概率论与数理统计公式整理完整精华版.docx
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概率论与数理统计公式整理完整精华版
第1章随机事件及其概率
(1)排列组合公式
Pm-m!
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
(m-n)!
Cm—m!
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!
(m_n)!
(2)加法和乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n
种方法来元成,则这件事可由m+n种方法来元成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
mxn
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n
种方法来元成,则这件事可由mxn种方法来元成。
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)
顺序问题
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
1每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
2任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用国来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用0表示。
一个事件就是由0中的部分点(基本事件国)组成的集合。
通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是0的子集。
。
为必然事件,?
为不可能事件。
不可能事件(?
)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,
必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
AuB
如果冋时有A匚B,B=A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B
A、B中至少有一个发生的事件:
AUB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可
表示为A-AB或者AB,匕表示A发生而B不发生的事件。
A、B冋时发生:
a"1B,或者ABa"1B=?
,则表示A与B不可能冋时发生,
称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Q-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)
□0QO_
nA:
=uAi
德摩根率:
Zi£aUb=AlB,疋TB=aUb
(7)概率的公理化定义
设C为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0
2°P(Q)=1
3°对于两两互不相容的事件A1,A2,…有
/CO、oO
PUAi=xP(Ai)二丿iA
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典概型
1°Q=仏1化…%
1
2°P©1)=PWP©n)=-。
n
设任一事件A,它是由⑷「^2m组成的,则有
P(A)={®1)U佃2)U…U&m)}=P(®1)+P02)+…+P(®m)
mA所包含的基本事件数
—n一基本事件总数
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,冋时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何
概型。
对任一事件A,
P(A)-L(A)。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
L(O)
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BUA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Q时,P(B)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件下,事
P(A)
件B发生的条件概率,记为P(B/A)--(AB)。
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Q/B)=1二P(B/A)=1-P(B/A)
(13)乘法
公式
乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A,A,…An,若P(AA…An-1)>0,则有
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)......P(An|A1A2…An-1)。
(14)独立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件a、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A):
>0,则有
P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)=p(b)
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件0和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么AB、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概
公式
设事件B1,B2,…,Bn满足
1°B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)a0(i-1,2,,n),
n
A匚UBi
2°z,
则有
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)。
(16)贝叶斯公式
设事件B1,B2,…,Bn及A满足
1°B1,B2,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>o,i=1,2,…,n,
n
AuUBi
2°y,P(A)a0,
则
P(B/A)P(Bi)P(A/Bi)2一
P(Bj/A)—n,i=1,2,n。
二P(Bj)P(A/Bj)
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i二1,2,…,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i二1,2,…,
n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
(17)伯努
利概型
我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1-P=q,用Pn(k)表
示n重伯努利试验中A出现k(°乞k兰n)次的概率,
_....kkn_k
Pn(k)=CnPq,k=0,1,2,…,no
第二章随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为X<(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=Xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形
式给出:
X|X1,X2,…,xk,…
P(X=Xk)1P1,P2,…,Pk,…o
显然分布律应满足下列条件:
CO
Xpk=1
(1)Pk兰°,k=人2,…,
(2)心。
(2)连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,有
X
F(x)=」f(x)dx
则称X为连续型随机变量。
f(X)称为X的概率密度函数或密度函数,简称概
率密度。
密度函数具有下面4个性质:
1°f(x2°。
2°亡f(x)dx=1。
(3)离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)吒P(xvX兰x+dx)趾f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X-xk)-pk在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布函数
设X为随机变量,x是任意实数,则函数
F(x)=P(X兰x)
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(acX兰b)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。
分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-a,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1°0兰F(X)兰1,—O0£X£+旳;
2°F(x)是单调不减的函数,即X1£X2时,有F(X1)兰F(X2);
3°F(-呵=limF(x)=O,F(址)=limF(x)=1;
4°F(x+O)=F(x),即F(x)是右连续的;
5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。
对于离散型随机变量,F(x)=:
Zpk;
X
对于连续型随机变量,F(x)=Jf(x)dx。
-DO
(5)八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。
事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,…,n。
kknk
P(X=k)=Pn(k)=CnPq,其中
q=1—p,0vpv1,k=0,1,2,…,n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
记为
X~B(n,p)。
当n=1时,P(X=k)=pkqj,k=0.1,这就是(0-1)分
布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
P(X
k
丸丸>0,k=0,1,2八,
则称随机变量X服从参数为人的泊松分布,记为
X~兀(九)或
者PUJ
。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=入,nis)
。
超几何分布
P(X=k
Ck厂n
CM*CN
ik=o,1zr
0r-
/Qn
CN
'I=min(M,n)
随机变量
X服从参数为
n,N,M的超几何分布,记为
H(n,N,M)。
几何分布
b4
p(x=k)=qp,k=1,2,3,…,其中p>0,q=1-p。
随机变量
X服从参数为
p的几何分布,记为G(p)
。
均匀分布
设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数
f(x)在[a,b]
上为常数
,即
b-a
1af(x)=«
b_a'
其他,
0,
则称随机变量X在[a,分布函数为
b]上服从均匀分布,记为
X~U(a,b)。
广0,xx—a
xj
J
b-aaF(x)=
打f(x)dx=
1,x>b。
当aX2
—捲
P(X<|vX。
b
-a
指数分布
「仝,x>0,
f(x)=■<
I0,x<0,
其中人>0,则称随机变量X服从参数为九的指数分布。
X的分布函数为
「1-e»,XA0
F(x)彳°
11x<0。
记住积分公式:
■bo
Jxne」dx=n!
