1999考研数三真题及解析.docx
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1999考研数三真题及解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。
把答案填在题中横线上。
）
（1）设f（x）有一个原函数sinx，则xf（x）dx
x2
n
1nn
1
（2）
n12
1
0
1
（3）
设A0
2
0，而n2为整数，则An2An1
1
0
1
（4）在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布
2
N（a,0.22）.若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，则为使
PXna0.10.95，
n的最小值应不小于自然数
（5）设随机变量Xiji,j
1,2,L,n;n2独立同分布，
EXij2，则行列式
X11
X12L
X1n
X21
M
Xn1
X22L
M
Xn2L
X2n
Xnn
的数学期望EY
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
）
（1）设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的原函数，则（）
（A）当f（x）是奇函数时，F（x）必是偶函数。
（B）当f（x）是偶函数时，F（x）必是奇函数。
（C）当f（x）是周期函数时，F（x）必是周期函数。
（D）当f（x）是单调增函数时，F（x）必是单调增函数。
（2）设f（x,y）连续，且f（x,y）xyf（u,v）dudv，其中D是由y0,yx2,x1所D
围成的区域，则f（x,y）等于（）
1
（A）xy（B）2xy（C）xy（D）xy1
8
（3）设向量可由向量组1,2,L,m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）1,2,L,m1线性表示，记向量组（Ⅱ）1,2,L,m1，则（）
（A）m不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。
（B）m不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。
（C）m可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。
（4）
（D）
m可由（I）线性表示，但不可由
（Ⅱ）线性表示。
设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，
E为n阶单位矩阵，则
（A）EAEB.
（C）A与B都相似于一个对角矩阵.
（B）A与B有相同的特征值和特征向量
（D）对任意常数t，tEA与tE
B相似.
（5）
设随机变量Xi:
1
1（i1,2），且满足P
4
X1X201，则PX1
X2等于
（A）0.（B）
（C）12
（D）1.
三、（本题满分6分）
1
曲线y的切线与
x轴和y轴围成一个图形，
记切点的横坐标为a，
试求切线方程
和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何
四、（本题满分7分）
计算二重积分ydxdy，其中D是由直线x2,y0,y2以及曲线x2yy2
D
所围成的平面区域。
五、（本题满分6分）
设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量；若
生产函数为Q2x1x2，其中,为正常数，且1.假设两种要素的价格分别为p1
和p2，试问：
当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小
六、（本题满分6分）
设有微分方程y2yx，其中
2,x1x
0,x1
试求:
在,
内的连续函数
y
yx，使之在,1和1,
内都满足所给方
程，
且满足条件y0
0.
七、
（本题满分6分）
x
12
2
设函数fx连续，
且tf2xt
dt
arctanx2.已知f11，求
fxdx的值
0
2
1
八、
（本题满分7分）
设函数fx在区间
0,1上连续，
在
0,1内可导，且f0f1
1
0,f1.
2
1
试证：
（1）存在1,1
，使f
；
2
（2）对任意实数
，必存在
0,
，使得ff
1.
九、
（本题满分9分）
a
1c
设矩阵A5
b3，且A
1.又设A的伴随矩阵A*有特征值0，属于
1c0a
的特征向量为1,1,1T，求a,b,c及0的值.
十、（本题满分7分）
设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵.已知矩阵BEATA，试证：
当0时，
矩阵B为正定矩阵.
十一、（本题满分9分）
x,y
0x
2,0y1上服从均匀分布.记
假设二维随机变量
X,Y在矩形
G
0,X
Y，
0,
X2Y
U
V
1,X
Y
1,
X2Y
（1）求U和V的联合分布；
（2）求U和V的相关系数r.
十二、（本题满分7分）
1
设X1,X2,K,X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1X1X2KX6，
6
121922Y1Y2
Y2X7X8X9，S2XiY22，Z12，证明统计量Z服从自
237892i7i2S
由度为2的t分布.
