证明：
（补短法）延长AC至M使AM=AB,连接PM,
在厶ABP和△AMP中
ABAM（辅助线的作法）
12（已知）
APAP（公共边）
•••△ABP^AAMP（SAS
•••PB=PM（全等三角形对应边相等）
又•••在△PCM中有：
CM>PM-PC（三角形两边之差小于第三边）
•AB-AC>PB-PC
七、延长已知边构造三角形:
例如：
如图7-1:
已知AC=BD,AD丄AC于A,BC丄BD于B,求证：
AD=BC
分析：
欲证AD=BC先证分别含有ADBC的三角形全等，有几种方案：
△ADC与△BCD△AODM^BOC
△ABD与△BAC但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：
分别延长DACB它们的延长交于E点,
•/AD丄ACBC丄BD（已知）
•••/CAE=ZDBE=90°（垂直的定义）
在厶DBE与△CAE中
EE（公共角）
DBECAE（已证）
BDAC（已知）
•••△DBEmCAE（AAS）
•ED=ECEB=EA（全等三角形对应边相等）•ED-EA=EC—EB
即：
AD-BG
八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：
如图8-1:
AB//CDAD//BC求证：
AB=CD
分析：
图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：
连接AC（或BD）
•/AB//CDAD//BC（已知）
1=Z2，/3=Z4（两直线平行，内错角相等）
在厶ABC与△CDA中
12（已证）
ACCA（公共边）
34（已证）
•••△ABC^ACDA（ASA
•••AB=CD（全等三角形对应边相等）
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长
例如：
如图9-1:
在Rt△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,/1=Z2,CE!
BD的延长于E。
求证：
BD=2CE
分析：
要证BD=2CE想到要构造线段2CE同时CE与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：
分别延长BACE交于点F。
•/BE!
CF（已知）
•••/BEF=/BEC=90°（垂直的定义）在厶BEF与厶BEC中，
12（已知）
BEBE（公共边）
BEFBEC（已证）
1
•△BEF^ABEC（ASA•CE=FE—CF（全等三角形对应边相等）
2
•//BAC=90BE丄CF（已知）
•••/BAC=/CAF=90°/1+ZBDA=90°/1+/BFC=90°•••/BDA=/BFC
在厶ABMAACF中
BACCAF（已证）
BDABFC（已证）
AB=AC（已知）
•△ABD^AACF（AAS•BD=CF（全等三角形对应边相等）•BD=2CE
十、连接已知点，构造全等三角形
例如：
已知：
如图一…一10-1..AC…BD相交于一.一O点，且…AB=DC…AC=BD…求证一:
：
/…A=/D。
分析：
要证/A=/D,可证它们所在的三角形厶ABC^n^DCC全等，而只有AB=DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DCAC=BD,若连接BC,则△ABC^D^
DCB全等，所以，证得/A=/Do
证明：
连接BC,在厶ABC^n^DCB中
AB
DC（已知）
AC
DB（已知）
BC
CB（公共边）
•••△ABC^ADCB（SSS）
•••/A=ZD（全等三角形对应边相等）
图101
卜一、取线段中点构造全等三有形。
例如：
如图11-1:
AB=DC,/A=ZD求证：
/ABC=ZDCB
分析：
由AB=DC/A=ZD,想到如取AD的中点N,连接NBNC再由SAS公理有△ABN^ADCN故BN=.CN.上…ABN=.乙PCNL.下面只需证乙.NB®.乙.NCB.-.再取...B.C.的中点..._M.连.接..MN.，则.由.sss公理有△…収旦墜仝NCM所以/NBC=ZNCB问题得证。
证明：
取AD,BC的中点NM,连接NBNMNQ贝UAN=DNBM=CM在厶ABN和△DCN中
ANDN（辅助线的作法）
AD（已知）
ABDC（已知）
•△ABN^ADCN（SAS
•••/ABN=ZDCNNB=NC（全等三角形对应边、角相等）
图111
在厶NBM^NCM中
NB=NC（已证）
BM=CM（辅助线的作法）
NM=NM（公共边）
•△NMB^ANCM（SSS）•/NBC=ZNCB（全等三角形对应角相等）NBOZABN=ZNCB^ZDCN即
/ABC=ZDCB
巧求三角形中线段的比值
例1.如图1,在厶ABC中，BDDC=1:
3,AE:
ED=2:
3，求AF:
FC。
解：
过点D作DG//AC,交BF于点G
所以DGFOBDBC
因为BDDO1:
3所以BDBO1:
4
即DGFC=1:
4,FC=4DG
因为DGAF=DEAE又因为AE:
ED=2:
3
所以DGAF=3:
2
2
2
朋=_DG
-DG
3
所以AF:
FO3
即
例2.如图2,BC=CD,AF=FC,求EF:
FD
卜=•.——i-——■—I———■―彳
解：
过点C作CG//DE交AB于点G则有EF:
GC=AF:
AC
4DG=1:
6
因为AF=FC所以AF:
AO1:
2
EF=-GC
即EF:
GC=1:
2,2
因为CGDE=BCBD又因为BOCD
所以BCBD=1:
2CG:
DE=1:
2即DE=2GC
因为
1
3
1
3
2G（7--GC=
:
-GC
-GC：
-W3
2
所以EF:
FD=
2
2
FD=ED-EF=
小结：
以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。
请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
例3.如图3,BDDC=1:
3,AE:
EB=2:
3,求AF:
FDb
解：
过点B作BG//AD,交CE延长线于点G
所以DF:
BG=CDCB
因为BDDO1:
3所以CDCB=3:
4
DF=-BG
即DF:
BG=3:
4,4
所以AF:
BG=2:
3
AF=-BG即：
：
-8^-5（7=8：
9
所以AF:
DF=孑4
例4.如图4,BDDC=1:
3,AF=FD,求EF:
FG
.———-—————_—_———_———=-—————————————=_—=——————.—————――-________———————_——■J「0FF
解：
过点D作DG//CE,交AB于点G
所以EF:
DG=AF:
AD
因为AF=FD
即EF:
DG=1:
2
所以AF:
AD=1:
2
EF=-DG
2
所以BDBO1:
4
因为DGCE=BDBC,又因为BDCD=1:
3,
即DGCE=1:
4,CE=4DG
17
4DG~-DG=-DG因为FC=CE-EF=22
]7
-De?
