浙大四版概率论与数理统计知识点总结.docx

1、浙大四版概率论与数理统计知识点总结第 1 章 随机事件及其概率（1）排列 组合公式Pmn m! 从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数（m n）!Cmn m! 从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数n!（m n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种 方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ： mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个 步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3

2、）一些 常见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题（4）随机 实验和随 机事件如果一个实验在相同条件下可以重复进行，而每次实验的可能结果 不止一个，但在进行一次实验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种实验为随机实验。实验的可能结果称为随机事件。（5）基本 事件、样 本空间和 事件在一个实验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质：每进行一次实验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为实验的样本空间，用 表示。一个事件就

3、是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用 大写字母 A， B，C，表示事件，它们是 的子集。为必然事件，? 为不可能事件。不可能事件（ ?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（ ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。（6）事件 的关系与 运算关系：如果事件 A的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A发生必有事件 B发生）： A B如果同时有 A B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。A、B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B的部分所构成的事件，称为 A与 B的差，

4、记为A-B，也可表示为 A-AB或者 AB ，它表示 A发生而 B不发生的事件。A、B同时发生： A B，或者 AB。A B=?，则表示 A与B不可能同 时发生，称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。-A 称为事件 A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (A B)C=(AC)(BC)Ai Ai德摩根率： i 1 i 1 A B A B， A B A B(7)概率 的公理化 定义设 为样本空间， A为事件，对每一个事件 A都有一个

5、实数 P(A) ，若满足下列三个条件：1 0 P(A) 1，2 P( ) =13 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，有P Ai P(Ai)i 1 i 1 常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件 A的概率。(8)古典 概型1 1, 2 n ，12 P( 1) P( 2 ) P( n ) 。n设任一事件 A，它是由 1, 2 m组成的，则有P(A)= ( 1) ( 2) ( m ) = P( 1) P( 2) P( m )m A所包含的基本事件数 n 基本事件总数(9)几何 概型若随机实验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界

6、区域来描述， 则称此随机实验为几何概型。对任一事件 A，P(A) L(A) 。其中 L为几何度量(长度、面积、体积) 。L( )(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0时， P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P( B)=1- P(B)( 12 )条 件概率定义设 A、B是两个事件，且 P(A)0，则称 P(AB) 为事件 A发生条 P(A)件下，事件 B发生的条件概率，记为 P(B/ A) P(AB) 。P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性

7、质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1 P(B /A)=1-P(B/A)( 13 )乘 法公式乘法公式： P(AB) P(A)P(B/ A) 更一般地，对事件 A1，A2， An，若 P(A1A2An-1)0，则有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 An 1) 。( 14 )独 立性两个事件的独立性设事件 A、B 满足 P(AB) P(A)P(B)，则称事件 A 、 B是相互独 立的。若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B)P(A) P(A)若事件 A、B 相

8、互独立，则可得到 A 与 B 、 A与 B 、 A与 B 也都 相互独立。必然事件 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。( 15 )全 概公式设事件 B1,B2, ,Bn满足1 B1,B2, , Bn两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2, ,n)， nA Bi2 i 1 ， ( 分类讨论的则有P(A) P

9、(B1)P(A|B1) P(B2)P(A| B2) P(Bn)P(A|Bn) 。( 16 )贝 叶斯公式设事件 B1， B2 ， Bn及 A满足1 B1，B2 ， Bn 两两互不相容， P( Bi ) 0，i 1，2， n ， nA Bi2 i 1 ， P(A) 0 ，(已经知道结果 求原因则P(Bi /A) nP(Bi )P(A/Bi ) ，i=1 ，2，n。P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi) ，(i 1，2， n )，通常叫先验概率。 P(Bi / A)，(i 1， 2， n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概 率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

10、( 17 )伯 努利概型我们作了 n 次实验，且满足 每次实验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次实验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次实验是独立的， 即每次实验 A 发生与否与其他次实验 A 发生与否是互不影响的。 这种实验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利实验。用 p表示每次实验 A发生的概率，则 A发生的概率为 1 p q ，用Pn(k)表示 n重伯努利实验中 A出现k(0 k n)次的概率，Pn(k) Cn pkqn k ， k 0,1,2, ,n。第二章 随机变量及其分布(1)离 散型随 机变量 的分布 律设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k

