届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题解析版.docx

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届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题解析版

2021届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1.设集合A={x\x>3}tB=

A.（1,3）B.[1,3]C.（3,4）D.[3,4）

【答案】B

【解析】求出B中不等式的解集确泄出B,找出QA与B的交集即可.

【详解】

由—<0W（a：

-1）Gv-4）<0Kx-4^0,

x-4

解得l

所以3=[1,4）,

因为A={xh>3},

所以Ca.A=（-°o,3],

所以（加）n民[1,3],

故选:

【点睛】

本题主要考查了集合的补集，交集运算，分式不等式求解，属于中档题.

2."sinx=丄”是"x=2k;r+兰（keZ）M的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】sinx=]oa=2k兀+乡伙wZ）或x=2k兀+学仗wZ）,从而明确充分性

266

与必要性.

【详解】

由sinx=丄可得：

x=2k7t+—（kvZ）或x=2£龙+迺伙eZ）,

266

龙.1

即x=2k兀+—（kwZ）能推出sinx=-9

但sinx=—推不岀x=2kn+—（keZ）

17T

•「sinx=-'堤—=2炽+—伙wZ）"的必要不充分条件

故选B

【点睹】

本题考査充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.

3.下列函数既是奇函数，又在区间（0,1）上单调递减的是（）

A.f（x）=xB./（x）=-|x+l|

C./（x）=lnl—D・/（x）=2r+2-v

1+x

【答案】C

【解析】试题分析：

由奇函数排除B、D,在区间（0,1）±单调递减排除A.故选C.

【考点】U函数的奇偶性：

2、函数的单调性.

2ti1冗

4.已知tan（a-#）=-,tan（a+—）=-,则仙“+―）等于（）

5444

【答案】C

求解即可.

【详解】

解：

由题可得,

一（a—0）

tan

-tan（a-0）1-3

【答案】B

【解析】本题主要考查利用平而向量数量积讣算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由（方-初丄5得出向^a,b的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.

【详解】

因为（方-初丄石,所以Ct-b}b=ab-b=0*所以方•乙=产，所以

a-bl/?

l21打

C0S6，=TT=*所以忌与弘的夹角为亍’故选氏

【点睹】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求岀夹角，注意向量夹角范围为[0,71],

6.设ABC的边BC的延长线上一点，BC=3CD，则（）

A.AD=-AB--ACB.AD=-AB+-AC

3333

■■■■■■•I]■■■■•

C.AD=—AB+-AC33

【答案】C

【解析】利用平而向量基本左理，把而，花作为基底，再利用向量的加减法法则把向

量而用基底表示出来即可.

【详解】

因为BC=3CD‘所以CD=—BC=—（AC—AB）故选：

【点睛】

此题考査了平而向量基本立理和向量的加减法法则，属于基础题.

7.已知定义在R上的函数几丫）满足/（・x）=f（x）t且函数沧）在（・oo,0）上是减函数，若

（2\\

u=f2cos£/r,b=flog,4.1,c=/（208）则心b,c的大小关系为（）

I、）\2J

A.a

【答案】A

【解析】根据题意，由偶函数的左义可得函数f（x）为偶函数，结合偶函数的性质可得

«=/（2cos^）=/（2cos^）=/

（1）,^=/（/^,4.1）=/（log24.1）t进而分析可得才（劝在332

（0,+co）上为增函数，又|iil<208<2

【详解】

根据题意,函数f（x）满足/（-X）=/（A-）,则函数/（X）为偶函数，

«=/（2cos^）=/（2cos^）=/

（1）,^/（^14.1）=/（log24.1）,“丹）,

33*2

又由函数/'（X）在（YO,0）上是减函数，则/（X）在（0,+8）上为增函数，

且l<2°<2

贝lj"

故选:

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查指数对数大小的比较，意在考査学生对这些知识的理解掌握水平.

X（ex—x>0

&设函数\r•一，若函数g（x）=/a）-处恰有两个零点，-x2-2x-4,x<0

则实数d的取值范围为（）

A.（0,2）B.（0,2]C.（2,+x）D.[2,+oo）

【答案】A

【解析】根据题总，x=0是函数g（x）=f^）-ax的一个零点，故问题转化为当xhO

时，y=«与y=图象必有一个交点，再根据导数研究y性质，数形结

合求解即可得答案.

