人教版八年级数学上 册 第11章《三角形》提分专项解答题必练题型 三.docx

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人教版八年级数学上册第11章《三角形》提分专项解答题必练题型三

第11章《三角形》提分专项解答题必练题型（三）

1．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求∠BED的度数．

2．问题1

现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．

研究

（1）：

如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　　

研究

（2）：

如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　　

研究（3）：

如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

问题2

研究（4）：

将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　　．

3．

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：

如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；

解：

∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

由

（1）的结论得：

①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D

∴∠P＝

（∠B+∠D）＝26°．

①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．

②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

4．如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；

（2）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）

5．

（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；

（2）如图②，若把

（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；

（3）若把

（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE的度数；

（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？

6．如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．

①若∠BAO＝60°，则∠D＝　　°．

②猜想：

∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？

并说明理由．

（2）若∠ABC＝

∠ABN，∠BAD＝

∠BAO，则∠D＝　　°．

（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝

∠ABN，∠BAD＝

∠BAO，其余条件不变，则∠D＝　　°（用含α、n的代数式表示）

7．

（1）如图1，∠MON＝80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：

随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠APB的度数；若发生变化，求出变化范围．

（2）如图2，两条相交的直线OX、OY，使∠XOY＝n°，在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，∠C的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠C的度数；若发生变化，求出变化范围．

8．如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．

（1）若∠B＝30°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；

（2）△ABC中，若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请你根据

（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由．

9．探究与发现：

如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连结DE．

（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；

（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；

（3）深入探究：

如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其它条件不变，试继续探究∠BAD与∠CDE的数量关系．

10．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．

（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；

（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；

（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系　　．

参考答案

1．解：

∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠A＝60°，∠BDC＝95°

∴∠ABD＝35°

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD＝∠CBD

又∵DE∥BC

∴∠CBD＝∠BDE

∴∠BDE＝∠ABD＝35°

∴∠BED＝180°﹣∠ABD﹣∠BDE＝110°．

2．解：

（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：

由折叠得：

∠A＝∠DA′A，

∵∠1＝∠A+∠DA′A，

∴∠1＝2∠A；

故答案为：

∠1＝2∠A；

（2）如图2，猜想：

∠1+∠2＝2∠A，理由是：

由折叠得：

∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，

∵∠ADB+∠AEC＝360°，

∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，

∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；

故答案为：

∠1+∠2＝2∠A；

（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：

∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，

∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，

∵∠A＝∠A′，

∴∠2＝2∠A+∠1，

∴∠2﹣∠1＝2∠A；

（4）如图4，由折叠得：

∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，

∵∠DNA+∠BMC＝360°，

∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，

∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，

∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，

故答案为：

∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．

3．解：

（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180゜，

∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）①如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，

∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），

∠P+∠1＝∠B+∠4，

∴2∠P＝∠B+∠D，

∴∠P＝

（∠B+∠D）＝

×（36°+16°）＝26°；

②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴（180°﹣2∠1）+∠B＝（180°﹣2∠4）+∠D，