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
4
（1）【答案】41
x2
详解】由题设可知f（x）（sinx）xcosx2sinx.由分部积分法，得x2
xf（x）dx
2
xdf（x）xf（x）
2
f（x）dx
22
xcosxsinx
sinx
（2）【答案】4
详解】考虑幂级数
n
nx
1
，由lim
n
1可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间
为（
1,1），则x
（1,1）.记S（x）
nxn1，两边从0到x积分，得
所以
所以
x
0S（x）dx
S（x）
（1xx
S（12）
n1
x
0（
n
n1
nx
）dx
xn1nxdx0
n
x
n1
x
1xx,x（1,1）
（1
1
x）2,x
1,1）
1
n（12）
1
（112）2
101101
A2020020
101101
202
040
202
101
20202A
101
（3）【答案】O
1
01
【详解】A
0
2
0，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要
1
0
1
乘以该数，有
故有An2An1An2（A22A）O
或由A22A，式子左右两端同右乘An2，得A2An22AAn2，即An2An1，
得An2An1O
22322
或由A22A，式子左右两端同右乘A，得A2AA3（2A）A2A22（2A）22A，式子左右两端再同乘A，得A3AA4A2（2A）2A3222A23A，⋯，依次类推，得An12n2A,An2n1A,
所以An2An12n1A22n2A2n1A2n1AO
（4）【答案】16
【概念和性质】
（1）独立正态随机变量的性质：
服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布；
（2）期望的性质：
E（aXbY）aEXbEY，Ecc（其中a,b,c为常数）；
（3）
（4）
方差的性质:
D（cX）c2D（X）；若X和Y独立，则D（XY）DXDY
Zu
正态分布标准化：
若Z~N（u,2），则~N（0,1）
详解】
由题知：
X1,X2,LXn:
N（a,0.22），
Xn
1nXi，且X1,X2,L
ni1
Xn相互独立，
故Xn
1n
ni1
Xi~N（,2），其中
EXn
DXn
所以
EXn
E1nXi
ni1
n
EXi
i1
na
所以
Xn
则只需将
DXn
i1
PXn
Xn
D1Xi
ni1
n12D
n
Xi
i1
n12DXi
ni1
0.22n
2
n
0.22
Xi~N（a,0.2），标准化得
n
UXna
0.2/n
~N（0,1）
0.10.95中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：
0.2/n
0.10.95P
0.2/n
2n0.95
Xa
因Un~N（0,1），查标准正态分布表知PU1.960.95
0.2/n
所以n
2
1.96，解得n
15.3664.因n为整数，所以n最小为16.
EXEY；
（2）若X和Y独立，则有EXYEXEY
详解】由行列式的定义知，行列式是由
（5）【答案】EY0【概念和性质】
（1）EXY
n2个元素Xij的乘积组成的n!
项和式，每一项都
是n个元素的乘积X1j1X2j2LXnjn，这n个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部n!
项中每项都带有正号或负号.
由于随机变量Xiji,j1,2,L,n;n2独立，所以有
E（X1j1X2j2LXnj
所以前面无论取正号或者负号，
.即有
EY
而Xiji,j
EX11
EX12
L
EX1n
EX21
EX22
L
EX2n
M
M
M
EXn1
EXn2
L
EXnn
L,n;n2
同分布，
且EX
ij
2
EX11
EX12
L
EX1n
2
2
L
2
EX21
EX22
L
EX2n
2
2
L
2
M
M
M
M
M
M
EXn1
EXn2
L
EXnn
2
2
L
2
对和式的期望等于各项期望之和
0（行列式的性质：
若行列式
0）.
所以EY
）EX1j1EX2j2LEXnjn
两行（列）成比例，则行列式为
二、选择题
（1）【答案】（A）
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性
x
f（x）的原函数F（x）可以表示为F（x）0f（t）dtC,于是
F（x）
x
0f（t）dt
utx
C0f（u）d
C.
xx
F（x）f（u）duCf（t）dtCF（x）
00
即F（x）为偶函数.故（A）为正确选项.