【详解】解：

根拯题意•函数g（X）=/（X）-O¥恰有两个零点

由于当x=0时,g（0）=/（0）_0=0,故x=o是函数g（x）=f（x）-ax的一个零点,

所以当xho时，与），=丄⑴图象必有一个交点,

当x>0时，y=Q—厂，y，=e*+厂〉o,故函数）,=丄巴在[0,”D）上单调递增,X

444—xzX

当xvO时，y=—X-—-2,卩=一1+「=一，所以当xv（y,_2）时，函数XJTA"

y=D单调递减，当xe[-2,0）是单调递增;

所八•凹J;5函数图象如图,

x-x-—-2,x<0

由图可知，若y=d与y=图象必有一个交点，贝Mw（0,2）.

故选：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查数形结合思想与化归转化思想，是中档题.

71°

9.已知函数/（x）=2sin（^v+-）（ro>0）的图象在区间［0,1］上恰有3个最高点，则少的取4

值范围为（）

「19龙27兀）

513龙、

L44丿

.2'2丿

17龙25/r）r4、

—D.［4龙,6刃

【答案】C

【解析】根据区间［0,1］,求岀3•卄一的范围，由于在区间［0,1］上恰有3个最髙点，

建立不等关系，求解即可.

【详解】

函数/（X）=2sin（o）a+—）（3>0）,

717171

V.v€［0>1］上，/•cox+—G［—*°—］t

444

图象在区间［0,1］上恰有3个最高点，

•4兀/兀厶兀“生17龙<25兀

••4龙+—Se+—v6龙+—,解得：

24244

故选：

【点睛】

本题考査正弦函数的图象和性质的应用，考查整体代换的思想，属于基础题.

二、填空题

10.二项式fx2-4j展开式中的常数项为

【答案】40

【解析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0,得到相应的

£，从而可求岀常数项.

【详解】

解：

展开式的通项公式为：

7；+严C；（F厂（_三、=（-2）'C>,0-5\\XJ

令10—5R=0,得R=2

所以常数项为：

7；+1=（-2）2C^=40.

故答案为：

40.

【点睛】

本题主要考查了二项式左理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考査了计算能力，属于基础题.

11.函数/（x）"sin（g+0）（A＞O,。

＞0,岡＜£）的部分图象如图所示，则*0啲值为

【答案】_氐

【解析】由图可得/（X）的周期、振幅，即可得人少，再将（兰,0）代入可解得0,进一6

步求得解析式及/（0）.

【详解】

由图可得心2,W，所以7-心牛即妇2,

又/（—）=0,即2sin（2x—+^?

）=0,—+cp=k兀、keZ,'663

又l0lv£，故歼-牛所以/（x）=2sin（2x--）,/（0）=2sin（-^）=-^.

2333

【点睛】

本题考査由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.

【答案】9

112

【解析】先利用平方差公式和a+b=l得出（-+1）（-+1）,再去括号、通分得岀—+1,abab

2根据a+b=\和基本不等式可求出ab的最大值，即千+1的最小值.

【详解】

（4_1）（穆_1）=（丄+1）（-_1）（；+1）（；_1）crZraabb

1,l-i/l\-b1b\a

=（—+1）——（-+1）-—=（-+l）-（-+l）-aabbaabb=（丄+i）（丄+i）=_L+±+i=Z+i,abababab

•/«+Z?

ci+b》2jub,H卩1$2jub‘

/.ab<—,

—+l>9t当且仅当a=b=-时，取得等号，

ab2

即（丄-1）（丄-1）的最小值是9・a-b~

故答案为：

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，利用a+b=\这个条件进行转化是关键，属于中档

题.

13.设函数/（x）=2sin

增区间为•

【答案】

（"Z）

【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式，将函数转化为/（x）=]cos2x+],然后利用余弦函数的性质，令-7T+2k7T<2x<2込求解.

【详解】

（3〃\（托、

函数/（x）=2sin—-xcos（^+x）+sin2—-x,

i2丿\2）

=3cos2x=—cos2x+—,

令-Tr+lkTt<2x<2k兀,

解得一巴+k兀5x5k汀，

所以/（x）的单调递增区间为一壬+S后（"Z）,

故答案为：

-彳+R化炽（kwZ）

【点睹】

本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14.在等腰梯形中，AB//CD,AB=2,AD=1,NDAB=60,若BC=3CE,

AF=XAB>KaEDF=-1»则A.=_.

