自动控制原理孟华第3章习题解答.docx
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自动控制原理孟华第3章习题解答
自动控制原理（孟华）第3章习题解答
自动控制原理（孟华）的习题答案。
3.1.已知系统的单位阶跃响应为
c（t）10.2e60t1.2e10t
试求：
（1）系统的闭环传递函数Φ（s）=？
（2）阻尼比ζ=？
无自然振荡频率ωn=？
解：
（1）由c（t）得系统的单位脉冲响应为g（t）12e60t12e10t
（t0）
（s）L[g（t）]12
__
122s10s60s70s600
2
n
（2）与标准（s）2对比得：
2
s2nn
n60024.5，
702600
1.429
3.2.设图3.36（a）所示系统的单位阶跃响应如图3.36（b）所示。
试确定系统参数K1,K2和a。
（a）（b）
图3.36习题3.2图
解：
系统的传递函数为
K1
2nK1K2s（sa）
W（s）K22K22
K1sasK1s2nn
1
s（sa）
又由图可知：
超调量Mp
431
33
峰值时间tp0.1s
自动控制原理（孟华）的习题答案。
代入得
2
nK1121
e
3
0.12nKK2
解得：
ln3
2；0.33，n
102
2
33.3，K1n1108.89，
a2n20.3333.321.98，K2K3。
3.3.给定典型二阶系统的设计性能指标：
超调量p5%，调节时间ts3s，峰值时间tp1s，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解：
设该二阶系统的开环传递函数为
2
n
Gs
ss2n2
0.05pe
3
3则满足上述设计性能指标：
tsn
t1p2
n
得：
0.69，n1n
2
由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：
自动控制原理（孟华）的习题答案。
3.4.设一系统如图3.37所示。
（a）求闭环传递函数C（s）/R（s），并在S平面上画出零极点分布图；（b）当r（t）为单位阶跃函数时，求c（t）并做出c（t）与t的关系曲线。
图3.37习题3.4图
解：
（a）系统框图化简之后有
C（s）2s
2R（s）s0.5s2.25
2s
（s
35j）（sj）22
z12,s1,2
零极点分布图如下：
35j2
自动控制原理（孟华）的习题答案。
（b）若rt为单位阶跃函数，Lrt
1
，则s235）4
1s2
354
1C（s）
s
2s
（sj）（sj）
22
s（s2
35
88s1818s2
35s__s222
35（s2）s2s（）s（）
4422
c（t）
882costsint__-__
大致曲线图略。
3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为
2nC（s）
2
R（s）s22nsn
分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。
（1）=2，n=5s1；
（2）1.2，n=5s1；
（3）说明当≥1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。
解：
（1）（=2）1,闭环极点s1,2nn1105
2
W（s）
C（s）25
2
R（s）s20s25
C（s）W（s）R（s）
251
2
s20s25s
T1
1
n（21）
tT1
11
T2
5
（2）5
（2）
eee5（23）te5（23）t
c（t）11
T211T12164364t
T2
自动控制原理（孟华）的习题答案。
s11.34,s218.66|s2/s1|13.95
e5（23）t
c（t）111.07735e1.34t
643
ts2.29s
（2）（=1.2）1,闭环极点s1,2nn1650.44
2
W（s）
C（s）25
2
R（s）s20s25
T1
tT1
11
T2
5（1.20.44）5（1.20.44）
t
T2
eee5（1.20.44）te5（1.20.44）t
c（t）11
T211T1211.20.441.20.44
11
1.20.441.20.44
s1650.442.68,s29.32
ts
1
（6.451.7）（6.451.21.7）1.2sn5
2
1
（3）答：
1.5时，s1,2nn17.55.25。
s11.91，
s213.09，|s2/s1|6.855，两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点
对应的暂态分量初值小、衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因
此可以忽略掉。
2n
3.6.设控制系统闭环传递函数为G（s）2，试在S平面上绘出满足下列各2
s2nsn
要求的系统特征方程式根可能位于的区域：
（1）1≥0.707，n≥2