11、=1,2, ) 且取各个值的 概率，即事件 (X=Xk) 的概率为P(X=xk)=p k，k=1,2, ， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。 有时也用分 布列的形式给出：X | x1,x2, ,xk, P(X xk) p1,p2, , pk, 。 显然分布律应满足下列条件：pk 1 (1) pk 0，k 1,2, ， (2) k 1 。(2)连 续型随 机变量 的分布 密度设F ( x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实 数 x ，有xF(x) f(x)dx，则称 X 为连续型随机变量。 f(x)称为 X 的概率密度函数或密度函数， 简称概率密

12、度。密度函数具有下面 4 个性质： 1 f (x) 0。2 f(x)dx 1。(3)离 散与连 续型随 机变量 的关系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。( 4) 分 布函数设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数F(x) P(X x)称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b的概率。分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间(， x 内的概率。 分布函数具有如下性质：1 0

13、F(x) 1, x ；2 F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2时，有 F(x1) F(x2) ；3 F( ) lim F(x) 0， F( ) lim F(x) 1； xx4F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；5 P(X x) F(x) F(x 0)。对于离散型随机变量， F(x) pk ；xk xx对于连续型随机变量， F(x) f (x)dx 。( 5) 八 大分布0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 n重贝努里实验中，设事件 A发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2, ,n 。P(X k)

14、 Pn(k) Cnk pk qn k ， 其 中 q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n ， 则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为 X B(n, p) 。当 n 1时， P(X k) pkq1 k ，k 0.1，这就是( 0-1) 分布，所以( 0-1 )分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 X 的分布律为kP(X k) e ， 0，k 0,1,2 ，k!则 称 随 机变 量 X 服从 参 数 为 的 泊 松分 布 ， 记为 X ( )或者 P( ) 。泊松分布为二项分布的极限分布( np=，n)。超几何分 布CMk CNn kM k 0,1,2 ,l P(X

15、 k) CNn ,l min(M , n)随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M) 。几何分布P(X k) qk 1 p,k 1,2,3, ，其中 p0，q=1-p 。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p) 。均匀分布设随机变量 X 的值只落在 a ，b 内，其密度函数 f(x) 在a ，b 上为常数 1 ，即ba1 , a x bf(x) 0b, a 其他，则称随机变量 X 在a ，b 上服从均匀分布， 记为 XU(a， b)。分布函数为0， xb 。当 ax1x2b 时，X落在区间( x1,x2 )内的概率为x2 x1P(x1 X x2

16、 ) 2 1 。ba指数分布e , x 0, x 0,其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分 布。X的分布函数为1 e x , F(x) 0, 记住积分公式： xne xdx n!x0x0。0正态分布设随机变量 X 的密度函数为1 ( x2 2)2f (x) e 2 ， x ，2其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、 的正 态分 布或高 斯( Gauss) 分 布， 记为 2X N( , 2 ) 。f(x) 具有如下性质：1 f(x) 的图形是关于 x 对称的；2 当 x 时， f ( ) 1 为最大值；22若 X N(1, 2 )x ，(则t 2)X2 的分布函数为

17、F(x) 1 e 2 2 dt2 。参数 0 、 1时的正态分布称为规范正态分布，记为 X N (01,1) ，其x2密度函数记为(x) 1 e 22 ， x ，分布函数为1 x t2(x) e 2 dt 。2(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-x) 1-(x) 且 (0) 。2 X 2如果 XN( , 2) ，则 N(0,1) 。xxP(x1 X x2 ) x2 x1 。(6)分 位数下分位表： P(X ) ；上分位表： P(X ) 。(7)函 数分布离散型已知 X 的分布列为X x1, x2, , xn, ，P(X xi) p1, p2, , pn,Y g ( X

18、)的分布列( yi g(xi) 互不相等)如下： Y g(x1), g(x2), , g(xn), ，P(Y yi ) p1, p2, , pn,若有某些 g( xi )相等，则应将对应的 pi 相加作为 g(xi)的 概率。1)pij 0( i,j=1,2, )；2) pij 1.ij连续型对 于 二 维 随 机 向 量 （X,Y） ， 如 果 存 在 非 负 函 数f （x, y）（ x , y ） ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=（X,Y）|axb,cyx1 时，有F( x2,y ) F(x 1,y) 。当 y 2y1时，有 F(x,y 2) F(x,y 1)

19、。（ 3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,) F( , y) F(x, ) 0,F( , ) 1.（ 5）对于 x1x2， y1 y2，F(x2，y2)F(x2，y1) F(x1，y2) F(x1，y1) 0.（ 4 ）离散 型与连续 型的关系P(X x，Yy) P(x X x dx，y Y y dy) f ( x， y) dxdy（ 5 ）边缘 分布离散型X 的边缘分布为Pi P(X xi )jY 的边缘分布为P j P(Y yj )ipij (i, j 1,2, )； pij (i, j

