固定收益证券计算题.docx

1、固定收益证券计算题计算题题型一：计算普通债券的久期和凸性久期的概念公式： DNt Wtt 1其中，Wt 是现金流时间的权重， 是第 t 期现金流的现值占债券价格的比重。 且以上求出的久期是以期数为单位的， 还要把它除以每年付息的次数， 转化成以年为单位的久期。久期的简化公式： D 1 y(1 y)T(c y)y c(1y)T 1 y其中， c 表示每期票面利率， y 表示每期到期收益率， T 表示距到期日的期数。凸性的计算公式： C1(1 y) 2N(t 2t 1t) Wt其中， y 表示每期到期收益率； Wt 是现金流时间的权重，是第 t 期现金流的现值占债券价格的比重。 且求出的凸性是以期

2、数为单位的， 需除以每年付息次数的 平方，转换成以年为单位的凸性。例一：面值为 100 元、票面利率为 8%的 3 年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为 10%，计算它的久期和凸性。每期现金流： C 5%2 2息票债券久期、凸性的计算 0.03300.16500.99000.81764.905634.3392即， 2.7175（年）36.7694/（1.05）2=33.3509 ；以年为单位的凸性： C=33.3509/（2）2=8.3377利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动 1 个基点（ 0.01%）时，该债券价格的波动利用修正久期的意义：P / PD

3、* yD* 2.71752.5881（年）1 5%当收益率上升一个基点，从 10%提高到 10.01%时，P / P2.58810.01%0.0259% ；当收益率下降一个基点，从 10%下降到 9.99%时，2P / P2.5881 (0.01%)0.0259% 。凸性与价格波动的关系：P / P D*y 1 C y 2当收益率上升一个基点，从 10%提高到 10.01%时，P / P2.58810.01%1 8.33772(0.01%) 20.0259% ；2当收益率下降一个基点，从 10%下降到 9.99%时，P / P2.5881 (0.01%)1 8.33772(0.01%)0.06

4、76%又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感， 所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。题型二：计算提前卖出的债券的总收益率n首先， 利息+利息的利息 = C(1 r1)1；r1 为每期再投资利率；r1然后，有 债券的期末价值 = 利息+利息的利息 + 投资期末的债券价格 ；其中，N投资期末的债券价格： PN C(1 r ) tF(1 r ) NC 1 (1rr2 )F(1 r ) N ；t 1 2 2 2 2N 为投资期末距到期日的期数； r2 为预期的投资期末的每期收益率。例二：投资者用 905.53元购买一种面值为 1000 元的 8 年期债券，票面利率是 12%，半

5、年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为 8%。如果债券持有到第 6 年（ 6 年后卖出），且卖出后 2 年的到期收益率为 10%，求该债券的总收益率。解：C 1000212% 60r128% 4% r210% 5%26 年内的利息 +6 年内利息的利息 = 60(1 4%)12 14%901.55 元第 6 年末的债券价格 = 601 (15%) 4100041035.46 元5% (1 5%)所以，6 年后的期末价值 =901.55+1035.46=1937.01元总收益=1937.01-905.53=1031.4元8半年期总收益率 = 121937.01 1905.536.54%总收

6、益率 =（ 1+6.54%） 2-1=13.51%题型三：或有免疫策略（求安全边际）例三：银行有 100 万存款， 5 年到期，最低回报率为 8%；现有购买一个票面利率为 8%，按年付息， 3 年到期的债券，且到期收益率为 10%；求 1 年后的安全边际。解：银行可接受的终值最小值： 100(1+8%)5=146.93万元；如果目前收益率稳定在 10%：触碰线：146.93100.36 万元(1 10%) 41 年后债券的价值 =1008%+1810%108(1 10%) 2=104.53万元；安全边际： 104.53-100.36=4.17万元；AB 触碰线所以，采取免疫策略为卖掉债券， 将

7、所得的 104.53万元本息和重新投资于期限为 4 年、到期收益率为 10%的债券。债券年收益率 = 8.88%题型四：求逆浮动利率债券的价格例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为 1 万， 3 年到期。 1 年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为 8%，求逆浮动利率债券的价格。解：在确定逆浮动利率债券价格时， 实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合， 分别投资 1 万元在这两种债券上， 则相当于购买了票面利率为 6%、面值为 1 万元的两张债券。又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率