（2）0.5≥0，4≥n≥2
自动控制原理（孟华）的习题答案。
（3）0.707≥0.5，n≤2
3.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，
图3.38习题3.7图
1200r/min的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。
提示：
注意
（s）K
=，其中（t）d，单位是rad/s
dtV（s）sa（s）K
=可得V（s）sa
解：
由式
（s）
__V（s）sasasa
11
s（s1）a
10K11
（）assa
10Kat
（t）（1e）0（1eT）
a
t
（1.2）0（1e1.2a）0.50（1e1.2a）0.5
a
ln2
0.581.2
10K
01200rmin20r/sak
a00.5820
1.161010
电机传递函数为：
G（s）
（s）K1.16V（s）s（sa）s（s0.58）
自动控制原理（孟华）的习题答案。
3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。
（1）s3s3s2s20
（2）0.02s30.3s2s200
（3）s52s42s344s211s100（4）0.1s41.25s32.6s226s250答案：
（1）劳斯表如下：
4
3
2
s4s3s2s1s0
__
272
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定
（2）劳斯表如下：
s3s2s1s0
0.0210.320
320
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（3）劳斯表如下：
s5s4s3s
2
12__
2610
11
4410
s1s0
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定（4）劳斯表如下：
自动控制原理（孟华）的习题答案。
s4s3s2s1s0
0.12.6251.__.52
25
劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定
3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是
1
G（s）
s（0.1s1）（0.2s1）采用比例控制器，比例增益为Kp，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。
图3.39习题3.9图
解：
G（s）
Kp
s（0.1s1）（0.2s1）
3
2
特征方程为：
D（s）0.002s0.3ssKp0劳斯表如下：
s3s2ss
10
0.0020.3
0.30.002Kp
0.3Kp
1Kp
0.30.002Kp0
要使系统稳定只需，解得0Kp150。
0.3
Kp0
3.10.某控制系统的开环传递函数为G（s）H（s）
K（s1）
s（Ts1）（2s1）
试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。
解：
由系统开环传函可知
自动控制原理（孟华）的习题答案。
D（s）s（Ts1）（2s1）K（s1）2Ts（2T）s（K1）sK0
劳斯表如下：
3
2
s3s2s1s0
2T2T
2K（1K）T2
2TK
K1K
由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。
若第一列元素均大于0，即
T0
2T0
2K（1K）T20K0
解得
K0，2（K1）（K1）T
当K1时0T
2（K1）
，当0K1时,T0。
K1
3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为K*（s1）
（1）G（s）
s（s1）（s5）K*
（2）G（s）
s（s1）（s5）
试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K≠K*ぃ解：
（1）D（s）0.2s0.8s（K1）sK0
3
2
s3
劳斯表如下：
0.20.83K44K
K1K0
s2s
1
s0
自动控制原理（孟华）的习题答案。
解得：
使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围K
（2）D（s）0.2s30.8s2sK0
4。
3
由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。
3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为
K
G（s）
s（1s/3）（1s/6）若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?
如果要求实部均小于2，情况又如何?