20、1,2, ) 。连续型X 的边缘分布密度为fX(x) f (x,y)dy；Y 的边缘分布密度为fY(y) f (x,y)dx（ 6 ）条件离散型在已知 X=xi 的条件下，Y取值的条件分布为分布P(Y yj |X xi)pij ； pi在已知 Y=yj 的条件下，X取值的条件分布为P(X xi |Y y j)pij , pj,连续型在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为f(x| y) ff(x(,yy)；fY (y)在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为f(y| x) ff(x(,xy) fX (x)（ 7 ）独立一般型F(X,Y)=F X(x)F Y(y)性离散型pij pi

21、 p j有零不独立连续型f（x,y）=f X（x）f Y（y） 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分 布11 x 1 2 2 (x 1)(y 2) y 2 2 2(1 2 ) 1 1 2 2f (x, y)2 1 2 12 e ,20随机变量的若 X1,X2, Xm,X m+1, Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：函数h（X1，X2, Xm）和 g（ Xm+1, Xn）相互独立。 特例：若 X与 Y 独立，则： h（X）和 g（Y）独立。 例如：若 X与 Y 独立，则： 3X+1和 5Y-2 独立。( 9 )二维 正态分布设随机向量( X， Y)的分布密度函数

22、为1 x 1 2 2 (x 1)(y 2) y 2 21 2(1 2 ) 1 1 2 2f (x, y) 2 e ,2 1 2 1 2其中 1, 2, 1 0, 2 0,| | 1是 5 个参数，则称( X，Y)服从二维正态分 布，记为( X，Y) N( 1, 2, 12, 22, ). 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，即 XN( 1, 12 ),Y N( 2, 22).但是若 XN( 1, 12),Y N( 2, 22) ，(X，Y)未必是二维正态分布。(10 )函数 分布Z=X+Y根据定义计算： FZ (z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型

23、， f Z(z) f(x,z x)dx 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 1 2, 12 22 )。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Ci i ， 2 Ci2 i2iiZ=max,min( X 1,X 2,X n)若 X1, X2 Xn 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 Fx1 (x)，Fx2 (x) Fxn (x) ，则 Z=max,min(X 1 ,X 2, X n)的分布 函数为：Fmax ( x) Fx1 (x) Fx2 (x) Fxn (x)Fmin (x) 1 1 Fx1 ( x) 1 Fx2 (x) 1 Fxn (x)布，可以证明它们的平方

24、和nW X i2i1的分布密度为Yi 2(ni ),则kZ Yi 2(n1 n2 nk ).i1可以证明函数T Y/ n的概率密度为我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n) 。t1 (n) t (n)F 分布设 X 2(n1),Y 2(n2)，且 X 与 Y 独立，可 以证明X /n1F 1 的概率密度函数为Y/n2n1 n22n12yn211n1n2n1 n22,y 0220,y 0我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2 的 F 分布，记为 F f(n 1, n 2).F1 (n1,n2 )1 1 2 F (n2,n1)第四章 随机变量

25、的数字特征(1)离散型连续型一维期望设 X 是离散型随机变量， 其分布设 X 是连续型随机变量， 其概率密随机期望就是平均值度为 f(x) ，变量律 为 P( X xk ) pk ，的数k=1,2, ,n ，E(X) xf(x)dx字特n征E(X) xk pk(要求绝对收敛)k1(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y) g(xk)pkE(Y) g(x) f (x)dxk1方差2D(X)=EX-E(X) 2，D(X) xk E(X)2 pkD(X) x E(X)2 f (x)dx规范差k(X) D(X) ，矩对于正整数 k ，称随机变量 X对于正整数 k，称随机变量 X 的的

26、 k 次幂的数学期望为 X 的 kk次幂的数学期望为 X的 k 阶原点阶原点矩，记为 vk, 即矩，记为 vk, 即 k=E(Xk)= xik pi ,ikk k=E(X )= xk f (x)dx,k=1,2, .k=1,2, .对于正整数 k ，称随机变量 X对于正整数 k，称随机变量 X 与与 E（ X）差的 k 次幂的数学期E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X望为 X 的 k 阶中心矩，记为 k ，的 k 阶中心矩，记为 k ，即即kk E(X E(X)kk E(X E(X)k= (x iki E(X)k pi ，k= (x E(X)k f (x)dx,k=1,2, .k=1,2, 切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望 E（X） = ，方差 D（X） = 2，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式P( X2)2切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率的一种估计P( X)，它在理论上有重要意义。（2）（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性nn