浙大四版概率论与数理统计知识点总结.docx

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浙大四版概率论与数理统计知识点总结

第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

Pmnm!

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数

（mn）!

Cmnm!

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数

（mn）!

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题

（4）随机实验和随机事件

如果一个实验在相同条件下可以重复进行，而每次实验的可能结果不止一个，但在进行一次实验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种实验为随机实验。

实验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个实验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次实验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为实验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，⋯表示事件，它们是的子集。

为必然事件，?

为不可能事件。

不可能事件（?

）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为

A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

AB，或者AB。

AB=?

，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

AiAi

德摩根率：

i1i1ABAB，ABAB

（7）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件A1，A2，⋯有

PAiP（Ai）

i1i1常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件A的概率。

（8）古典概型

1°1,2n，

2°P

（1）P

（2）P（n）。

设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有

P（A）=

（1）

（2）（m）=P

（1）P

（2）P（m）

mA所包含的基本事件数n基本事件总数

（9）几何概型

若随机实验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机实验为几何概型。

对任一事件A，

P（A）L（A）。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

L（）

（10）加

法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A=Ω时，P（B）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称P（AB）为事件A发生条P（A）

件下，事件B发生的条件概率，记为P（B/A）P（AB）。

P（A）条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）更一般地，对事件A1，A2，⋯An，若P（A1A2⋯An-1）>0，则有

P（A1A2⋯An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）⋯⋯P（An|A1A2⋯An1）。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有

P（B|A）P（AB）P（A）P（B）P（B）

P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件和不可能事件?

与任何事件都相互独立。

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件B1,B2,,Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P（Bi）0（i1,2,,n），n

ABi

2°i1，（分类讨论的

则有

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

（16）贝叶斯公式

设事件B1，B2，⋯，Bn及A满足

1°B1，B2，⋯，Bn两两互不相容，P（Bi）>0，i1，2，⋯，n，n

ABi

2°i1，P（A）0，（已经知道结果求原因

则

P（Bi/A）nP（Bi）P（A/Bi），i=1，2，⋯n。

P（Bj）P（A/Bj）

此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi），（i1，2，⋯，n），通常叫先验概率。

P（Bi/A），（i1，2，⋯，n），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了n次实验，且满足每次实验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次实验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次实验是独立的，即每次实验A发生与否与其他次实验A发生与否是互不影响的。

这种实验称为伯努利概型，或称为n重伯努利实验。

用p表示每次实验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用

Pn（k）表示n重伯努利实验中A出现k（0kn）次的概率，

Pn（k）Cnpkqnk，k0,1,2,,n。

第二章随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=1,2,⋯）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk，k=1,2,⋯，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

X|x1,x2,,xk,P（Xxk）p1,p2,,pk,。

显然分布律应满足下列条件：

pk1

（1）pk0，k1,2,，

（2）k1。

（2）连续型随机变量的分布密度

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数x，有

F（x）f（x）dx，

则称X为连续型随机变量。

f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°f（x）0。

2°f（x）dx1。

（3）离散与连续型随机变量的关系

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（Xxk）pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F（x）P（Xx）

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（aXb）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b]的概率。

分布函数F（x）表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0F（x）1,x；

2°F（x）是单调不减的函数，即x1x2时，有F（x1）F（x2）；

3°F（）limF（x）0，F（）limF（x）1；xx

4°F（x0）F（x），即F（x）是右连续的；

5°P（Xx）F（x）F（x0）。

对于离散型随机变量，F（x）pk；

xkx

对于连续型随机变量，F（x）f（x）dx。

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里实验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。

P（Xk）Pn（k）Cnkpkqnk，其中q1p,0p1,k0,1,2,,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

记为X~B（n,p）。

当n1时，P（Xk）pkq1k，k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

P（Xk）e，0，k0,1,2，

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

CMkCNnkMk0,1,2,lP（Xk）CNn,lmin（M,n）

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。

几何分布

P（Xk）qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

均匀分布

设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f（x）在

[a，b]上为常数1，即

1,a≤x≤b

f（x）0b,a其他，

则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）。

分布函数为

0，x

xabaa≤x≤b

F（x）f（x）dx

1，x>b。

当a≤x1

x2x1

P（x1Xx2）21。

指数分布

e,x0,

x0,

其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为

1ex,F（x）0,记住积分公式：

xnexdxn!

x<0。

正态分布

设随机变量X的密度函数为

1（x22）2

f（x）e2，x，

其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为

、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为2

X~N（,2）。

f（x）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于x对称的；

2°当x时，f（）1为最大值；

若X~N（1,2）x，（则t2）X2的分布函数为

F（x）1e22dt

2。

。

参数0、1时的正态分布称为规范正态分布，记

为X~N（01,1），其x2密度函数记为

（x）1e2

2，x，

分布函数为

1xt2

（x）e2dt。

（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝。

2X2

如果X~N（,2），则~N（0,1）。

P（x1Xx2）x2x1。

（6）分位数

下分位表：

P（X）＝；

上分位表：

P（X）＝。

（7）函数分布

离散型

已知X的分布列为

Xx1,x2,,xn,，

P（Xxi）p1,p2,,pn,

Yg（X）的分布列（yig（xi）互不相等）如下：

Yg（x1）,g（x2）,,g（xn）,，

P（Yyi）p1,p2,,pn,

若有某些g（xi）相等，则应将对应的pi相加作为g（xi）的概率。

1）pij≥0（i,j=1,2,⋯）；

2）pij1.