解：
由反馈系统的开环传函
G（s）
K18K
ss
s
（1）
（1）s（s3）（s6）
36
D（s）s39s218s18K0
（1）令sz1,得：
劳斯表如下：
D（z）（z1）39（z1）218（z1）18Kz6z3z18K100
3
2
z3z2z1z0
13
618K10
2818K
618K10
欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：
2818K0514
得K
9918K100
（2）令sz2,得：
D（z）（z2）39（z2）218（z2）18Kz3z6z18K80
3
2
如果要求实部均小于2，由特征方程可见，a260，系统稳定的必要条件不成立，无论K取何值，系统都不稳定。
3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G（s）
4s（s22s2）
自动控制原理（孟华）的习题答案。
（1）求系统的单位阶跃响应；
（2）输入信号为r（t）=1（t），求系统的误差函数e（t）；（缺答案）（3）能否求系统的稳态误差，为什么？
解：
（1）开环传递函数G（s）
4
s（s22s2）
闭环传递函数W（s）单位阶跃响应
44
22
s（s2s2）4（s2）（s2）
C（s）
K2sK3K141K0
ss2（s22）（s2）ss22
1
K01，K1
32
K2K3
3
112s__s22
C（s）222
ss23s2s3s23s23s2
122
c（t）1e2tcos2tsin2t
333
（3）不考虑扰动作用
r（t）1（t）
G（s）
2
2
s（0.5ss1）
KplimG（s）
s0
essr
11
01Kp1
3.14.某控制系统的结构图如图3.40所示。
（1）当a=0时，试确定系统的阻尼比ζ，无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
自动控制原理（孟华）的习题答案。
（2）当系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
（3）若要保证系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707），且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少？
解：
（1）当a=0时，G（s）
图3.40习题3.14图
8821
，W（s）2，n，
s2s8s（s2）2nKvlimsG（s）4，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr
s0
1
0.25。
Kv
（2）当ζ=0.707时，G（s）
88
，W（s）2，n，
s（s28a）s（28a）s8
2n2
28
，KvlimsG（s）2，428a，得a0.25，G（s）
s0s（s4）2
1
0.5。
Kv
单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr
（3）此时G（s）
KK
，W（s）2
s（s2Ka）s（2Ka）sK
KvlimsG（s）
s0
K
4
2Ka
2n2
联立上两式解得
2
K2Ka2
3。
16
K32，a
3.15．已知单位反馈系统闭环传递函数为
b1sb0C（s）
4R（s）s1.25s35.1s22.6s10
（1）求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b0,b1应满足的条件；
（2）在
（1）求得的参数b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。
解：
（1）等效单位负反馈开环传递函数
自动控制原理（孟华）的习题答案。
G（s）
b1sb0
432
s1.25s5.1s（2.6b1）s10b0
根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得：
b0102.6s10
即开环传递函数为G（s）22
b2.6s（s1.25s5.1）1
（2）单位抛物线输入时
s2（2.6s10）10
KalimsG（s）lim22
s0s0s（s1.25s5.1）5.1
2
e
ssr
C5.1
Ka10
3.16.系统结构图如图3.41所示。
（1）当r（t）=t，n（t）=t时，试求系统总稳态误差
（2）当r（t）=1（t），n（t）=0时，试求p,tp。
图3.41习题3.16图
解：
（1）
参考作用下的误差传递函数为
N（s）0,Er（s）
1
R（s）
1G（s）
141
s（2s1）
R（s）
稳态误差为
essr
或
2s2s1
limsEr（s）lims220.25s0s02ss4s
KvlimsG（s）lims
s0
s0
4
4
s（2s1）
essr
10.25Kv
扰动作用下的误差传递函数为
自动控制原理（孟华）的习题答案。
R（s）0,En（s）
1
N（s）
1G（s）
11
s（2s1）
N（s）
稳态误差为
essn
2s2s1
limsEn（s）lims
（2）20.25s0s02ss4s
系统总误差为
essessressn0
（2）当r（t）=1（t），n（t）=0时，G（s）
4，
s（2s1）
n2G（s）42
W（s）222
2
1G（S）2ss4s0.5s2s2nsn
n2
解得：
1
42
1
2
pe
tp
100%e
31
n2
2
1
32
4
31
3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为
100
おG（s）お
s（0.1s1）
试求当输入信号r（t）=12tt2时，系统的稳态误差。
解：
系统为I型系统
KvlimsG（s）lims
s0
s0
100
100，Kp,Ka0
s（0.1s1）
自动控制原理（孟华）的习题答案。
ess
ABC
00.02
1KpKvKa
3.18.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定，图3.42（a）、（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。
（a）（b）
图3.42习题3.18图
（1）若r（t）1（t），n（t）0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？
（2）当有阶跃扰动n（t）0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。
解：
（1）
1
Rs
10s1
达到稳态温度值的62.3%需时T10
1
Rs闭环：
Cs
0.1s1
达到稳态温度值的62.3%需时T0.1
开环：
Cs
（2）
1
Ns
10s1
1
Ns闭环：
Cs
10s100
开环：
Cs
各项指标不变。
又解：
can（t）=0.1，加干扰后对系统始终有影响；
cbn（t）=0.1e-10t，加干扰后，当t趋于无穷时，对系统没有影响。
结论：
反馈结构可以消除干扰的影响。
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