船头方向与河岸间的夹角为0那么cos0=—
V1
渡河时间t=—位移X=—J
V2S1n0cos0
:
八
能丫
J-』
例一小船渡河,河宽d=180m,船在静水中的速度为vt=5m/s,水流速度v2=2.5m/s.求:
(1)欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向?
用多长时间?
位移是多少?
(2)欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?
用多长时间?
位移是多少?
【解析】
(1)欲使船在最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方向
当船头垂直河岸时,如图甲所示,合速度为倾斜方向,垂直分速度为vi=5m/s.
d180
t=書=”36s
v=.v2+v2=2.5m/s
x=vt=90.5m.
乙
(2)欲使船渡河航程最短,合速度应垂直于河岸,船头应朝上游与垂直河岸方向成某一
夹角a
如图乙所示,有visina=V2,
得a=30°
所以当船头向上游垂直河岸方向偏30°时航程最短.
x'=d=180m.
d=180vicos30°5-2^3
=243s.
【答案】
(1)垂直河岸方向36s905m
(2)向上游垂直河岸方向偏30°24.3s180m
1.解这类问题的关键是:
正确区分分运动和合运动.
2.运动分解的基本方法:
按实际运动效果分解.
(1)确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向);
(2)根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向;
(3)运用平行四边形定则进行分解.
3.小船渡河问题的处理
(1)小船渡河问题,无论v船〉V水,还是V船VV水,渡河的最短时间均为tmin=_L(L为河
V船
宽).
⑵当v船〉v水时,船能垂直于河岸渡河,河宽即是最小位移;当v船Vv水时,船不能垂
直于河岸渡河,但此时仍有最小位移渡河,可利用矢量三角形定则求极值的方法处理.
A考能提升莎点演练k
[高考真题]
1.(2016课标卷I,18)一质点做匀速直线运动,现对其施加一恒力,且原来作用在质点上的力不发生改变,则()
A•质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D.质点单位时间内速率的变化量总是不变
【解析】因为质点原来做匀速直线运动,合外力为0,现在施加一恒力,质点的合力
就是这个恒力,所以质点可能做匀变速直线运动,也有可能做匀变速曲线运动,这个过程中
加速度不变且一定与该恒力的方向相同,但若做匀变速曲线运动,单位时间内速率的变化量
是变化的,故C正确,D错误.若做匀变速曲线运动,则质点速度的方向不会总是与该恒力的方向相同,故A错误;不管做匀变速直线运动,还是做匀变速曲线运动,质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直,故B正确.
【答案】BC
2.(2015广东卷,14)如图所示,帆板在海面上以速度v朝正西方向运动,帆船以速度
v朝正北方向航行,以帆板为参照物()
A•帆船朝正东方向航行,速度大小为v
B.帆船朝正西方向航行,速度大小为v
C.帆船朝南偏东45。
方向航行,速度大小为2
D•帆船朝北偏东45。
方向航行,速度大小为2
【解析】以帆板为参照物,帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v,两
速度的合速度大小为V2v,方向朝北偏东45°故选项D正确.
【答案】D
3.(2014四川卷,4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河•小明驾着小
船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,
回程时行驶路线与河岸垂直.
间的比值为k,船在静水中的速度大小相冋,
则小船在静水中的速度大小为
kv
v
A.k2-1
B.,1-k2
_kv
v
C.1-k2
D..k2-1
去程与回程所用时
()
【解析】设河岸宽度为d,去程时ti=—,回程时,t2=2d2,又k,得v静=v—2,
V静寸V静一v2t2寸1-k2
B正确.
【答案】B
[名校模拟]
4.(2018•东潍坊高三上学期期中)关于曲线运动,下列说法正确的是()
A.曲线运动是变速运动
B.变速运动一定是曲线运动
C.物体保持速率不变沿曲线运动,其加速度为零
D.任何做圆周运动物体的加速度都指向圆心
【解析】曲线运动是变速运动,但变速运动不一定是曲线运动,故A对,B错;匀速圆周运动速率不变,但加速度不为零,C错物体加速度才指向圆心,D错.
例如匀变速直线运动,
;只有做匀速圆周运动的
5.(2018山东烟台高三上学期期中)一物体从位于一直角坐标系
运动,前2s在y轴方向的v-t图象和x轴方向的确的是()
xOy平面上的0点开始
s-t图象分别如图甲、乙所示,下列说法正
乙
【答案】A
A.物体做匀变速直线运动
B.物体的初速度为8m/s
C.2s末物体的速度大小为4m/s
D.前2s内物体的位移大小为8.2m
【解析】由图象可知,y轴方向为匀加速运动,x轴方向为匀速直线运动,故合运动
为曲线运动,A错;物体初速度为4m/s,B错;2s末速度v=42+4X22m/s=45m/s,C错;前2s内位移x=「82+2X4X222m=82m,D对.
