人教版平面向量的数量积及平面向量的应用.docx

1、人教版平面向量的数量积及平面向量的应用平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1.平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0,把数量|a|bCos 0叫做a和b的数量积(或内积)，记作a b.即卩ab=|a|b|cos 0,规定Oa= 0.2.向量数量积的运算律(1)a b= b a;(2)( ?a) b= Xa b) = a (?b);(3)(a + b) c= a c+ b c.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a = (xi, yi), b= (X2,曲,结论几何表示坐标表示模|a| = Vaa|a|=p x1+ y2夹角.a b cos 0=

2、I II |a|b|. X1X2+yy2cos 0-R2 x+2a丄b的充 要条件a b= 0X1X2+ WV2= 0【问题思考】1 .若a b = a c,则b= c吗？为什么？提示：不一定.a= 0时不成立，另外az 0时，由数量积概念可知b与 c不能确定.2.等式(a b)c= a(b c)成立吗？为什么？提示：(a b)c= a(b c)不一定成立.(a b)c是c方向上的向量，而a(b c) 是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等.3.|a b|与|a| |b|的大小之间有什么关系？提示：|a b| |a| |b|.因为 a b= |a|b|cos 0,所以 |a b|= |

3、a|b|cos 0uuu uuiv uuuAD，贝y BD = AD -uuv uuu/ uuu/ 1 uuv-AB , AE = AD + 2 AB，那/ uuv 么AEuuiv uuuv 1 uuvBD = AD -AB2uuu/(ADuuvAB )= 2.亠F uuv亠uuv、亠厶匚丄“ 口/、, uuv uuv uuu 厂 况10 昭2 向量AB在CD万向上的投影为|AB| COS = . = 2 .(2)以A为坐标原点，AB, AD所在的直线分别为x, y轴建立直角坐标系，则 B( .2, 0), E( 2, 1), D(0,2), C( .2, 2).设 F(x, 2)(0x0)，

4、贝S B(m,0), C m+2 2 ,2 因为E是CD的中点，所以E岁+2 .所以墨=2如，1m+ 2, 2 .t uuu/ uuu 111 3 _由 AC -be = 1,可得 m + 2-m + 4= 1, 即卩 2m2 m= 0,所以10(舍去)或.1故AB的长为2.答案(1)-3 (2)5 (3)1【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略, a b ,(1)求两向量的夹角.cos =冏何，要注意 旺0, n.两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是：a丄b?a b = 0?|ab|= |a + b|.(3)求向量的模.利用数量积求解长度问题的处理方法有：1a2= a

5、 a= |a|2或|a|= .a a.2|aD|= ab 2= 、 a2 2a b + b2.3若 a= (x, y)，则 |a|=x2 + y2.变式：1.若a= (1,2), b= (1, 1),则2a+ b与a b的夹角等于( )解析：选 C 2a+ b= 2(1,2)+ (1, 1)= (3,3),a b= (1,2) (1 , 1) = (0,3), (2a + b) (a b)= 9, |2a + b|= 3.2, |ab|= 3.n4.2. 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a + b与向 量 ka b 垂直，贝H k= .解析：Ta与b是不共线的单位向量， |a

6、|=|b|= 1.又 ka b 与 a + b垂直,(a + b) (ka b) = 0, 即 ka2+ ka b a b b2=0.* 1 + ka b a b = 0,即 k 1 + kcos 0 cos 0= 0( B为 a 与 b 的夹角).(k 1)(1 + cos = 0, 又a与b不共线，二cos 0m 1,k= 1.3.已知平面向量 a, (3, a= 1, B= (2,0), a丄(a 20,则|2 a +耳的值为 .解析：Tp= (2,0) , 3= 2,又 a 丄(a 2,a 2 = a 2 a 1 2 a 0= 0. a 0=夕(2 a+ 2 = 4 a2 + + 4a

