概率论与数理统计期末考试试题及答案.docx
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概率论与数理统计期末考试试题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级：
姓名：
学号：
题号一二三四五亠七八九十十一十二总成绩
得分|||||||||||
一、单项选择题（每题3分共18分）
1.D2.A3.B4.A5.A6.B若事件A、B适合P（AB）=O,则以下说法正确的是（）.
（A）A与B互斥（互不相容）；
（B）P（A）=0或P（B）=O;
（C）人与〃同时出现是不可能事件；
（1）（D）P（A）>0,则P（B\A）=O.
（2）设随机变量X其概率分布为
X
-1012
p
则P{XM1.5}=（）o
（A）（B）l（C）0（D）|
（3）
>
设事件含与仏同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）
（A）P（A）=P（A}A2）（B）P（A）>P（A）+P（A2）-1
（C）P（A）=P（A}UA2）（D）P（A）（4）
设随机变量X~N（-3,1）,Y~N（2,1）,且X与丫相互独
立，令Z=X—2Y+7,贝I」Z~（）.
（A）N（O,5）;（B）N（O,3）;（C）N（0,46）;（D）N（O,54）.
⑸设石兀,…,X”为正态总体川（“。
2）的一个简单随机样本，其中b=2,“
（A）工X：
+b
r-1
未知，则（）是一个统计量。
（B）》（/-“）
r-1
（C）X_“
（6）设样本X「X2，・・・,X〃来自总体X未知。
统计假设
为H$〃=“o（“o已知）Hr“工心则所用统计量为（）
（0/2=^
b/y/n
1口
（D）Z2=—S（Xr-A）2b（-1
三.填空题（每空3分共25分）
l.P（B）2.f（x）=\AC'>0，3尸3・—14.f（9）
0x<0
⑴如果P（A）>0,P（B）>0,P（A|B）=P（A）,则P（B\A）=
（2）设随机变量X的分布函数为
F（x）=
设©1,爲,&是总体分布中参数0的无偏估计量,0=朋］-羽2+3&，当"=时，$也&是的无偏估计量.
（4）设总体X和丫相互独立，且都服从N（0J）,X\、X“…X®是来自总体X的
样本，冷丫2,…人是来自总体丫的样本，则统计量
八X严…+入
仰+…+呼
服从分布（要求给出自由度）。
三、（6分）设相互独立，P（A）=0.7,P（AUB）=0.88,求P（A-B）・
解：
=P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）
=P（A}+P（R}-P（A}P（R}（因九A相IT独立）2分
=0.7+P（3）—0.7P（3）
1
3分
J
则P（B）=0.6
4分
P（A-B）=P（A）-P（AB）=P（A）-P（A）P（B）
=0.7-0.7x0.6=0.28
6分
四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯在
运行的概率均为，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
解：
用X表示时刻T运行的电梯数，则X~级4,0.7）
2分
所求概率P{X>1}=1-P{X=0}
4分
=1-C：
>（0.7）。
（1-0.7）4=
6分
五、（6分）设随机变量X的概率密度为/（x）=<
厂，
0,
x>0
其它'
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：
因为y=2x+l是单调可导的，故可用公式法计算
1分
当x>o时，r>i
2分
illy=2x+\,得尤=__、x*=—
22
4分
从而y的密度函数为fY（y）=\
>-
y
六、（8分）已知随机变量X和Y的概率分布为
（1）求随机变量X和Y的联合分布；
（2）判断x与y是否相互独立
解：
因为p{xr=o}=i,所以p{xy^o}=o
所以X与Y不相互独立
2分
3分
八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为丄的指数分
4
布。
工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。
若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。
11-亠
解：
因为X~0（_）得f（x）=he4x>0
40x<0
■
用y表示出售一台设备的净盈利
100X>1
Y=<
100-3000
4分
P（Y=-200）=J；护dx=1一厂
丄£
所以EY=100x0=+（_2oo）x（l-
=300厂一200心33・64（元）
九.（8分）设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为一0.5,求E（2X—Y）,D（2X-Y）O
解：
已知EX=-2,EY=2.DX=1,DY=4,pXY=-0.5
则E（2X-y）=2EX-£y=2x（-2）-2=-64分
D（2X-Y）=D（2X）+DY一2cov（2X,Y）5分
=2DX+"-4cov（X,y）6分
=2DX+DY-4y./DXy[DYpXY=128分
十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。
已知每户每日用电量（单位：
度）服从[0,20]上的均匀分布，利用中心极限定
理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。
（所求概率用标准正态分布函数①（切的值表示）.
解：
用/表示第i户居民的用电量，则Xj~"[0,20]
1000
则1000户居民的用电量为x=£x?
曲独立同分布中心极限定理
p{x>10100}=l-p{x<10100}
10100-1000x10
—）
100>°°x—
4分
・6分
其中&>0未知，求&的最大似然估计。
解：
最大似然函数为
L（x1,-,xn^）=n/（xf）=n（^+i）xf2分
r-lJ-1
・3分
0v®・・・“<1
4分
人（1InLn.z、八
必、一-LInfV•…Y）—：
5分
ae&+i
于是&的最大似然估计：
入n
<9一1一
7分
1/丄O
lnlnCs…，心）
InL（x{,…，力卄&）=nln（&+l）+01n（X],…，
十二（5分）某商店每天每百元投资的利润率X〜Ng）服从正态分布，均值为
“，长期以来方差b?
稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值
为壬=5,试求“的置信水半为95%的置信区间。
（『（）05（100）=1.99,
0（1.96）=0.975）
解：
因为＜7已知，且△二£~n（o,i）
（7yjll
X—"
1-a
1分
2分
依题意tz=0.05,Ua=1.96,/?
=100.b=l,x=5
2
则“的置信水平为95%的置信区间为
[x-Ua・—^,x+Ua・^=]
Tyjn-yjn
即为
[,]
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