固定收益证券计算题.docx
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固定收益证券计算题
计算题
题型一:
计算普通债券的久期和凸性
久期的概念公式:
D
N
tWt
t1
其中,Wt是现金流时间的权重,是第t期现金流的现值占债券价格的比重。
且以上求出的久期是以期数为单位的,还要把它除以每年付息的次数,转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式:
D1y
(1y)
T(cy)
yc[(1
y)T1]y
其中,c表示每期票面利率,y表示每期到期收益率,T表示距到期日的期数。
凸性的计算公式:
C
1
(1y)2
N
(t2
t1
t)Wt
其中,y表示每期到期收益率;Wt是现金流时间的权重,是第t期现金流的现值占债券价格的比重。
且求出的凸性是以期数为单位的,需除以每年付息次数的平方,转换成以年为单位的凸性。
例一:
面值为100元、票面利率为8%的3年期债券,半年付息一次,下一次付息在半年后,如果到期收益率(折现率)为10%,计算它的久期和凸性。
每期现金流:
C5%
22
息票债券久期、凸性的计算
0.0330
0.1650
0.9900
0.8176
4.9056
34.3392
即,2.7175(年)
36.7694/(1.05)2=33.3509;
以年为单位的凸性:
C=33.3509/
(2)2=8.3377
利用凸性和久期的概念,计算当收益率变动1个基点(0.01%)时,该债券价格的波动
利用修正久期的意义:
P/P
D*y
D*2.7175
2.5881(年)
15%
当收益率上升一个基点,从10%提高到10.01%时,
P/P
2.5881
0.01%
0.0259%;
当收益率下降一个基点,从10%下降到9.99%时,
2
P/P
2.5881(
0.01%)
0.0259%。
凸性与价格波动的关系:
P/PD*
y1Cy2
当收益率上升一个基点,从10%提高到10.01%时,
P/P
2.5881
0.01%
18.3377
2
(0.01%)2
0.0259%;
2
当收益率下降一个基点,从10%下降到9.99%时,
P/P
2.5881(
0.01%)
18.3377
2
(0.01%)
0.0676%
又因为,债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感,所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。
题型二:
计算提前卖出的债券的总收益率
n
首先,利息+利息的利息=C
(1r1)
1
;r1为每期再投资利率;
r1
然后,有债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格;
其中,
N
投资期末的债券价格:
P
NC
(1r)t
F
(1r)N
C1(1
r
r2)
F
(1r)N;
t12222
N为投资期末距到期日的期数;r2为预期的投资期末的每期收益率。
例二:
投资者用905.53元购买一种面值为1000元的8年期债券,票面利率是12%,半年付息一次,下一次付息在半年后,再投资利率为8%。
如果债券持有到第6年(6年后卖出),且卖出后2年的到期收益率为10%,求该债券的总收益率。
解:
C1000
2
12%60
r
1
2
8%4%r
2
10%5%
2
6年内的利息+6年内利息的利息=60
(14%)121
4%
901.55元
第6年末的债券价格=60
1(1
5%)4
1000
4
1035.46元
5%(15%)
所以,
6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元
总收益=1937.01-905.53=1031.4元8
半年期总收益率=12
1937.011
905.53
6.54%
总收益率=(1+6.54%)2-1=13.51%
题型三:
或有免疫策略(求安全边际)
例三:
银行有100万存款,5年到期,最低回报率为8%;现有购买一个票面利率为8%,按年付息,3年到期的债券,且到期收益率为10%;求1年后的安全边际。
解:
银行可接受的终值最小值:
100×(1+8%)5=146.93万元;如果目前收益率稳定在10%:
触碰线:
146.93
100.36万元
(110%)4
1年后债券的价值=100×8%+
1
8
10%
108
(110%)2
=104.53万元;
安全边际:
104.53-100.36=4.17万元;
A
B触碰线
所以,采取免疫策略为卖掉债券,将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。
债券年收益率=8.88%
题型四:
求逆浮动利率债券的价格
例四(付息日卖出):
已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%,两种债券面值都为1万,3年到期。
1年后卖掉逆浮动利率债券,此时市场折现率(适当收益率)为8%,求逆浮动利率债券的价格。
解:
在确定逆浮动利率债券价格时,实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合,分别投资1万元在这两种债券上,则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。
又因为在每个利息支付日,浮动利率债券价格都等于其面值,所以逆浮动利率债券价格易求。
1年后,算票面利率为6%,面值为1万的债券价格
600
P
10600
9643.347元
P逆=2P-P浮=2×9643.347-10000=9286.69元4
题型五:
关于美国公司债券的各种计算(债券面值1000美元、半年付息一次)(YTM实为一种折现率)
例五:
现有一美国公司债券,息票利率为8%,30年到期,适当收益率为6%,求债券现在的价值?