连续型

对于二维随机向量（X,Y），如果存在非负函数

f（x,y）（x,y），使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a

P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,D

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）≥0。

（2）f（x,y）dxdy1.

（2）二维随机变量的本质

（Xx,Y

y）（XxYy）

（3）联合

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数

F（x,y）P{Xx,Yy}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函

数。

分布函

数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（1,2）|X

（1）x,Y

（2）y}的概率为函数值的一个实值函

数。

分布函数

F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0F（x,y）1;

（2）F（x,y）

分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有

F（x2,y）≥F（x1,y）。

当y2>y1时，有F（x,y2）≥F（x,y1）。

（3）F（x,y）

分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）;

（4）F（,

）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

（5）对于x1

x2，y1y2，

F（x2，y2）

F（x2，y1）F（x1，y2）F（x1，y1）0.

（4）离散型与连续型的关系

P（Xx，Y

y）P（xXxdx，yYydy）f（x，y）dxdy

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

PiP（Xxi）

Y的边缘分布为

PjP（Yyj）

pij（i,j1,2,）；pij（i,j1,2,）。

连续型

X的边缘分布密度为

fX（x）f（x,y）dy；

Y的边缘分布密度为

fY（y）f（x,y）dx

（6）条件

离散型

在已知X=xi的条件下，

Y取值的条件分布为

分布

P（Yyj|Xxi）

pij；pi

在已知Y=yj的条件下，

X取值的条件分布为

P（Xxi|Yyj）

pij,pj,

连续型

在已知Y=y的条件下，

X的条件分布密度为

f（x|y）ff（x（,yy））；

fY（y）

在已知X=x的条件下，

Y的条件分布密度为

f（y|x）ff（x（,xy））fX（x）

（7）独立

一般型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

性

离散型

pijpipj

有零不独立

连续型

f（x,y）=fX（x）fY（y）直接判断，充要条件：

①可分离变量②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

1x122（x1）（y2）y222（12）1122

f（x,y）

2121

2e,

＝0

随机变量的

若X1,X2,⋯Xm,Xm+1,⋯Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

函数

h（X1，X2,⋯Xm）和g（Xm+1,⋯Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

（9）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

1x122（x1）（y2）y22

12（12）1122

f（x,y）2e,

21212

其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（1,2,12,22,）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（1,12）,Y~N（2,22）.

但是若X～N（1,12）,Y~N（2,22），（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

FZ（z）P（Zz）P（XYz）

对于连续型，fZ（z）＝f（x,zx）dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,1222）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Cii，2Ci2i2

Z=max,min（X1,X2,⋯Xn）

若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1（x），Fx2（x）Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2,⋯Xn）的分布函数为：

Fmax（x）Fx1（x）Fx2（x）Fxn（x）

Fmin（x）1[1Fx1（x）][1Fx2（x）][1Fxn（x）]

布，可以证明它们的平方和

WXi2

的分布密度为

Yi2（ni）,

则

ZYi~2（n1n2nk）.

可以证明函数

TY/n

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）。

t1（n）t（n）

F分布

设X~2（n1）,Y~2（n2），且X与Y独立，可以证明

X/n1

F1的概率密度函数为

Y/n2

n1n2

2yn211

n1n2

0,y0

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f（n1,n2）.

F1（n1,n2）

112F（n2,n1）

第四章随机变量的数字特征

（1）

离散型

连续型

一维

期望

设X是离散型随机变量，其分布

设X是连续型随机变量，其概率密

随机

期望就是平均值

度为f（x），

变量

律为P（Xxk）＝pk，

的数

k=1,2,⋯,n，

E（X）xf（x）dx

字特

征

E（X）xkpk

（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g（X）

E（Y）g（xk）pk

E（Y）g（x）f（x）dx

方差

D（X）=E[X-E（X）]2，

D（X）[xkE（X）]2pk

D（X）[xE（X）]2f（x）dx

规范差

（X）D（X），

矩

①对于正整数k，称随机变量X

①对于正整数k，称随机变量X的

的k次幂的数学期望为X的k

k次幂的数学期望为X的k阶原点

阶原点矩，

记为vk,即

矩，记为vk,即

νk=E（Xk）=xikpi,

νk=E（X）=xkf（x）dx,

k=1,2,⋯.

②对于正整数k，称随机变量X

②对于正整数k，称随机变量X与

与E（X）差的k次幂的数学期

E（X）差的k次幂的数学期望为X

望为X的k阶中心矩，记为k，

的k阶中心矩，记为k，即

即

kE（XE（X））k

=（xi

iE（X））kpi，

=（xE（X））kf（x）dx,

k=1,2,⋯.

k=1,2,⋯

切比雪夫不等式

设随机变量

X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于

任意正数ε

，有下列切比雪夫不等式

P（X

）2

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计

P（X

）

，它在理论上有重要意义。

（2）

（1）

E（C）=C

期

望

（2）

E（CX）=CE（X）

的

性

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