【答案】7

【解析】依题意得AB//CD.AB=2；AD=BC=1,^DAB=ZABC=60・

•BC=3CE

5E-DA=-BC-DA=-|bc|-|da|cos120°=--

AF=AAB

DF=-\

Z5F=（AB+BE）（Z5a+AF）=ASZM+ABAF+BErn+BEAF==2xlxcosl20°+2x2/l-ix-^=-l

・・・r

故答案为丄.

三.解答题

（1）求/（x）的最小正周期；

7171

（2）若将/（X）的图象向左平移二个单位，得到函数gg的图象，求函数g（x）在区间0.-上的最大值和最小值.

【答案】

（1）兀

（2）1；-2

【解析】

（1）利用倍角公式及诱导公式化简，然后由周期公式求周期：

（2）由三角函数的图象平移得到函数的解析式，结合x的范用求得函数g（x）在区间［0,兰］上的最大值和最小值.

【详解】

（1）f（x）=2>/3sin（x+—）tos（x+—）—sin（2x+3/r）

—sin2x+—cos2x）=2sin（2x+—）・

223

・・・/（x）的最小正周期为——=托；

⑵由已知得g（x）=/（x+f）=2sin[2（x+t）+f]

=2sin（2a,'+—H—）=2cos（2x4—）,

vxe[0,—],

故-'12x+—=^，即x=—时，g（x）,”i”=g（亍）=一2：

当2x+7=p即乳=0时，（彳）=1.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换及其应用，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函

数的最值，属于中档题.

16.在公ABC的内角A,8,C的对边分别是M,c,满足一i_=l_——Sm—a+csinA+sinB

（1）求角A的值；

（2）若a=3,b=2近,求sin（2B+A）的值.

【答案】

（1）A=-；

（2）2炉近

【解析】

（1）根据已知条件，由正弦泄理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理

求解；

（2）由正弦左理求得应并根据边的大小关系判立B为锐角，然后利用倍角公式和

两角和的正弦公式计算.

【详解】

btsinC

解:

（1）J=1

a+csin4+sin3

由正弦定理得，——=1

a+ca+b

化简得，b2+c2-a2=bc・

由余弦立理得，cosA=—=[

2bc2

又0v4＜龙，

兀

A=—.

（2）由

（1）知，A=—f

又d=3,b=2迈,・・.sinB=^U=^・

2^2sin2B=2sinBcosB=———

cos2B=l-2shrB=-l,sin2Bcos—+cos2Bsin—=

【点睛】

本题考査正余弦左理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中等

难度的题目•关键是熟练利用正弦左理，余弦圧理和三角恒等变形计算.

17.在四棱锥P-ABCD中，PQ丄平面ABCD,AB//DC9AB丄AD,

DC=AD=\9AB=2,ZPAD=45°9E是P4的中点，F在线段AB且满

足CFBD=0・

（1）求证：

DE\\平面PBC；

（2）求二面角F-PC-B的余弦值；

（3）在线段Q4上是否存在点0,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是若存

在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）见解析：

（2）纟；（3）2

310

【解析】【详解】

分析：

该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，用

线而平行的判左立理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平而的法向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平而的法向量所成角的余弦值来求得，第三问假设苴存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可.

详解：

（1）iiE明：

取阳的中点M,AB的中点N.连接EM和CM,

ACDHAB且

•••E，M分别为P4，阳的中点.

EW〃初且EM=-AB

.EM//CD負EM=CD，四边形CDEW为平行四边形，

・DE〃CM、CMu平而PBC,£>E

・•.DE||平而BPC.

（1）由题意可得DA，DC,DP两两互相垂直，如果，以D为原点，D4，DC,DP

分别是X,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则

设平而PBC的法向虽:

为/n=（x,y,z）

BC=（-l,-l,0）,CP=（O,-l,l）

历.EC==0.\x=-y

m・CP=-y+Z=0[y=Z

‘：

•m・DE=0>•:

DE丄m

.DE〃平面PBC

（2）设点F坐标为（1昇，0）

则CF=（l,r-l,O）,血=（1,2,0）,

由乔•丽=0得『=*，•••F（l，*'°

m-n=-l+2+2=3

n|L-\亓•历3

则◎"〃沪丽=远=丁又由图可知，该二面角为锐角故二而角—的余弦值呼

_-一_（

（3）设AQ=AAP=（-A,0,2）,2g[0,1],:

.F^Q=FA+AQ=一兄，一牙,

•••亓.耳=兄一1

讥与平而PFC所成角的余弦值是◎其正弦值为晳

2022+82-1=0.解得：

A=-^

存在满足条件的点0‘入0=（一77?