（B）、（C）、（D）可分别举反例如下：
213
f（x）x2是偶函数，但其原函数F（x）x31不是奇函数，可排除（B）；
3
211
f（x）cos2x是周期函数，但其原函数F（x）xsin2x不是周期函数，可排除（C）；
kmm
k11
k22Lkm1m1，
24
f（x）
x在区间（,
）内是单调增函数，但其原函数F（x）1x
2
2在区间（
）
内非单调增函数，可排除（D）.
（2）【答案】
（C）
【详解】因为f（u,v）dudv为一确定的数，不妨设f（u,v）dudva，则f（x,y）
xya，
D
D
1x2
所以a
f（x,y）dxdy
（xya）dxdy0dx0（xya）dy
D
D
15
1x2
1a，
0（ax）dx
02
123
解之得a
1
，所以f（x,y）
8
1xy，故应选（C）.
8
（3）【答案】
（B）
【详解】
方法1：
可由向量组1,2
L,m线性表示，即存在常数k1,k2,L,km
使得
k11k22L
kmm（）
不能由
1,2,L,m1线性表出，从而知km0（若km0，则k11
k22L
km1m1，
这和不能由
1
2,L,
m1线性表出矛盾.）
上式两端同除
mkm（
km
k1
1k22Lkm1m1）
m能由（II）线性表示，排除（A）（D）.
1,2,L,m1使得
m不能由1,2,L,m1线性表示，若能，即存在常数
m1122L代入（*）得
k11
k22L
km（11
22
m1
m1
（k11km）1（k22km）2L（km1
m1km）
m1
m1线性表出矛盾，排除（C）.故应选（B）.
方法2：
若取
1
0
0
1
10,2
1,
30,
1，则
0
0
1
1
这和不能由1,2,L
假设存在常数k1,k2，满足
3，即可由1,2,3线性表出.
k11k22因为r（1,2）2
r（1,2,）3，
即方程组k11k22的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不
存在常数k1,k2，满足k11k22，不能由1,2线性表出，是满足题设条件的
一个特例，
此时，3不能由（I）1,2线性表示，若存在常数l1,l2，满足3l11l22因为r（1,2）2r（1,2,3）3，即方程组3l11l22的系数矩阵的秩不等于增
广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数l1,l2，满足3l11l22，故3不能由
（I）1,2线性表示，
但因为312，即3可由（II）1,2,线性表示，故应选（B）.
（4）【答案】（D）
【详解】
方法1：
A相似于B，根据矩阵相似的定义，则存在可逆阵P，使得P1APB，则
P1（tEA）PP1tEPP1APtEB
根据矩阵相似的定义，则tEA相似于tEB，应选（D）.
方法2：
排除法
（A）不成立.若EAEB，则AB，而已知只是相似.
（B）不成立.A与B相似，根据矩阵相似的定义，即存在可逆阵，使得P1APB，从而有
EBEP1AP（把P1APB代入）P1PP1AP（P1PE）
111
P1（E）PP1APP1（EA）P
P1EAP（矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积）
EA（矩阵逆的行列式等于行列式的逆，故P1P1）
从而，A,B有相同特征多项式，故有相同的特征值.
若A，在P1APB的两边同时左乘P，右乘P1，得PP1APP1PBP1A，故
1
PBP1A，在上式两边左乘P1，得
B（P1）（P1），
根据特征值和特征向量的定义，B的属于特征值的特征向量是P1，而A的属于特征值的特征向量，它们并不相同.
（C）不成立.A,B相似时，也可能它们本身都不相似于对角阵
例如A
1，
0
B00，因存在可逆阵P
10
1001，使得P1AP0
01
10
0，
0
则根据矩阵相似的定义，知
B，但A,B都不相似于对角阵
若A能相似于对角阵，
A可相似对角化.先求特征值，特征多项式为
EA
令EA0得A的两个特征值0.若A相似于对角阵，则存在可逆矩阵
P，
使得
1
P1AP
上式两端同时左乘P，右乘P1，得PP1APP1AP
0P1
00
00
矛盾，故A不可相似对角化
若B能相似于对角阵，即B可相似对角化.先求特征值，特征多项式为
EB
2，
令EB0得B的两个特征值0.若B相似于对角阵，则存在可逆矩阵P，使得
P1BP
0，
0
1110100上式两端同时左乘P，右乘P1，得PP1BPP1BPP1，与000
0B矛盾，故B不可相似对角化.
