平面向量高考试题精选含详细答案.docx
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平面向量高考试题精选含详细答案
平面向量高考试题精选
（一）
.选择题（共14小题）
1.（2015?
可北）设D为厶ABC所在平面内一点，肘一「「，则（）
~*1—►4—*—*1—*d—*
A.•B.；/--■
C.「JD.「''
2.（2015?
畐建）已知^，若P点是△ABC所在平面内一点,
t
且.''：
'，则-'•-的最大值等于（）
IAB||AC|
A.13B.15C.19D.21
■ii■■
|.「|=6,|二1|=4,若点M、N满足—:
V,
、；—•’「，则小-/=（）
A.20B.15C.9D.6
4.（2015?
安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量b-满足一=2「'=2i+：
，,
则下列结论正确的是（）
=*=*=*■=*—*
A.|J=1B.|丄，C.i?
b=1D.（4i+，）丄3：
A.丨r冃忙'IB.丨.-；ML丨：
'||
夹角为（）
7.（2015?
重庆）已知非零向量…•满足IT=4|丄且•丄（八「」）则花一.二的夹角为（）
A.〒B.丁C.「厂D.'「
3236
&（2014?
湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1,0）,B（0,V3）,C（3,0）,
动点D满足|丨||=1，则|示+丨.+丘的取值范围是（）
A.[4,6]B.站〕I-1，甘1E+1]C.[2:
2]D.[-1,+1]
9.（2014?
桃城区校级模拟）设向量…满足才-■■1-1,・._,<
g-；>=60°则|；|的最大值等于（）
A.2B.'；C.■:
D.1
10.（2014?
天津）已知菱形ABCD的边长为2,ZBAD=120°点E、F分别在边BC、DC上，二—X-:
；7;=卩二若.■■.■■'.^■■'=1，刁？
I=-y廿尸（）
3
1257
A.-B.'C.二D.
2
11.（2014?
安徽）设1,「为非零向量,
3612
]-F2]计，两组向量・,',、,、和「.，…一，
「，
，均由2个•和2个排列而成，若「？
”.+,.?
“+：
「？
「+,.?
.•:
所有可能取值
r\
D.0
中的最小值为4|i|，贝U1与•'的夹角为（）
12.（2014?
四川）平面向量
a=（1,2）,b=（4,2）,c=m^+b（m€R）,且右与◎的夹角等
于与b的夹角，贝Um=（）
A.-2B.-1C.1D.2
13.（2014?
新课标I）设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则无'+兀=
（）
—1—*—*1—*
A.小B.小C.<'D.:
'
22
14.（2014?
福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平
B.21'C.3fD.4i"
面内任意一点，则
二.选择题（共8小题）
15.（2013?
浙江）设.一、为单位向量，非零向量：
〔=x.「+y..,x、y€R•若.的夹角为30°则丄丄的最大值等于
Ib|
16.（2013?
北京）已知点A（1,
D的面积为
1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面区域D由所有满足
AP=^AB+^AC（1w/2手0<^1）的点P组成，则
17.（2012?
湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP丄BD，垂足为P,且AP=3，则
三-<=
18.（2012?
北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点U「I，的值
为.
19.（2011?
天津）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ZADC=90°AD=2,BC=1,P是腰
DC上的动点，则亍〕+：
壬丨的最小值为.
20.（2010?
浙江）已知平面向量，:
'满足丨＞-I,且门与
N的夹角为120°则|□|的取值范围是
21.（2010?
天津）如图，在△ABC中，AD丄AB，「-〒|「1,匕•，则
22.（2009?
天津）若等边△ABC的边长为••乙平面内一点M满足I则
63
三•选择题（共2小题）
23.（2012?
上海）定义向量f'=（a，b）的相伴函数"为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）
=asinx+bcosx的相伴向量"为f'=（a,b）（其中O为坐标原点）.记平面内所有向量的相
伴函数"构成的集合为S.
（1）设g（x）=3sin（x+1）+4sinx，求证：
g（x）€S;
2
（2）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx，且h（x）€S，求其相伴向量"的模；
22—►
（3）
24.（2007?
四川）设F1、F2分别是椭圆
：
，=1的左、右焦点.
（I）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且
，求点P的作标;
已知M（a，b）（b老）为圆C:
（x-2）+y=1上一点，向量⑴的相伴函数”f（x）在x=X0处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2x°的取值范围.