解:
因为该债券面值为1000美元,每半年付息一次,所以:
6040
Pn
1000
60
=40
1(1
3%)60
1000
+
60
=1276.76元
n1(13%)
(13%)
3%(1
3%)
例六:
现有一美国公司债券,息票利率为8%,30年到期,假设现在的售价为676.77美元,求债券到期收益率?
解:
因为该债券面值为1000美元,每半年付息一次,所以:
6040
676.77n
1000
60=40
1(1
YTM)60
1000
60
n1(1YTM)
(1YTM)
YTM
(1YTM)
通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%,因此该债券的年到期收益率为6%×2=12%
例七:
美国债券市场上交易的一种零息债券,距到期日还有10年,到期价值为5000元,年适当贴现率是8%,计算该债券的价值。
解:
因为该债券半年付息一次,所以每期贴现率为8%/2=4%n=20
P=5000=2281.93元
(14%)20
例八:
一种美国公司债券,票面利率是10%,2008年4月1日到期。
每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。
如果投资者在2003年7月10日购买,该债券的适当贴现率是6%,则该债券的净价是多少?
全价是多少?
(采用360天计算)
解:
2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天,且利息支付期为半年,即180天。
那么n=81/180=0.45。
50
P(13%)0.45
50
(13%)1.45
......
50
(13%)8.45
1050
(13%)9.45
1189.79元
即该债券的净价为1189.79元
又因为距上一次付息日为180-81=99天,所以
AI50
99
180
27.5元
即该债券的全价为27.5+1189.79=1217.29元
例九:
在美国债券市场上有一种2年期的零息债券,目前的市场价格为857.34
元,计算该债券的年到期收益率。
解:
因为该债券为票面价格为1000元,半年付息一次,所以:
857.34
1000
4
(1YTM)
通过上式求出该债券的半年到期收益率为3.9%,因此该债券的年到期收益率为3.9%×2=7.8%
例十:
美国债券市场上有一种债券,票面利率为10%,每年的3月1日和9月1日分别付息一次,2005年3月1日到期,2003年9月12日的完整市场价格为
1045元,求它的年到期收益率。
(按一年360天计算)解:
2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天,半年支
付一次。
即n=169/180=0.9389
又因为全价=净价+应付利息
AI50
180
169
3.06元
180
所以,净价=1045-3.06=1041.94元
即,
1041.9450
501050
(1YTM)0.9389
(1YTM
)1.9389
(1YTM
)2.9389
该债券的半年到期收益率为YTM=3.58%
年到期收益率为3.58%×2=7.16%
题型六:
交税方法
例十一:
一种10年期基金,票面利率为6%、按年付息、持有到期。
政府对其收税,税率为20%。
现有两种交税方式:
一年一付;到期时一起付;问选择哪种交税方式更好?
(改变哪个数值会造成相反的结果)
解:
设在某年年初购买该基金;基金面值为100元;市场适当收益率为r;
一年一付(年末付):
每年年末应交:
1006%
20%
1.2元
现值:
PV1
101.2
n
10
1.21(1r)
n1(1r)r
到期时一起付
总利息为:
10×1.2=12元
现值:
PV2
12
10
(1r)
若PV1PV2,则r1%
所以:
当市场适当收益率为1%时,两种交税方式都可以;当市场适当收益率大于1%时,选择到期一起付;当市场适当收益率小于1%时,选择一年一付。
附:
课上提过的重点题
例十二:
有一个债券组合,由三种半年付息的债券组成,下次付息均在半年后,每种债券的相关资料如下:
债券名称
票面利率
到期时
间
面值(元)
市场
价
格
到期收益率
A
6%
(年)
6
1000
(元)
951.68
(年率)
7%
B
5.5%
5
20000
20000
5.5%
C7.5%4
求该债券组合的到期收益率。
(步骤:
10000
1、列表
9831.68
;2、列方程)
8%
解:
若考试时试题未给出债券的市场价格,必须计算出来。
12
n
A:
951.6830
1000
12
n1(13.5%)
(13.5%)
10
B:
20000
550
n
20000
10(平价出售)
n1(1
2.75%)
(12.75%)
8
C:
9831.68
375
n
10000
8
n1(1
4%)
(14%)
该债券组合的总市场价值为:
951.68+20000.00+9831.68=30783.3元6
列表:
r为债券组合的到期收益率
期数
A的现金流
B的现金流
C的现金流
债券组合的现
总现金流的现值
(元)
(元)
(元)
金流(元)
(元)
1
30
550
375
955
955/(1+r)
2
30
550
375
955
955/(1+r)2
3
30
550
375
955
955/(1+r)3
4
30
550