：
-DG
所以EF:
FC=22=1:
7
练习:
1..如图5,旦去._DC…AE..…EDh.1:
…5,求...AF:
.…FB。
2.如图6,ADDB=1:
3,AEEC=3:
1，求BF:
FG
答案：
1、1:
10；
2.9
:
1
由角平分线想到的辅助线
口诀:
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：
a对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
A
B
图1-1
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定
的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，/AOCMBOC如取OE=OF并连接DEDF,
C
则有△OED^^OFD从而为我们证明线段、角相等创造了
条件。
CD点E在AD上，求证：
BC=AB+GD
例1.如图1-2，AB//CD，BE平分/BCDCE平分/B
分析：
此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线
来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：
在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明的目的。
这
里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE
与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2.已知：
如图1-3,AB=2ACZBAD2CADDA=DB求证DCLAC
分析：
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它
问题自已证明
例3.已知：
如图1-4，在△ABC中，/C=2/B,AD平分/BAC求证：
AB-AC=CD
中还要分问题。
线段，来
2/C,求
分析：
此题的条件中还有角的平分线，在证明用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？
练习
1.已知在△ABC中,AD平分/BAC/B=
证：
AB+BD=AC
2.已知：
在厶ABC中,/CAB=/B，AE平分/CAB交BC于E,AB=2AC求证：
AE=2CE
3.已知：
在厶ABC中,AB>AC,AD^/BAC的平分线，M为AD上任一点。
求证：
BM-CM>AB-AC
4.已知：
D是厶ABC的/BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DBDC求证：
BD+CD>AB+AC
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1.如图2-1，已知AB>AD,/BAC/FAC,CD=BC
求证：
/ADC/B=180
分析：
可由C向/BAD勺两边作垂线。
近而证/ADC与ZB之和为平角
例2.如图2-2，在△ABC中,ZA=90,AB=ACZABDZCBD求证：
BC=AB+AD
分析：
过D作DELBC于E,则AD=DE=CE则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3.已知如图2-3,△ABC的角平分线BMCN相交于点P。
求证：
ZBAC的平分线也经
过点P。
分析：
连接AP,证AP平分ZBAC即可，也就是证P到ABAC的距离
相等。
练习:
1.如图2-4ZAOPZBOP=15，PC//OA,PDLOA
A
女口果PC=4贝UPD=（）
A4B3C2D1
2.已知在△ABC中,ZC=90，AD平分ZCABCD=1.5,DB=2.
5.求AC
3.已知：
如图2-5,ZBACZCAD,AB>APCELAB,
AE=2（AB+AD.求证：
ZD+ZB=180。
4.已知：
如图2-6,在正方形ABC冲，E为CD的中点，F为BC
上的点，ZFAEZDAE求证：
AF=AD+CF
5.已知：
如图2-7，在Rt△ABC中,ZACB=90,CD丄AB垂足为D,AE平分ZCAB
交CD于F,过F作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH
C
ADB
图2-7
（三）：
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）
A
例1.已知：
如图3-1，/BAD2DACAB>AC,CDAD于D,H是BC中
1
点。
求证：
DHd（AB-AC
2
分析：
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例2.已知：
如图3-2,AB=ACZBAC=90,AD为/ABC的平
分线，CELBE.求证：
BD=2CE
分析：
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，
可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3.已知：
如图3-3在厶ABC中,ADAE分别/BAC的内、外角平分线，过顶点B作B
N图3-3
E
FAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M
求证：
AM二ME
分析：
由ADAE是/BAC内外角平分线，可得EALAF,从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4.已知：
如图3-4,在厶ABC中,AD平分/BACAD=AB
1
CMLAD交AD延长线于M求证：
AM=（AB+AC
2
分析：
题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的
11
A
图3-4
对称△AED然后只需证DMaEC,另外由求证的结果AM=（A
22
B+AC,即2AM二AB+AC也可尝试作厶ACM^于CM的对称△F
CM然后只需证DF二CF即可。
练习：
AE是/BAC勺平分线，且CE!
AE于E,连接DE求DE
2.已知BE、BF分别是△ABC的/ABC的内角与外角的平分线，AF丄BF于F,AE±BE
1
于E,连接EF分别交ABAC于MN,求证MN二BC
2
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形
如图4-1和图4-2所示。
C
F
B
图4-2
例4如图，AB>AC,Z1=Z2,求证：
AB—AC>BPCD
B
例5如图，BC>BABD平分ZABC且AD二CD求证：
ZA+ZC=18Q
如图,
AB//CDAEDE分别平分ZBAD各ZADE求证：
AD=AB+GD
B
A
练习：
1.已知，如图，/C=2/A,AC=2BC求证：
△ABC是直角三角形
C
2.已知：
如图，AB=2ACZ仁/2,DA=DB求证：
DCLAC
C
3.已知CEAD是△ABC的角平分线，/B=60，求证：
AC=AE+CD
4.已知：
如图在厶ABC中，/A=90°，AB=ACBD是/ABC的平分线，求证:
BC=AB+AD
C
三由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：
在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：
将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差
小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关
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