10
（5）【答案】（A）
【详解】给定X1和X2的概率分布，求X1和X2的联合分布，所给条件为PX1X201，这就需要从这个条件入手.由于事件X1X20包括事件：
X10,X21,X10,X20,X10,X21,X1
1,X2
0,X11,X20
所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.
根据PA1PA，有PX1X2
0
1
PX1X20
110
所以有
PX1X20
PX1
1,X2
1
P
X
1,X2
1
PX1
1,X2
1
P
X
1,X21
0
而根据概率的非负性有：
PX11,X2
1PX11,X2
1
P
X1
1,X21
PX11,X210
而PX1X2
PX1
1,X2
1
P
X1
0,X20
PX11,X21
0PX1
0,X2
0
0
P
X10,X2
0
又根据边缘概率的定义：
pigPXxi
PXxi,Yyjj
pij,ij
1,2,L
pgjPYyj
PXxi,Yyji
pij,j
i
1,2,L
（通俗点说就是在求关于
X的边缘分布时，就把对应
x的所有
y都加起来，同理求关于Y的
边缘分布时，
就把对应y的所有x都加起来）
X1
X1
1,
同理可得
X1
0,X2
X1
而由已知
X1
X1
X2
PX1
1,X2
1PX1
1,X2
0PX1
1,X21
2
0
P
X1
1PX1
1,X2
1P
X1
1,X2
1
00
1
4
4
1
PX1
0,X2
1PX1
1,X20
PX1
1,X20
PX1
0,X21
PX10,X20
PX1
0,X21
1
4
P
X1
0,X2
11
0
42
PX1
0,X2
0
1，
2，
所以得
PX1
0,X20
0故
P
X
1
1,X2
1PX1
0,X2
0P
X1
1,X21
0
P
X1
0,X2
00P
X10,X20
0
详解】曲线
y1在曲线上点
1
（a,
a
）处的切线的斜率为y|
xa
1
xa
|1
2x3|xa2a3，
1
ya2a3（xa），
3
分别令x0,y0得到与y轴，x轴的交点分别为R（0,3）与Q（3a,0）.于是切线2a
与x轴和
y轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得
S123a23a94a.
当切点按
x轴正项趋于无穷大时，这时，a
，所以limS
a
当切点按
y轴正项趋于无穷大时，这时，a
0，所以limS0
a
四【详解】
解法1：
区域
D和D1如图所示，有
ydxdy
D
D1
显然
I1
ydxdy
DD1
02
dx0ydy
在极坐标系下，有
D1
（r,）|0r
2sin
2
因此
2sin
ydxdyydxdyI1I2
I2ydxdy
D1
84sin
32
2d
rsin
rdr
ydxdy
D
I1
I2
解法2：
如图所示，D
（x,y）|
ydxdy
D
2
0ydy
8
34
21
2cos2
1cos4
2
2yy2
2
令y1sint，有dycostdt
2yy2,0
2
dx20ydy
（y1）2dy
，则
0y2yy2dy
0y1（y1）2dy
（1sint）cos2tdt
2
2cos2tdt2cos2tsintdt2
22
21cos2tdt00
五【详解】设两种要素的总投入费用为P，则由题意得P
p1x1p2x2，题目问产出量为
12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数
Pp1x1p2x2在约束条
件Q2x1x212下的条件最值.按格朗日数乘法，作函数
F（x1,x2,）p1x1p2x2
（2x1x212），
为求驻点求偏导并令其为零，即
p12x1
1
x1x20
F
x2
p22
x1x210
2x1x2120
由前两式可得p1x2，解出x2代入第三个式子，得x16（p2）x26（p1），
p2x1p1p2
因为驻点唯一，且实际问题在x10，x20的范围内存在最小值，
故x1
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