8、债券价格易求。1 年后，算票面利率为 6%，面值为 1 万的债券价格600P106009643.347 元P 逆=2P-P 浮=2 9643.347-10000=9286.69元4题型五：关于美国公司债券的各种计算（债券面值 1000 美元、半年付息一次）（ YTM 实为一种折现率）例五：现有一美国公司债券， 息票利率为 8%，30 年到期，适当收益率为 6%， 求债券现在的价值？解：因为该债券面值为 1000美元，每半年付息一次，所以：60 40P n100060= 401 (13%) 601000+60=1276.76元n 1 (1 3%)(1 3%)3% (13%)例六：现有一美国公司债

9、券，息票利率为 8%， 30 年到期，假设现在的售价为 676.77美元，求债券到期收益率？解：因为该债券面值为 1000美元，每半年付息一次，所以：60 40676.77 n100060 = 401 (1YTM ) 60100060n 1 (1 YTM )(1 YTM )YTM(1 YTM )通过上式求出该债券的半年期到期收益率为 6%，因此该债券的年到期收益率 为 6%2=12%例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有 10 年，到期价值为 5000元，年适当贴现率是 8%，计算该债券的价值。解：因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为 8%/2=4% n=20P= 5000

10、=2281.93元(1 4%) 20例八：一种美国公司债券， 票面利率是 10%，2008年 4 月 1 日到期。每年的4 月 1 日和 10 月 1 日分别支付一次利息。如果投资者在 2003年 7 月 10 日购买， 该债券的适当贴现率是 6%，则该债券的净价是多少？全价是多少？（采用 360 天计算）解：2003年 7 月 10 日距下一次利息支付日 10 月 1 日还有 81 天，且利息支付期为半年，即 180 天。那么 n=81/180=0.45。50P (1 3%) 0.4550(1 3%) 1.45.50(1 3%) 8.451050(1 3%) 9.451189.79 元即该债

11、券的净价为 1189.79元又因为距上一次付息日为 180-81=99天，所以AI 509918027.5 元即该债券的全价为 27.5+1189.79=1217.29元例九：在美国债券市场上有一种 2 年期的零息债券，目前的市场价格为 857.34元，计算该债券的年到期收益率。解：因为该债券为票面价格为 1000元，半年付息一次，所以：857.3410004(1 YTM )通过上式求出该债券的半年到期收益率为 3.9%，因此该债券的年到期收益率 为 3.9%2=7.8%例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为 10%，每年的 3 月 1 日和 9 月1 日分别付息一次， 2005 年 3

12、月 1 日到期， 2003年 9 月 12 日的完整市场价格为1045元，求它的年到期收益率。（按一年 360 天计算） 解：2003年 9 月 1 日距下一次利息支付日 2004 年 3 月 1 日还有 169 天，半年支付一次。即 n=169/180=0.9389又因为全价 =净价+ 应付利息AI 501801693.06元180所以，净价 =1045-3.06=1041.94元即，1041.94 5050 1050(1 YTM )0.9389(1 YTM)1.9389(1 YTM)2.9389该债券的半年到期收益率为 YTM=3.58%年到期收益率为 3.58%2=7.16%题型六：交税

13、方法例十一：一种 10 年期基金，票面利率为 6%、按年付息、持有到期。政府对其收税，税率为 20%。现有两种交税方式： 一年一付； 到期时一起付；问选择哪种交税方式更好？（改变哪个数值会造成相反的结果）解：设在某年年初购买该基金；基金面值为 100 元； 市场适当收益率为 r；一年一付（年末付）：每年年末应交：100 6%20%1.2 元现值：PV110 1.2n101.2 1 (1 r )n 1 (1 r ) r到期时一起付总利息为： 101.2=12 元现值：PV21210(1 r )若PV1 PV2 ,则 r 1%所以： 当市场适当收益率为 1%时，两种交税方式都可以； 当市场适当收益

14、率大于 1%时，选择到期一起付； 当市场适当收益率小于 1%时，选择一年一付。附：课上提过的重点题例十二： 有一个债券组合， 由三种半年付息的债券组成， 下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：债券名称票面利率到 期 时间面值（元）市 场价格到期 收 益 率A6%（年）61000（元）951.68（年率）7%B5.5%520 00020 0005.5%C 7.5% 4求该债券组合的到期收益率。（步骤：10 0001、列表9831.68； 2、列方程 ）8%解：若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。12nA： 951.68 30100012n 1 (1 3.5%)(1 3.5%)1

15、0B： 20000550n2000010 （平价出售）n 1 (12.75%)(1 2.75%)8C： 9831.68375n100008n 1 (14%)(1 4%)该债券组合的总市场价值为：951.68+20 000.00+9 831.68=30 783.3元6列表： r 为债券组合的到期收益率期数A 的现金流B 的 现 金 流C 的现金流债券组合的现总 现 金 流 的 现 值（元）（元）（元）金流（元）（元）130550375955955/(1+r)230550375955955/(1+r) 2330550375955955/(1+r) 3430550375955955/(1+r) 45

