=n—3代入sina+sin3=1,得sina=sin3=2,而a>3所以a=~6,3=
n
6.
【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等•
变式:
设向量a=(4cosasina),b=(sin3,4cos3),c=(cos「3—4sin0.
(1)若a与b—2c垂直,求tan(a+3)的值;
(2)若tanatan3=16,求证:
aIIb.
解:
(1)由a与b—2c垂直,得a(b—2c)=ab—2ac=0,
即4sin(a+3—8cos(a+3)=0,tan(a+3=2.
(2)证明:
由tanatan3=16,得sinosin3=16cosaos3即
4cosa4cos3—sinosin3=0,所以a〃b.
小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件为:
a丄b?
ab=0.
2个结论与向量夹角有关的两个结论
(1)若ab>0,则a与b的夹角为锐角或0°
⑵若ab<0,则a与b的夹角为钝角或180°
4个注意点一一向量运算中应注意的四个问题
(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还
uuvuuu
是外角.如在等边△ABC中,AB与BC的夹角应为120而不是60°
⑵在平面向量数量积的运算中,不能从ab=0推出a=0或b=0成立.实际上由ab=0可推出以下四种结论:
①a=0,b=0;②a=0,bz0;③az0,b=0;④az0,bz0,但a丄b.
(3)实数运算满足消去律:
若bc=ca,cz0,则有b=a.在向量数量积的运算中,若ab=ac(az0),则不一定得到b=c.
(4)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)•不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.
【巩固练习】
1若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°则|a+b|等于()
A.2.2+;3B.23C.4D.12
1
解析:
选B|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60=4+4+2X2X2x3=12,|a+b|=2,'3.
2.平面向量a与b的夹角为60°且a=(2,0),|b|=1,则|a—b|=()
A."^B..'3C.3D.4
1
解析:
选C|a—b|2=|a|2+|b|2—2|a||b|cos60=4+1—2x2x1x2=
3.
6.已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足AP=熾,AQ=
uuv
(1—;AC,
;R,若Buvcuv=—2,则;=()
A.1
;B1±2;C1±^;D-3±匹
;B.22;D.2
解析:
选A以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐
uuvuuivunvuuuv
标系,则B(2,0),C(1,⑶,由AP=ZAB,得P(2入0),由AQ=(1-;)AC,
-uuvuuvL-
得Q(1—入.'3(1-;,所以BQCP=(-;1,:
3(1—;)(2;1,—.3)=—(;1)(2;—1)—,'3x;3(1—;=—2,解得;=2*
7.单位圆上三点A,B,C满足OA+OB+OC=0,则向量OA,OB的夹角为.
解析:
VA,B,C为单位圆上三点,
uuvuuvuuivuuvuuvuuv
.•.|Oa|=|Ob|=|OC|=1,又Oa+Ob+Oc=0,
uuiviuyuuvuuvuuvuuvuuvuuvuuvuuv
•••OC=OB+OA,/.OC2=(OB+OA)2=OB2+OA2+2OBOA,可得
uuvuuv1,=uuvuuv,,r-,
COS〈OA,OB>=—2,/•向量OA,OB的夹角为120.
8•如图所示,在平行四边形ABCD中,APIBD,垂足为P,且AP=3,uuvuuv
贝yAP-AC=.
uuvuuvuuviuivuuvuivuuvo
解析:
设ZPAC=0,则AP-AC=AP2AO=2|AP||AOCOS0=2|AP|2=
2X32=18.
9.
x2
(2013浙江高考)设e1,e为单位向量,非零向量b=x&+yez,x,y€R.若e1,e2的夹角为总则月的最大值等于.
解析:
当x=0时,鳥=0,当xm0时,着2=2f=—-J—y
|b||b|x2+y2+73xy1+工2+戏
x十可3x厂1—<4,所以計的最大值是2,当且仅当y=—爭时取到最大值.x+T+4
10.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+;的夹角为锐角,求实数入的取值范围.
解:
Ta与a+;均为非零向量,且夹角为锐角,
•••a(a+;)>0,即(1,2)(1+;2+;>0./(1+;+2(2+;>0.•••;>—5.
当a与a+;共线时,存在实数m,使a+;=ma,
1+后m,
即(1+入2+为=m(1,2),二解得A0.即当A0时,a
2+后2m,
与a+b共线,
5
综上可知,实数入的取值范围为一3,ou(0,+乂).
11.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,—2),B(2,3),C(-2,—1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
uuivuuvuuv
(2)设实数t满足(AB-tOC)OC=0,求t的值.
uuvuuv-‘uuvuivuuivuuuv
解:
(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC
=(4,4).
所以|超+AC|=2.10,|AB-AC|=4.2•故所求的两条对角线长分别为210,42.
uuvuuvuuv
(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+1).
uuvuuvuuv
由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+1)(—2,-1)=0,
11
从而5t=-11,所以t=-丁.