【答案】D
6.(2018•东师大附中高三质检)如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为B的斜
杆A,另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过
程中,两杆交点
A.水平向左,大小为v
B.竖直向上,大小为vtan0
C.沿A杆斜向上,大小为
v
cos0
D.沿A杆斜向上,大小为vcos0
v水平向左的匀速直
【解析】两杆的交点
线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动,交点P的实际运动方向沿A杆斜向上,如图所示,
贝咬点p的速度大小为仔爲,故C正确.
【答案】C
课时作业(十)
[基础小题练]
(图中箭头指向表示投篮
1•趣味投篮比赛中,运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上,相对平台静止,向平台圆心处的球筐内投篮球.则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐
方向)的是(
【解析】
◎
A
当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向,
球就会被投入球
筐.故C正确,
A、B、D错误.
【答案】
2•下列图中实线为河岸,河水的流动方向如图向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是(
v的箭头所示,虚线为小船从河岸M驶
【解析】船头垂直于河岸时,船的实际航向应斜向右上方,
何岸»
I)
A正确,C错误;船头斜
向上游时,船的实际航向可能垂直于河岸,B正确;船头斜向下游时,船的实际航向一定斜
向下游,D错误.
【答案】AB
3.(2018衡阳联考)如图所示,当汽车静止时,车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向速运动•现从t=0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动,甲种状态启动后ti时刻,
OE匀
乘客看到雨滴从B处离开车窗,乙种状态启动后t2时刻,乘客看到雨滴从F处离开车窗,F
为AB的中点•贝Uti:
t2为()
D.1:
(.2-1)
【解析】雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动,
其速度大小与水平方向的运动无
ARAF
关,故t1:
t2=—:
—=2:
1,选项A正确.
vv
【答案】A
4.有甲、乙两只船,它们在静水中航行速度分别为
V1和v2,现在两船从同一渡口向河
对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点
恰好相同.则甲、乙两船渡河所用时间之比t2■为()
V2
V1
A.—
B.
V1
V2
2
2
V2
V1
C.2
D.
2
V1
V2
2
【解析】
当V1与河岸垂直时,甲船渡河时间最短;乙船船头斜向上游开去,才有可
能航程最短,由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸),可见乙船在
静水中速度v2比水的流速v0要小,要满足题意,则如图所示.由图可得£=—sin0①
t2V1
V°q
tan0=③
V1
由②③式得v2=sin0,将此式代入①式得*
V1t2
【答案】C
5•自行车转弯时,可近似看成自行车绕某个定点为自行车转弯时的俯视图,自行车前、后两轮轴前轮所在平面与车身间的夹角0=30°此时轮轴
2
V2
飞
V1
0(图中未画出)做圆周运动,如图所示
A、R相距L,虚线表示两轮转弯的轨迹,
R的速度大小V2=3m/s,则轮轴A的速度
V1大小为()
A.
3,3
~2~
m/s
B.2,3m/s
C..3m/sD.3.3m/s
【解析】将两车轴视为杆的两端,杆两端速度沿杆方向的投影大小相等,有Vicos30
=v2,解得v1=2/3m/s,B正确.
【答案】B
6.(2018山东济南一中上学期期中)如图所示,汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A.汽
车匀速向右运动,在物块A到达滑轮之前,关于物块A,下列说法正确的是()
A.将竖直向上做匀速运动
B.将处于超重状态
C.将处于失重状态
D.将竖直向上先加速后减速
【解析】Va=V车cos0,v车不变,B减小,VA增大,由T—mAg=ma知T>mAg,物块
A处于超重状态,B对.
【答案】B
[创新导向练]
7.生活科技一一曲线运动的条件在飞行中孔明灯的应用
春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福,如图甲所示,孔明灯在竖直Oy方向做匀
加速运动,在水平Ox方向做匀速运动,孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的()
C.曲线OCD.曲线OD
【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动,则合外力沿Oy方向,在水平Ox方向
做匀速运动,此方向上合力为零,所以合运动的加速度方向沿Oy方向,但合速度方向不沿
Oy方向,故孔明灯做曲线运动,结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD,故D正
确.