在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，

在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，

∴2∠P+∠B+∠D＝360°，

∴∠P＝180°﹣

（∠B+∠D）；

③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D

，

∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，

∴2∠P＝180°+∠D+∠B，

∴∠P＝90°+

（∠B+∠D）．

4．解：

（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，

在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，

∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），

∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，

∴∠A+∠D＝∠B+∠C；

（2）∵∠D＝40°，∠B＝36°，

∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，

∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠DAM＝

∠OAD，∠PCM＝

∠OCB，

又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，

∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝

（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝

×（﹣4°）+40°＝38°；

（3）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，

所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠DAM＝

∠OAD，∠PCM＝

∠OCB，

∴

（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，

整理得，2∠P＝∠B+∠D．

5．解：

（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝

∠BAC＝40°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；

（2）作AH⊥BC于H，如图②，

由

（1）得∠DAH＝15°，

∵FE⊥BC，

∴AH∥EF，

∴∠DFE＝∠ADH＝15°；

（3）作AH⊥BC于H，如图③，

由

（1）得∠DAH＝15°，

∵FE⊥BC，

∴AH∥EF，

∴∠DFE＝∠ADH＝15°；

（4）结合上述三个问题的解决过程，得到∠BAC的角平分线与角平分线上的点作BC的垂线的夹角为15°．

6．解：

（1）①∵∠BAO＝60°、∠MON＝90°，

∴∠ABN＝150°，

∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，

∴∠CBA＝

∠ABN＝75°，∠BAD＝

∠BAO＝30°，

∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝45°，

故答案为：

45；

②∠D的度数不变．理由是：

设∠BAD＝α，

∵AD平分∠BAO，

∴∠BAO＝2α，

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+2α，

∵BC平分∠ABN，

∴∠ABC＝45°+α，

∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；

（2）设∠BAD＝α，

∵∠BAD＝

∠BAO，

∴∠BAO＝3α，

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+3α，

∵∠ABC＝

∠ABN，

∴∠ABC＝30°+α，

∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝30°+α﹣α＝30°，

故答案为：

30；

（3）设∠BAD＝β，

∵∠BAD＝

∠BAO，

∴∠BAO＝nβ，

∵∠AOB＝α°，

∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝α+nβ，

∵∠ABC＝

∠ABN，

∴∠ABC＝

+β，

∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝

+β﹣β＝

，

故答案为：

．

7．

（1）解：

∵在△AOB中，∠MON＝80°，

∴∠OAB+∠OBA＝100°，

又∵AC、BD为角平分线，

∴∠PAB+∠PBA＝

∠OAB+

∠OBA＝

×100°＝50°，

∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝130°，

即随着点A、B位置的变化，∠APB的大小始终不变，为130°．

（2）解：

由题意，不妨令∠OAC＝∠CAB＝x，∠ABD＝∠BDY＝y，

∵∠ABY是△AOB的外角，

∴2y＝n+2x，

同理，∠ABD是△ABC的外角，有y＝∠C+x，

于是，显然有∠C＝

．

8．解：

（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE＝80°÷2＝40°，

∵∠AED＝∠B+∠BAE＝30°+40°＝70°，

∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°．

（2）根据

（1）问的结果，猜想∠DAE与α，β间的等量关系为：

∠DAE＝

，

证明∵∠B＝α，∠C＝β，

∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE＝（180°﹣α﹣β）÷2＝90°﹣

，

∵∠AED＝∠B+∠BAE＝α+（90°﹣

）＝90°+

，

∴∠DAE＝90°﹣（90°+

）＝

．

9．解：

（1）∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝105°，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED＝∠C+∠EDC，

∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADC﹣∠EDC＝105°﹣∠EDC＝45°+∠EDC，

解得：

∠EDC＝30°．

（2）∠EDC＝

∠BAD．

证明：

设∠BAD＝x，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+x，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED＝∠C+∠EDC，

∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADC﹣∠EDC＝∠45°+x﹣∠EDC＝45°+∠EDC，

解得：

∠EDC＝

∠BAD．

（3）∠EDC＝

∠BAD．

证明：

设∠BAD＝x，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+x，

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED＝∠C+∠EDC，

∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADC﹣∠EDC＝∠B+x﹣∠EDC＝∠B+∠EDC，

解得：

∠EDC＝

∠BAD．

10．解：

（1）猜想：

∠1+∠2＝∠A+∠C，

∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，

又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，

∴∠1+∠2＝∠A+∠C；

（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，

∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，

又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，

∴∠OBC＝

∠ABC，∠ODC＝

∠ADC，

∴∠OBC+∠ODC＝

（∠ABC+∠ADC）＝80°，

∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；

（3）∠A、∠C与∠O的数量关系为为：

∠C﹣∠A＝2∠O．

理由如下：

∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．

∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，

由

（1）可知：

∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，

2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，

∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，

∴∠C﹣∠A＝2∠O．

故答案为：

∠C﹣∠A＝2∠O．