（n）设过定点M（0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且/AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线I的斜率k的取值范围.
平面向量高考试题精选
（一）
参考答案与试题解析
一•选择题（共14小题）
1.（2015?
可北）设DABC所在平面内一点，-厂I,则（）
1—*4"^^1*
A•；.■....:
B•辿
C汁D•亦*
解：
由已知得到如图由m—―上H1…：
:
卍二丄比二，/
故选：
A.
——*AR4AC—*
且「.■.,则-•-，的最大值等于（）
|AB||AC|
A.13B.15C.19D.21
解：
由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0,0）,B（丄0）,C（0,t）,
二P（1,4）,
»1*
•••PB=（丄-1,-4）,PC=（-1,t-4）,t
-—*—*1i
-=-（-1）-4（t-4）=17-（+4t）,
tt
由基本不等式可得-y+4t呈=4,
17-（丄+4t）<17-4=13,
当且仅当=4t即t=时取等号,t2
的最大值为13,
'，则小-/'=（）
A.20B.15C.9D.6
解：
•••四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足•”
•.•J-（理门）=匸［2_叶・，【|,
：
尸=U.「：
『，汕…【1='2J［「・汕,
42
pl-|=6,pl'|=4,
•」；・」=、「2二小2=12-3=9
31&
故选：
C
•根据图形可得
•丁匕讦-
2的等边三角形，已知向量I,I］满足门=2|,=21+',
4.（2015?
安徽）△ABC是边长为
则下列结论正确的是（
A.|，|=1B.f丄，C.i?
b=1D.（4i+J丄二解：
因为已知三角形ABC的等边三角形，1,•满足糾，=2|,L=2i+「，又「
所以.二-工
hi
所以：
=2,.-：
=1>2>Cos120°=-1,
4a・b=4X1>2>Cos120°-4,E=4，所以=0，即（4a+b）■b=0,即
■-.II，・=0,所以J廿h：
.
故选D.
5.（2015?
陕西）对任意向量*b
F列关系式中不恒成立的是（
I■:
■冃忙'IB.丨.一制1|-Ml
C.
（-'）
2••2•■•2112
=|.川|D.（.川）?
（二「）=二-■
解:
选项A
—fr—fciTTTT
正确，T|•■:
'|=|i|p'||COS|,
又|cosvI,
b>|<1，二|a・b|哼创|b|恒成立;
选项B错误,
由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|〔-；」训1|-卜||;
选项C正确,
由向量数量积的运算可得（••：
）2=|・•：
『;
选项D正确,
i—*—*Q
由向量数量积的运算可得（丨,）？
（一.■,）=/-:
■
故选：
B
6.（2015?
重庆）若非零向量b满足|'|=i「|,且（
自-切丄（3£+2b）,贝y3与b的
夹角为（）
兀兀3兀
A.B.C.D.n
424
解：
t（I—•，）丄（3i+2j）,
（—lj）?
（3i+2卜）=0,
、2、2
即3i—2.-.|?
^=0,
即＜「＞「,
4
故选：
A
7.（2015?
重庆）已知非零向量…•满足|T=4|丄且•丄（.|•）则.•的夹角
为（
解：
由已知非零向量.“-满足I■|=4|.|,且.丄（.|），设两个非零向量.，•的
夹角为0,
所以匸？
（1）=0，即2「||.=0,所以cos0=丁，0€[0,冗]，所以；
故选C.
&（2014?
湖南）在平面直角坐标系中,
O为原点，A（-1,0）,B（0,"）,C（3,0）,
动点D满足|川=1，则|「+丨，+11|的取值范围是（）
A.[4,6]B.[.■，：
|-1,：
I+1]C.[2\2_]D.["-1,一+1]
•••可设D（3+cos0,sin0）（0€[0,2n））.又A（-1,0）,B（0,一）
•••.+丨.+|i=1---sin9）
•I心+了+口二：
；二汀「=…一■•:
二门=
厶口-:
sin（0+0）w—：
.一=•_]-,
•'•II-.+|+|l|的取值范围是L-|■,
故选：
D.
9.（2014?
桃城区校级模拟）设向量］,•满足胡―卜丄，・.,<
KU=60°则心的最大值等于（）
A.2B.:
C.:
D.1
解：
tm|_A|-1,-:
-—
2
•\「的夹角为120°
设；一‘「一：
1,二二则；一一；!
