二次函数与几何图形综合题.docx

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二次函数与几何图形综合题

二次函数与几何图形综合题

类型1　二次函数与相似三角形的存在性问题

1．（2015·昆明西山区一模）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段BC上的一个动点，过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E，设P点横坐标为m，PE长度为y，请写出y与m的函数关系式，并求出PE的最大值；

（3）D为抛物线上一动点，是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似？

若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2013·曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当DE＝4时，求四边形CAEB的面积；

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？

若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．

3．（2015·襄阳）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？

（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

类型2　二次函数与平行四边形的存在性问题

1．（2014·曲靖）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE＝

，求点O到直线AF的距离；

（3）点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2013·昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2015·昆明西山区二模）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

类型3　二次函数与直角三角形的存在性问题

1．（2015·云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n（k≠0）经过B、C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5.

（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2015·自贡）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B.

（1）若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求线段BC所在直线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

3．（2015·益阳）已知抛物线E1：

y＝x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

类型4　二次函数与等腰三角形的存在性问题

1．（2015·黔东南）如图，已知二次函数y1＝－x2＋

x＋c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，直线y＝kx－1与抛物线交于A，C两点，其中A（－1，0），B（3，0），点C的纵坐标为－3.

（1）求k值；

（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？

如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

3．（2015·昆明官渡区二模）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交于x轴于A（－1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；

（3）连接AC，在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形；若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型5　二次函数与图形面积问题

1．（2014·昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K点坐标．

2．（2015·云南二模）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx（a＜0）与双曲线y＝

相交于点A、B，点A的坐标为（－2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，直线BC与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线的顶点为E.

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）计算△ABC与△ABE的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

类型6二次函数与最值问题

1．（2015·昆明盘龙区一模）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（－1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a＋1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？

请说明理由．

2．（2013·玉溪）如图，顶点为A的抛物线y＝a（x＋2）2－4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.

（1）求抛物线的解析式（关系式）；

（2）求点A，B所在的直线的解析式（关系式）；

（3）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：

当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？

（4）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ.问：

当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？

并求此时PQ的长．

类型7　二次函数与根的判别式问题

1．（2015·衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）

把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将

（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

类型8　二次函数与圆

1．（2015·昆明盘龙区二模）如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，顶点为F.

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；

（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合）．试探究：

①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；

②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

2．（2015·曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，－2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c（a≠0）与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4.点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；

（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．