0
正态分布
设随机变量X的密度函数为
彳(x-M)2
1—22丄
f(x)=—e巧,一00vxw+乂,(2兀CT
其中卩、b>0为常数,则称随机变量X服从参数为卩、▽的正态分布或咼斯(Gauss)分布,记为X~N(匕口)。
f(X)具有如下性质:
1°f(x)的图形是关于x=卩对称的;
2°当x=[i时,f岸)—为最大值;
2叫2HCT
若X〜N(1®)x,则哉2的分布函数为
F(x)=离翳2用dt
参数'0、口-1时的正态分布称为标准正态分布,记为
X〜N(0,1)G其密度函数记为
半(X)—卄e2
丸2兀,—旳£x£+,
分布函数为
1X上
①(x)Je2dt。
丁2兀q
^(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
口1
①(-X)=1-①(x)且①(0)=—°
2XA
如果X〜N(»Q2),则N(0,1)°
P(X1vX兰X2)=①」丨一①-1丨。
(6)分位数
下分位表:
P(^ka)^t;上分位表:
P(X>»a)=ot。
(7)函数分布
离散型
已知X的分布列为
XX1,X2,…,xn,…
P(X=Xi)P1,P2,…,pn,…'
Y=g(X)的分布列(yi=g(xj互不相等)如下:
Yg(x1),g(x2),…,g(xn),…
P(丫-yi)p1p2…pn…
若有某些g(xi「相等,则应将对应的'pj相加作为g(xi)的概率。
连续型
先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)<
y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
第三章二维随机变量及其分布
(1)联合离散型分布
如果二维随机向量■(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称匕为离散型随机量。
设.=(X,Y)的所有可能取值为(x「yj)(i,j=1,2-),
且事件{=(Xi,yj)}的概率为pj,,称
P{(X,Y)=(<『)}二pj,j=12)
为•=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分
布有时也用下面的概率分布表来表示:
*
y1
y2
yj
X1
pn
卩12
p1j
X2
p21
P22
P2
3
a
-
Xi
p1
Pij
3
a
■-
■
■-
这里pj具有下面两个性质:
(1)pj>0(i,j=1,2,…);
(2)二二pij=1.
ij
连续型
对于二维随机向量©=(X,Y),如果存在非负函数
f(x,y)(-虎1vxv+旳,一旳分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D-{(X,Y)|a有
P{(X,Y)€D}=JJf(x,y)dxdy,
D
则称©为连续型随机向量;并称f(x,y)为©=(X,Y)的分布
密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1)f(x,y)>0;
(2)J«(x,y)dxdy=1.
(2)二维随机变量的本质
L(X=x,Y=
y)=,X=x^Y=y)
(3)联合
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
分布函数
F(x,y)=P{X兰x,丫兰y}
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函
数。
分布函
数是一个以全平面为其定义域,以事件
{(眇,灼2)1虫vxgjex,avy(«)2)乞y}的概率为函数值的一个实值函
数。
分布函数
F(x,y)具有以下的基本性质:
(1)0兰F(x,y)兰1;
(2)F(x,y)
分别对x和y是非减的,即
当X2>X1时,有
F(X2,y)>F(X1,y);当护屮时,有F(x,y2)>F(x,y1);
(3)F(x,y)
分别对x和y是右连续的,即
F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);
(4)F(-叫-
一°°)=F(一00,y)=F(x,—°°)=0,F(+sO,+=°)=1.
(5)对于x1
F(X2,y2)-
F(X2,yj—F(X1,y2)+F(x1,yjz。
.