375
955
955/(1+r)4
5
30
550
375
955
955/(1+r)5
6
30
550
375
955
955/(1+r)6
7
30
550
375
955
955/(1+r)7
8
30
550
10375
10955
10955/(1+r)8
9
30
550
580
580/(1+r)9
10
30
20550
20580
20580/(1+r)10
11
30
30
30/(1+r)11
12
1030
1030
1030/(1+r)12
总市场价值
30783.36
④列方程:
30783.36
9551
(1r)710955
8
580
9
20580
10
301030
1112
r3.13%
r(1r)
(1r)
(1r)
(1r)(1r)
所以该债券的半年期到期收益率为3.13%;其年到期收益率(内部回报率)为6.26%。
例十三:
APR与EAR的换算
公式:
EAR(1
APR)n1
n
其中:
EAR为实际年利率;APR为名义年利率;n为一年中的计息次数;
A债券的年利率为12%,半年支付一次利息。
B债券的年利率为12%,每季度支付一次利息。
C债券的年利率为10%,每季度支付一次利息。
求这三种债券的实际年收益率。
A:
EAR
B:
EARC:
EAR
2
112%
2
4
112%
4
4
110%
4
112.36%
112.55%
110.38%
注:
名义利率一样,付息次数越多,实际收益率越大;付息次数一样,名义利率越大,实际收益率越大。
例十四:
求债券总收益或总收益率(与题型二对比此题没有提前出售债券这一条件故较为简单)
此时,债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值
总收益=债券实际总价值-购买债券时的价格
求总收益率:
公式:
每期收益率=(期末价值/期初价值)1/n-1
实际年收益率=(1+每期收益率)m-1
投资者用1108.38元购买一种8年后到期的债券,面值是1000元,票面利率为12%,每半年付息一次,下一次付息在半年后。
假设债券被持有至到期日,再投资利率等于到期收益率,分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。
解:
1108.38
半年期的YTM=5%,即每期的再
投资利率为5%
利息+利息的利息=60
(15%)161
5%
1419.45元
该债券的利息=60×16=960元
利息的利息=1419.45-960=459.45元
持有到期时债券的总价值=1419.45+1000=2419.45元
总收益=2419.45-1108.38=1311.0元7
每期收益率=16
2419.4515%
1108.38
总收益率=1
5%2
110.25%
例十五:
(资产组合的久期)一个债券组合由三种半年付息的债券构成,求
债券名称
面值(元)
票面利率
到期时间(年)
市场价格(元)
YTM(年)
A
1000
6%
6
951.68
7%
B
20000
5.5%
5
20000
5.5%
C
10000
7.5%
4
9831.68
8%
D
*10.2001
A
9.8552
13.5%
(半年)=4.9276(年)
D12.75%
(12.75%)
B
2.75%
1
2.75%
2.75%
(12.75%)101
1
110
2.75%
8.8777
2.75%
(12.75%)
(半年)
D
*8.8777
B
(12.75%)
8.6401(半年)=4.3201(年)
14%
DC
(14%)
8(3.75%
8
4%)
7.0484(半年)
4%3.75%
14%
14%
D
*7.0484
C
6.7773(半年)=3.3887(年)
14%
该债券组合的市场总价值等于951.68+20000+9831.68=30783.36元,债券A的权重为0.0309、债券B的权重为0.6497、债券C的权重为0.3194。
因此,该债券组合的久期为:
D*4.9276
0.0309
4.3201
0.6497
3.3887
0.3194
4.0414(年)
这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时,组合的市场价值将会变动4.0414%。
例十六:
如何构造理论上的即期利率曲线——解鞋带的方法:
假设存在5种政府债券,期限分别从1年到20年。
这些债券都是平价债券,即价格与面值相等,等于100元。
因为是平价债券,所以这些债券的到期收益率与票面利率正好相等。
④4年期债券的现金流模式如下:
100
5.35
5.35
5.35
105.35
(1S1)
(1S2)
(1S3)
(1S4)
解得S4
5.368%、
f3,4
(15.368%)4
2
3
4
(15.207%)3
15.8525%;
⑤5年期债券的现金流模式如下:
100
5.45
5.45
5.45
5.45
105.45
(1S1)
(1S2)
(1S3)
(1S4)
(1S5)
2
3
解得S5
5.4763%、
f4,5
(15.4763%)5
(15.368%)4
4
5
15.9106%
根据以上计算,画图:
6.0000%
5.8000%
5.6000%
5.4000%
远期利率
5.2000%
5.0000%
即期利率
4.8000%
4.6000%
4.4000%
12345