16、30550375955955/(1+r) 5630550375955955/(1+r) 6730550375955955/(1+r) 783055010 37510 95510955/(1+r)8930550580580/(1+r) 9103020 55020 58020580/(1+r)1011303030/(1+r) 1112103010301030/(1+r) 12总市场价值30 783.36列方程：30783.36955 1(1 r ) 7 1095585809205801030 103011 12r 3.13%r (1 r )(1 r )(1 r )(1 r ) (1 r )所以该债

17、券的半年期到期收益率为 3.13%；其年到期收益率（内部回报率） 为 6.26% 。例十三： APR 与 EAR 的换算公式：EAR (1APR)n 1n其中： EAR 为实际年利率； APR 为名义年利率； n 为一年中的计息次数；A 债券的年利率为 12%，半年支付一次利息。 B 债券的年利率为 12%，每季度支付一次利息。 C 债券的年利率为 10%，每季度支付一次利息。求这三种债券的实际年收益率。A： EARB： EAR C： EAR21 12%241 12%441 10%41 12.36%1 12.55%1 10.38%注：名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大； 付息次数一样，

18、名义利率越大，实际收益率越大。例十四：求债券总收益或总收益率（与题型二对比 此题没有提前出售债券这一条件 故较为简单）此时，债券的期末价值 = 总的利息 + 利息的利息 +债券面值总收益 =债券实际总价值 -购买债券时的价格求总收益率：公式：每期收益率 = （期末价值 / 期初价值） 1/n -1实际年收益率 = （1+每期收益率） m-1投资者用 1108.38元购买一种 8 年后到期的债券， 面值是 1000元，票面利率为 12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。假设债券被持有至到期日，再投资利率等于到期收益率， 分别计算该债券的利息、 利息的利息以及总收益、 总收益率。解：1108.

19、38半年期的 YTM=5% ，即每期的再投资利率为 5%利息+利息的利息 = 60(1 5%)16 15%1419.45元该债券的利息 =6016=960 元利息的利息 =1419.45-960=459.45元持有到期时债券的总价值 =1419.45+1000=2419.45元总收益=2419.45-1108.38=1311.0元7每期收益率 = 162419.45 1 5%1108.38总收益率 = 15% 21 10.25%例十五：（资产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券构成，求债券名称面值（元）票面利率到期时间（年）市场价格（元）YTM（年）A10006%6951.687%B2

20、0 0005.5%5200005.5%C10 0007.5%49831.688%D* 10.2001A9.85521 3.5%（半年） =4.9276（年）D 1 2.75%(1 2.75%)B2.75 %12.75%2.75%(1 2.75%)10 111 102.75%8.87772.75%(1 2.75%)（半年）D* 8.8777B(1 2.75%)8.6401 （半年） =4.3201（年）1 4%DC(1 4%)8 (3.75%84%)7.0484 （半年）4% 3.75%1 4%1 4%D* 7.0484C6.7773 （半年） =3.3887（年）1 4%该债券组合的市场总价值

21、等于 951.68+20000+9831.68=30783.36元，债券 A 的权重为 0.0309、债券 B 的权重为 0.6497、债券 C 的权重为 0.3194。因此，该债券组合的久期为：D* 4.92760.03094.32010.64973.38870.31944.0414 （年）这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动 1 个百分点时，组合的市场价值将会变动 4.0414%。例十六：如何构造理论上的即期利率曲线解鞋带的方法：假设存在 5 种政府债券，期限分别从 1 年到 20 年。这些债券都是平价债券， 即价格与面值相等，等于 100 元。因为是平价债券，所以这些债券的到期收益率

22、与票面利率正好相等。4 年期债券的现金流模式如下：1005.355.355.35105 .35(1 S1)(1 S2 )(1 S3 )(1 S4 )解得 S45.368% 、f 3, 4(1 5.368%) 4234(1 5.207%) 31 5.8525% ；5 年期债券的现金流模式如下：1005.455.455.455.45105.45(1 S1 )(1 S2 )(1 S3 )(1 S4 )(1 S5 )23解得 S55.4763% 、f 4,5(1 5.4763%)5(1 5.368%) 4451 5.9106%根据以上计算，画图：6.0000%5.8000%5.6000%5.4000%远期利率5.2000%5.0000%即期利率4.8000%4.6000%4.4000%1 2 3 4 5