7、= 4 + 4 + 2 = 10. 12 a+ = /T0.【考点三】 平面向量数量积的应用例 3 已知向量 a= (cos a, sin a, b= (cos sin , 0 an.(1)若|a b|= 2,求证：ab;设c= (0,1),若a+ b = c ,求a, 的值.解(1)证明：由题意得 |a b|2= 2,即(a b)2 = a2 2a b + b2 = 2. 又因为 a2 = b2= |a|2= |b|2= 1,所以 2 2a b= 2,即 a b= 0,故 a丄b.因为 a + b = (cos a+ cos , sin a+ sin = (0,1),所 以COS a+ CO

8、S 3= 0,sin a+ sin 3= 1,由此得，COS a= COS(亍，由 0 3 n,得 0 n仟 n,又 0 a 3 所以 a=6, 3=n6.【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或 垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量 的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有 界性，求得值域等变式： 设向量 a= (4cos a sin a), b= (sin 3, 4cos 3), c= (cos3 4sin

9、 0.(1)若a与b2c垂直，求tan(a+3)的值；(2)若 tan atan 3= 16,求证：a II b.解：(1)由 a 与 b 2c垂直，得 a (b 2c) = a b 2a c = 0,即 4sin(a+ 3 8cos(a+ 3)= 0, tan(a+ 3= 2.(2)证明：由 tan atan 3= 16,得 sin osin 3= 16cos aos 3 即4cos a4cos 3 sin osin 3= 0, 所以 ab.小结】1个条件两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：a丄b?a b = 0.2个结论 与向量夹角有关的两个结论(1)若ab0,则a与b

10、的夹角为锐角或0 若a b = 2, /向量OA , OB 的夹角为 120 .8如图所示，在平行四边形 ABCD中，APIBD ,垂足为P,且AP = 3 , uuv uuv贝y AP -AC = .uuv uuv uuv iuiv uuv uiv uuv o解析：设 ZPAC= 0,则 AP -AC = AP 2 AO = 2|AP |AO COS 0= 2| AP |2 =2X32 = 18.9.x2(2013浙江高考)设e1 , e为单位向量，非零向量 b=x& + yez , x , y R. 若e1 , e2的夹角为总则月的最大值等于 .解析:当x= 0时,鳥=0,当xm 0时，着

11、2 = 2 f =-Jy|b| |b| x2 + y2 + 7 3xy 1+ 工2 + 戏x十可3x 厂1 4,所以計的最大值是2,当且仅当y=爭时取到最大值. x+ T + 410.已知a= (1,2) , b= (1,1),且a与a+；的夹角为锐角，求实数 入 的取值范围.解：Ta与a+ ；均为非零向量，且夹角为锐角，a (a +；)0 ,即(1,2) (1+； 2+ ；0. /(1 + ； + 2(2 +；0. ； 5.当a与a+ ；共线时，存在实数m ,使a+ ；= ma ,1 +后 m,即(1+入2 +为=m(1,2)，二 解得 A0.即当 A0时，a2+ 后 2m,与a+ b共线，

12、5综上可知，实数 入的取值范围为一3, o u(0,+乂).11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1, 2), B(2,3), C(-2, 1).(1)求以线段AB, AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；uuiv uuv uuv(2)设实数t满足(AB -tOC) OC = 0,求t的值.uuv uuv - uuv uiv uuiv uuuv解：(1)由题设知 AB = (3,5) , AC = (- 1,1),则 AB + AC = (2,6), AB - AC=(4,4).所以|超+ AC |= 2 .10, |AB - AC |= 4.2故所求的两条对角线长分别为 2 10, 4 2.uuv uuv uuv(2)由题设知 OC = (-2,- 1), AB -tOC = (3 + 2t,5 +1).uuv uuv uuv由(AB -tOC) OC = 0,得(3 + 2t,5 +1) ( 2,- 1) = 0,11从而5t =- 11,所以t =- 丁.