【答案】D
&体育运动一一足球运动中的力学问题
在足球场上罚任意球时,运动员踢出的足球,在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门,
守门员“望球莫及”,轨迹如图所示•关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向,
下列说法中正确的是()
A.合外力的方向与速度方向在一条直线上
B.合外力的方向沿轨迹切线方向,速度方向指向轨迹内侧
C.合外力方向指向轨迹内侧,速度方向沿轨迹切线方向
D.合外力方向指向轨迹外侧,速度方向沿轨迹切线方向
【解析】足球做曲线运动,则其速度方向为轨迹的切线方向,根据物体做曲线运动的
条件可知,合外力的方向一定指向轨迹的内侧,故C正确.
【答案】C
9.生活科技一一教具中的运动合成与分解的原理
如图所示为竖直黑板,下边为黑板的水平槽,现有一三角板ABC,/C=30°三角板上
A处固定一大小不计的滑轮•现让三角板竖直紧靠黑板,BC边与黑板的水平槽重合,将一
细线一端固定在黑板上与A等高的Q点,另一端系一粉笔头(可视为质点).粉笔头最初与C重合,且细线绷紧.现用一水平向左的力推动三角板向左移动,保证粉笔头紧靠黑板的同时,
紧靠三角板的AC边,当三角板向左移动的过程中,粉笔头会在黑板上留下一条印迹.关于此印迹,以下说法正确的是()
A.若匀速推动三角板,印迹为一条直线
B.若匀加速推动三角板,印迹为一条曲线
C.若变加速推动三角板,印迹为一条曲线
AC边成75。
角
D.无论如何推动三角板,印迹均为直线,且印迹与
【解析】
CD所示,A正
在三角板向左移动的过程中,粉笔头沿AC边向上运动,且相对于黑板水平方向向左运
动,由于两个分运动的速度始终相等,故粉笔头的印迹为一条直线,如图中
确,B、C错误;根据图中的几何关系可得,/ACD=ZADC=180—30=75°D正确.
【答案】AD
10.科技前沿一一做曲线运动的波音737飞机
如图所示,从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场,若飞机在降
落过程中的水平分速度为60m/s,竖直分速度为6m/s,已知飞机在水平方向做加速度大小
等于2m/s2的匀减速直线运动,在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动,
则飞机落地之前()
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在第20s内,飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D.飞机在第20s内,水平方向的平均速度为21m/s
【解析】由于合初速度的方向与合加速度的方向相反,故飞机的运动轨迹为直线,
—v0xt19+*axt19=21m,
错误;由匀减速运动规律可知,飞机在第20s末的水平分速度为20m/s,竖直方向的分速
竖直位移y=V0yt20+尹
度为2m/s,B错误;飞机在第20s内,水平位移x=v0xt20+
9+^ayt?
9=2.1m,C错误.飞机在第20s内,水平方向
的平均速度为21m/s,D正确.
【答案】D
[综合提升练]
11•如图甲所示,质量m=2.0kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动,已知物
体沿x方向和y方向的x-t图象和Vy-t图象如图乙、丙所示,t=0时刻,物体位于原点O.g取10m/s2.根据以上条件,求:
y/m
(1)t=10s时刻物体的位置坐标;
⑵t=10s时刻物体的速度大小.
【解析】
(1)由图可知坐标与时间的关系为:
在x轴方向上:
x=3.0tm,在y轴方向上:
y=0.2t2m
代入时间t=10s,可得:
2
x=3.0x10m=30m,y=0.2x10m=20m即t=10s时刻物体的位置坐标为(30m,20m).
⑵在x轴方向上:
V0=3.0m/s
当t=10s时,vy=at=0.4x10m/s=4.0m/s
2y
V+
20
V
.:
;3.02+4.02m/s=5.0m/s
【答案】
(1)(30m,20m)
(2)5.0m/s
12.如图所示,在竖直平面内的xOy坐标系中,Oy竖直向上,Ox水平向右.设平面内
存在沿x轴正方向的恒定风力.一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出,初速度为v°=
2
4m/s,不计空气阻力,到达最高点的位置如图中M点所示(坐标格为正方形,g=10m/s)
求:
(1)小球在M点的速度vi;
⑵在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N;
⑶小球到达N点的速度V2的大小.
【解析】
(1)设正方形的边长为x°.
竖直方向做竖直上抛运动,有V0=gb,2x0=
水平方向做匀加速直线运动,有3x0=?
打.
解得V1=6m/s.
(2)由竖直方向的对称性可知,小球再经过t1到x轴,水平方向做初速度为零的匀加速
直线运动,所以回到x轴时落到x=12处,位置N的坐标为(12,0).
⑶到N点时竖直分速度大小为vo=4m/s
水平分速度vx=a水平tN=2v1=12m/s,故V2=pv0+v2=4寸10m/s.
【答案】
(1)6m/s
(2)见解析图(3)4,10m/s