■=：
'-.
如图所示
则/AOB=120°/ACB=60
•••/AOB+/ACB=180°
•A,O,B,C四点共圆
.■2—*2_—*—*—*2
---.--":
■I_
•••龙二
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=——辻——-■
sinZACB&
当OC为直径时，模最大，最大为2
故选A
12
10.（2014?
天津）已知菱形ABCD的边长为2,/BAD=120°点E、F分别在边BC、DC
上，，I=入：
’，I=肌1,若iL?
^=1,1ii?
I=——,贝U7+p=（）
3
C.
—2+4（1+4?
+入>Cos120°
=2X2>Cos120°+""卩打•+入.：
|i?
树1+入•，i?
.=
=4Z+4卩―2入p；2=1,二4A+4p—2入=3①.
'■_■也？
iF=—EC?
（-FC）=乱国FC=（1—入EC?
（1-p）DC=（1-入）AD?
（1—p）AB=（1-》（1—p）>2>2>Cos120°（1—入—p+入）（—2）=——,即一入一p+入p_—②.
3
由①②求得A+p=—,
6
11.
「，均由2个刑2
个「排列而成，若
（2014?
安徽）设1,■■为非零向量，|"=2|1|,两组向量，.，，.，，，一和「，…
A.「「B.丁C.〒D.
12.（2014?
四川）平面向量
N—*TTTTT
3=（1,2）,b=（4,2）,C=m3+b（m€R）,且c与自的夹角等
336
分类讨论可得
①）_?
「+・.？
T-+.?
廿-.+）.?
—.|=*?
1+I?
■l+L：
?
L：
+L：
?
t：
=10|*I|，不满足
故选：
B.
于与b的夹角，贝Um=（
A.-2B.-1C.1
解：
•••向量3=（1,2）,b=（4,2）,
/•=m1+|=（m+4,2m+2）,
又•••与•的夹角等于与氏的夹角,
.硏4+2（2硏2）_4（硏4）+2（2硏2）忑2^5
解得m_2,
故选：
D
A.-I'
【解答】
解：
•••D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,
故选：
A
•••=+」_n：
+t■）+（:
「+可■）_讣+苛_•（树•+.「）_：
」,
14.（2014?
福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则；•I「■'■I：
等于（）
A.fB.2「C.3fD.4fj'
解：
•••O为任意一点，不妨把
a点看成o点，^y丄+：
--'-1_11+丄「_.t..
•/M是平行四边形ABCD的对角线的交点,
故选：
D.
15.（2013?
浙江）设，「、：
为单位向量，非零向量ir=x,「+y..,x、y€R.若.’的夹角为30°则卫L的最大值等于2.
lbI
解：
：
丁、二为单位向量，二和：
的夹角等于30°•••：
■~=1X!
>Cos30°业.
C|C2C|C2CIC22
•••非零向量—+y.：
「=:
=L+_J，
故当=-「时，，：
取得最大值为2,
x2|b|
故答案为2.
16.（2013?
北京）已知点A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面区域D由所有满足
AP=AB+I^AC（1WA2手0<^1）的点P组成，则D的面积为3
解：
设P的坐标为（x,y）,则
•/1w心0w口手•••点P坐标满足不等式组
w厂心
-如+^y+l盂1
■1=（2,1）,-=（1,2）,-1=（x-1,y+1）,•••/-：
■-■',
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C（4,2）,D（6,3）,E（5,1）,F（3,0）
•|CF|=-L=■,
•••平行四边形CDEF的面积为S=|CF|X!
=JgX城=3，即动点P构成的平面区域D的面积为
5
3
故答案为：
3
17.（2012?
湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP丄BD,垂足为P,且AP=3,则，-'■'=
18
【解答】解：
设AC与BD交于点O,则AC=2AO
•/AP丄BD,AP=3,
在Rt△APO中，AOcos/OAP=AP=3
.,'|cos/OAP=2|'i|XCos/OAP=2|讣'|=6,
由向量的数量积的定义可知，「-】’=|.「||：
：
'|cos/PAO=3>6=18
故答案为：
18
18.（2012?
北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则"丨，的值
为1.
【解答】解：
因为jm=“—一=）：
厂=「
故答案为：
1
D
19.（2011?
天津）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ZADC=90°AD=2,BC=1,P是腰
DC上的动点，则|的最小值为5.