(4)离散型与连续型的关系
P(X=x,Y
=y)P(xvX兰x+dx,y£丫乞y十dy)吧f(x,y)dxdy
(5)边缘分布
离散型
X的边缘分布为
R.=P(X=Xi)=£
j
Y的边缘分布为
p厂P(Y=yjT
i
Pij(i,j=1,2,…);
Pj(i,j=1,2,…)。
连续型
rx的边缘分布密度为
"bo
fx(X)=Jf(X,y)dy;
Y的边缘分布密度为
fY(yW,y)dx
(6)条件:
离散型
「在已知X=x的条件下,
Y取值的条件分布为
分布
P(Y=yj|X=xJ=
Pij.叽’
在已知Y=y的条件下,
X取值的条件分布为
P(X=人|Y=yj)=
Pij
P轴,
连续型
在已知Y=y的条件下,
X的条件分布密度为
f(x|y)U);fY(y)
在已知X=x的条件下,
Y的条件分布密度为
f(y|x)F
fx(x)
(7)独立
一般型
F(X,Y)=Fx(x)FY(y)
性
离散型
Pj=PiJ輛
有零不独立
连续型
f(x,y)=fx(x)fY(y)
直接判断,充要条件:
1可分离变量
2正概率密度区间为矩形
二维正态分布
1
1展2Rx44)(y_H)/_k2
f(x,y)
2吨厲2<1-
2e-1,
P2
p=0
随机变量的
若X1,X2,…XmXm+1,…X相互独立,h,g为连续函数,则:
函数
h(X1,X2,…Xm)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。
特例:
若X与Y独立,则:
h(X)和g(Y)独立。
例如:
若X与Y独立,则:
3X+1和5Y-2独立。
(9)二维正态分布
设随机向量(X,Y的分布密度函数为
1l6-h12£x_H)(y_H)屮主甲
1二(1_P)]lcT丿鈕(°2丿|
f(x,y)=e△''、
2兀CT16J1一P
其中出,込<11a0,
2>°,IPk1是5个参数,则称(X,Y服从二维正态分布,
记为(X,Y)〜N(卩"巴仃:
厲;,P).
由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,
即x〜n(已,昉),丫~n(巴口2).
但是若X〜N(气,<^2),丫~N(42b;),(X,Y)未必是二维正态分布。
(10)函数
分布
Z=X+Y
根据定义计算:
FZ(z)=P(Zez)=P(X+Y^z)
-bo
对于连续型,fz(z)=Jf(x,z-x)dx
两个独立的正态分布的和仍为正态分布(比+卩?
^;)。
n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。
4=送CH,口2=瓦Ci2®2
ii
Z=max,min(
X1,X2,…Xn)
若X1,X2…Xn相互独立,其分布函数分别为
Fx1(x),Fq(x)…(x),贝VZ=max,min(X1,X2,…Xn)的分布
函数为:
Fmax(X)=Fx,(X)杆乂?
(X)…Fxn(X)
Fmin(X)=1—[1-FX1(x)]叩—FX2(X)]…[1一FXn(x)]
布,可以证明它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量W服从自由度为n的2分布,记为W-2(n),
其中
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。
2分布满足可加性:
设
Yi-2(nJ,
则
k
Z八Y~2(nin2nk)•
i吕
t分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且
X~N(0,1),Y~2(n),
可以证明函数
X
、Y/n
的概率密度为
f(t)='2j【i
麵i邛
\、2)
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T〜t(n)
ti_:
.(n)--r.(n)
F分布
设X~2(n1),Y~2(n2),且X与Y独立,可以证明
lX/山
F=的概率密度函数为
Y/n2
nin2
2
①门2n2
22
ni
2加
y
'2
y-0
0,y:
:
0
我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2
的F分布,记为F〜f(ni,n2).
1
Fi_■.(ni,n2)=
F:
.(n2,ni)
第四章随机变量的数字特征
(i)
离散型
连续型
一维
期望
设X是离散型随机变量,其分布
设X是连续型随机变量,其概率密
随机
期望就是平均值
度为f(x),
变量
律为P(X=xk)=pk,
-bo
的数
k=i,2,…,n,
E(X)=Jxf(x)dx
字特
n
a
征
E(X)=2;XkPk
(要求绝对收敛)
k斗
(要求绝对收敛)
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
n
-bo
E(Y)近g(Xk)Pk
E(Y)=Jg(x)f(x)dx
a
方差
-bo
2
D(X)=E[X-E(X)],
D(X)=E[Xk-E(X)]2pk
D(X)=J[x-E(X)]2f(x)dx
标准差
k