。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2、图像傅立叶变换的物理意义

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

如:

大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。

从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。

从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。

换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数

傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f（x,y）来表示。

由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。

为什么要提梯度,因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。

傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相

反）。

一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。

这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。

对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。

将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰另外我还想说明以下几点:

1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明:

若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近（图中阴影区）。

若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。

这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。

同时也表明一股图像能量集中低频区域。

2、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上

前言

第一部分、DFT

第一章、傅立叶变换的由来

第二章、实数形式离散傅立叶变换（RealDFT）

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下

第三章、复数

第四章、复数形式离散傅立叶变换

前言:

―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong，

那么，到底什么是傅里叶变换算法列?

傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?

傅里叶变换（Fouriertransform）是一种线性的积分变换。

因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。

这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?

就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂:

以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）

连续傅里叶变换

一般情况下，若―傅里叶变换‖一词不加任何限定语，则指的是―连续傅里叶变换‖。

连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F（ω）表示为时间域的函数f（t）的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换（inverseFouriertransform）为:

即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F（ω）的积分。

一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F（ω）为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transformpair）。

除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。

在通信或是信号处理方面，常以

来代换，而形成新的变换对:

或者是因系数重分配而得到新的变换对:

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（FractionalFourierTransform）。

分数傅里叶变换（fractionalFouriertransform,FRFT）指的就是傅里叶变换（Fouriertransform,FT）的广义化。

分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换a次，其中a不一定要为整数;而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域（timedomain）与频域（frequencydomain）之间的分数域（fractionaldomain）。

当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换（cosinetransform）或正弦变换（sinetransform）.

另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F（?

ω）=F*（ω）成立.傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数（Fourierseries）的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。

对于周期函数，其傅里叶级数是存在的:

其中Fn为复幅度。

对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成:

其中an和bn是实频率分量的幅度。

离散时域傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。

DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。

DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。

即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

这种情况下，使用离散傅里叶变换（DFT），将函数xn表示为下面的求和形式:

其中Xk是傅里叶幅度。

直接使用这个公式计算的计算复杂度为O（n*n），而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为O（n*lgn）。

（后面会具体阐述FFT是如何将复杂度降为O（n*lgn）的。

）计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

下面，比较下上述傅立叶变换的4种变体，

如上，容易发现:

函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。

反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。

也就是说，时间上的离散性对应着频率上的周期性。

同时，注意，离散时间傅里叶变换，时间离散，频率不离散，它在频域依然是连续的。

如果，读到此，你不甚明白，大没关系，不必纠结于以上4种变体，继续往下看，你自会豁然开朗。

（有什么问题，也恳请提出，或者批评指正）

ok，本文，接下来，由傅里叶变换入手，后重点阐述离散傅里叶变换、快速傅里叶算法，到最后彻底实现FFT算法，全篇力求通俗易懂、阅读顺畅，教你从头到尾彻底理解傅里叶变换算法。

由于傅里叶变换，也称傅立叶变换，下文所称为傅立叶变换，同一个变换，不同叫法，读者不必感到奇怪。

第一部分、DFT

第一章、傅立叶变换的由来

要理解傅立叶变换，先得知道傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

一、傅立叶变换的提出

傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是JeanBaptisteJosephFourier（1768-1830）,Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断:

任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这个论文拉格朗日坚决反对此论文的发表，而后在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。

直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

谁是对的呢,拉格朗日是对的:

正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。

但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢,如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:

正弦曲线保真度。

一个正余弦曲线信号输入后，输出的仍是正余弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。

且只有正余弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

二、傅立叶变换分类

根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别:

1、非周期性连续信号傅立叶变换（FourierTransform）

2、周期性连续信号傅立叶级数（FourierSeries）3、非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（DiscreteTimeFourierTransform）4、周期性离散信号离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform）

下图是四种原信号图例（从上到下，依次是FT，FS，DTFT，DFT）:

这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢,没有。

因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。

面对这种困难，方法是:

把长度有限的信号表示成长度无限的信号。

如，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离散信号，我们可以用到离散时域傅立叶变换（DTFT）的方法。

也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法（DFT）进行变换。

本章我们要讲的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。

但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。

所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。

这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。

每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换（realDFT），再去理解复数傅立叶变换就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶变换放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。

还有，这里我们所要说的变换（transform）虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换:

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。

三、一个关于实数离散傅立叶变换（RealDFT）的例子

先来看一个变换实例，下图是一个原始信号图像:

这个信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢,结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），如下图:

9个余弦信号:

9个正弦信号:

把以上所有信号相加即可得到原始信号，至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，我们可以看看下面这个示例图:

上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，

从左向右，-->，表示正向转换（ForwardDFT），从右向左，<--，表示逆向转换（InverseDFT），用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组,用大写X[]表示每种频率的副度值数组（即时间x-->频率X）,

因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，

X[]数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值:

ReX[]，

另一种是表示正弦波的不同频率幅度值:

ImX[]，

Re是实数（Real）的意思，Im是虚数（Imagine）的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N，而不是N/2+1）。

如此，再回过头去，看上面的正余弦各9种频率的变化，相信，问题不大了。

第二章、实数形式离散傅立叶变换（RealDFT）

上一章，我们看到了一个实数形式离散傅立叶变换的例子，通过这个例子能够让我们先对傅立叶变换有一个较为形象的感性认识，现在就让我们来看看实数形式离散傅立叶变换的正向和

逆向是怎么进行变换的。

在此，我们先来看一下频率的多种表示方法。

一、频域中关于频率的四种表示方法

1、序号表示方法，根据时域中信号的样本数取0~N/2，用这种方法在程序中使用起来可以更直接地取得每种频率的幅度值，因为频率值跟数组的序号是一一对应的:

X[k]，取值范围是0~N/2;

2、分数表示方法，根据时域中信号的样本数的比例值取0~0.5:

X[?

]，?

=k/N，取值范围是0~1/2;

3、用弧度值来表示，把?

乘以一个2π得到一个弧度值，这种表示方法叫做自然频率（naturalfrequency）:

X[ω]，ω=2π?

=2πk/N，取值范围是0~π;

4、以赫兹（Hz）为单位来表示，这个一般是应用于一些特殊应用，如取样率为10kHz表示每秒有10,000个样本数:

取值范围是0到取样率的一半。

二、DFT基本函数

ck[i]=cos（2πki/N）

sk[i]=sin（2πki/N）

其中k表示每个正余弦波的频率，如为2表示在0到N长度中存在两个完整的周期，10即有10个周期，如下图:

上图中至于每个波的振幅（amplitude）值（ReX[k],ImX[k]）是怎么算出来的,这个是DFT的核心，也是最难理解的部分，我们先来看看如何把分解出来的正余弦波合成原始信号（InverseDFT）。

三、合成运算方法（RealInverseDFT）

DFT合成等式（合成原始时间信号，频率-->时间，逆向变换）:

如果有学过傅立叶级数，对这个等式就会有似曾相识的感觉，不错～这个等式跟傅立叶级数是非常相似的:

当然，差别是肯定是存在的，因为这两个等式是在两个不同条件下运用的，至于怎么证明DFT合成公式，这个我想需要非常强的高等数学理论知识了，这是研究数学的人的工作，对

于普通应用者就不需要如此的追根究底了，但是傅立叶级数是好理解的，我们起码可以从傅立叶级数公式中看出DFT合成公式的合理性。

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DFT合成等式中的ImX[k]和ReX[k]跟之前提到的ImX[k]和ReX[k]是不一样的，下面是转换方法（关于此公式的解释，见下文）:

但k等于0和N/2时,实数部分的计算要用下面的等式:

上面四个式中的N是时域中点的总数，k是从0到N/2的序号。

为什么要这样进行转换呢,这个可以从频谱密度（spectraldensity）得到理解，如下图就是个频谱图:

这是一个频谱图，横坐标表示频率大小，纵坐标表示振幅大小，原始信号长度为N（这里是32），经DFT转换后得到的17个频率的频谱，频谱密度表示每单位带宽中为多大的振幅，那么带宽是怎么计算出来的呢,看上图，除了头尾两个，其余点的所占的宽度是2/N，这个宽度便是每个点的带宽，头尾两个点的带宽是1/N,而ImX[k]和ReX[k]表示的是频谱密度，即每一个单位带宽的振幅大小，但表示2/N（或1/N）带宽的振幅大小，所以分别应当是ImX[k]和ReX[k]的2/N（或1/N）。

频谱密度就象物理中物质密度，原始信号中的每一个点就象是一个混合物，这个混合物是由不同密度的物质组成的，混合物中含有的每种物质的质量是一样的，除了最大和最小两个密度的物质外，这样我们只要把每种物质的密度加起来就可以得到该混合物的密度了，又该混合物的质量是单位质量，所以得到的密度值跟该混合物的质量值是一样的。

至于为什么虚数部分是负数，这是为了跟复数DFT保持一致，这个我们将在后面会知道这是数学计算上的需要（ImX[k]在计算时就已经加上了一个负号（稍后，