，°，77?

'且|^（2|=

k1010丿1〜10

点睛：

在解决立体几何问题时，尤苴空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用而的法向量所成角来求二而角的时候，一沱需要分淸楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有.

18.

若函数/aX（sinx+dg）在冷彳|上单调递增，求实数a的取值范围.

恒成立即可

【详解】由/（x）=^r（sinx+6/cosx）=>ff^x）=ex[sinx+cosx+o（cosx-sinx）],要使

/（x）在区间py单增，即f\x）>0在区间彳冷恒成立,

当x=-时恒成立:

sinx+cosxtanx+1一2

a<==1+

sinx-cosxtanx-1tanx-1

—时，1+1,故1+——-——G（l,+co）,故a<\\

2tanx-1tanx-1

当*彳时，*1,综上所述，a<\故答案为：

a<\

【点睛】

本题考査利用导数和函数在左区间的单调性求解参数取值范用，属于中档题

19.已知函数f（x）=Inx.g（x）=A+-1,（a9bWR）

（1）当g・i,b=0时,求曲线y=f（x）-g（x）^x=i处的切线方程：

（2）当归0时，若对任意的xe[l,2],沧）+g（x*0恒成立，求实数4的取值范围;

（3）当fl=o,b〉o时，若方程/（x）=g（x）有两个不同的实数解EX2（X1

Xl+X2>2.

【答案】（I）x+y-3=o

（2）[二+8）（3）证明见解析

【解析】

（1）求出y=/（x）-g（x）的导函数,求出函数在x=l时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写岀切线的方程；

（2）对Vxefl,2],f（x）+g（x）^O都成立，则对Vxe[l,2],a^-x2/nx+x2,恒

成立•构造函数/i（x）=-x2lnx+x2（1^2）,求出〃⑴的最大值可得d的范围；

（3）由f（x）=g（x）,得lnx-bx+l=0,构造函数F（x）=lnx-bx+l（x>0）,将问

题转化为证明F（--x1）>0=F（x1）,然后构造函数证明b

F（--xl）>F（xJ=0=F（x.）即可.

【详解】

（1）当d=—l时，b=0时,

t12

・・y>

••当x=i时，y=-it

・・・曲线y=/（Q—g（x）在x=i处的切线方程为兀+y—3=o：

（2）当b=0时,对Vxe[l,2],/（x）+g（x）20都成立,则对Va-€[1,2],a^-x2lfix+x2恒成立，

令h（x）=-x2lnx+兀2（1Q02）,则卅（兀）=-2xlnx+x.

令hf（x）=0,则x=>[e.

・••当lvxvQ畑>0,此时/心）单调递增:

当^

••吨，

的取值范围为[彳,T

（3）当°=0,/?

>0时，由fM=g（x）,得lnx-bx+l=09

方程fM=g（x）有两个不同的实数解册,x2（x}0）,则F（x））=F（x2）=0,Ff（x）=——b,

令F\x）=0,则x=-,

・••当0vxv丄时，F\x）>0,此时FW单调递增：

当x〉丄时，F\x）<0,此时F（x）bb

单调递减，

••-F（x）吨=F（》>0,

又F（l）=--<0,F

（1）=l-Z?

>0,

・・Xi>—,

222

・•・只要证明左〉一一x「就能得到片+〔>—>2，即只要证明F（^-xI）>O=F（xI）,bbb

221

令G（x）=F（—-x）-F（x）=In{—一x）-Inx+2bx-2（0<-）,

bbb

<0,

则G'（x）=

・•・G（x）在（0丄）上单调递减，则G（x）>G（-）=F（---）-F（-）=0,bbbbb

・•・G（xx）=F（--Xj）-F（x}）>0,

.・・F（--xl）>F（Xj）=0=F（X2）,

/.x,>—x,

2b1

即X,+X2>2,证毕.

【点睛】

本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考

查函数思想和分类讨论思想，属难题.

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