解：
如图，以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，
则A（2,0）,B（1,a）,C（0,a）,D（0,0）
设P（0,b）（04）毛）则莎=（2,-b）,PB=（1,a-b）,
-：
A"-55=.15+：
匕一止；.
故答案为5.
20.（2010?
浙江）已知平面向量一FJ「I.'满足「-I,且甬与
/='■?
.［的夹角为120°则|门|的取值范围是解：
令用M=H\…八，如下图所示:
则由2二=「-W
又•••J与下’"O勺夹角为120°
•••/ABC=60°
又由AC=|T
由正弦定理一：
.'得：
sinCsinoO
故I.的取值范围是（
故答案：
（0,—一］
21.（2010?
天津）如图，在△ABC中，AD丄AB，「一一；|」，•；".，则「・'=_「；
【解答】解：
厂・「一r・|「Ir,
石，
|叩|^：
'|.-,'|・:
；.'H：
••丄［二一［亠―：
■匸
•cos/DAC=sin/BAC,
AC*AD=|AC|-|AD|cosZDAC=|AC|AC|sinZBAC,
在厶ABC中，由正弦定理得I变形得|AC|sin/BAC=|BC|sinB,
sinBsinZBAC
AC■亦二|AC|-|ADlcosZDAO|AC|-cosZDAC=|AClsinZBAC,
ADr~
=|BC|sinB=|BC卜dp,=V3,
DU
故答案为二.
厂—*i^―»2^—*
22.（2009?
天津）若等边△ABC的边长为，乙平面内一点M满足.,,则
63
解：
以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得
…F■-=
•M
「，\=-2.
诗），诫=（「孕号），
■l'..-"1=（二，:
）?
（
22
故答案为：
-2.
三•选择题（共2小题）
其中cos0=
sin0=
2
当x+0=2kn+
H
~2
kCZ时，f（x）取到最大值，故
TT
X0=2kn+
-0,kCZ.
在X=X0处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2x°的取值范围.
【解答】解：
（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx,
2
其相伴向量'M=（4,3）,g（x）€S.
（2）h（x）=cos（x+a）+2cosx
=（cosxcosa-sinxsina）+2cosx
=-sinasinx+（cosa+2）cosx
•••函数h（X）的相伴向量'0归（-sina,COSa+2）.
则〔"F--2「'=\；:
（3）!
'的相伴函数'（x）=asinx+bcosx=
•••tanxo=tan（2kn+—
2
-Q）=cot0=',
b
（n）设过定点
O为坐标原点），
】解：
（I）易知
令m=t，贝Vtan2x°=—匚,m€[-西，0）U（0,
3叶丄3
IT
当--'^mv0时，函数tan2xo=—:
—单调递减，二0vtan2x°w
3旷丄
IT
当0vmw时，函数tan2xo=—:
一单调递减，•-*1电n2xo<0.
IT
综上所述，tan2xo€[-^3,0）U（0，"了].
24.（2007?
四川）设Fi、F2分别是椭圆'J=1的左、右焦点.
4
（I）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且.\'•，求点P的作标；
ri1ri24
M（0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且/AOB为锐角（其中求直线I的斜率的取值范围.
a=2,b=1，:
.二:
.
⑴•设P（x,y）（x>0,y>0）.
2则：
「・：
1_I_……--■•:
一厂一二J又■'
2丄2T*+y=4
2，解得“
北丄2jv+y=1
（n）显然x=0不满足题设条件.可设I的方程为y=kx+2，设A（X1,y。
，B（X2,y2）.（2
x2_
联立*4+丁l=/+4（kx+2），二4=（l+4k^）z^+16kx+12=0
Ly=kx+2
12（__16k
..y•,丁■■‘：
i
1£l+4kJ1£l+4kJ
由厶=（16k）2-4?
（1+4k2）?
12>016k2-3（1+4k2）>0,4k2-3>0,得...①
又/AOB为锐角=-:
…-|,
第仃页（共18页）
■■'■■■■■—
2
又yiy2=（kxi+2）（kx2+2）=kxix2+2k（xi+x2）+4xix2+yiy2=（1+k）xix2+2k（X1+X2）+4
=--
l+4kJl+4kJ
=12（1+kJ_2k・16k,‘
='-
l+4kzl+4kz
l+4k2
综①②可知
■k的取值范围是|--：
II'...
i1.'.・"1=—2.
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