北京海淀区届高三数学上学期期中试题文科附解析.docx
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北京海淀区届高三数学上学期期中试题文科附解析
北京海淀区2019届高三数学上学期期中试题（文科附解析）
北京市海淀区2019届高三学期期中数学试题
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
已知集合，若，则的取值范围为
A.B.c.D.
【答案】c
【解析】
【分析】
根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．
【详解】∵2∈A；
∴2﹣a≤0；
∴a≥2；
∴a的取值范围为[2，+∞）．
故选：
c．
【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．
下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是
A.B.c.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与的最值情况，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，f=x2﹣x，f=2﹣=x2+x≠﹣f，不是奇函数，不符合题意；
对于B，f=|lnx|，f=ln|﹣x|=lnx=f，为偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于c，f=x3，为幂函数，是奇函数，但在上不存在最小值
对于D，f=sinx，为正弦函数，是奇函数，在上存在最小值﹣1；
故选：
D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．
函数满足，则的值是
A.0B.c.D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知求得φ，进一步得到的值．
【详解】由f=sin满足，
得sin=1，即φ=，∈Z．
则φ=，∈Z．
∴f=sin=sin=sin．
∴=sinπ=0．
故选：
A．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．
已知向量，，则向量，夹角的大小为
A.B.c.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．
【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=，=，
∴cosθ===，所以
故选：
B．
【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．
已知函数，，的图像都经过点，则的值为
A.B.c.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数f=logax，g=bx，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b
即可得出．
【详解】函数f=logax，g=bx，的图象都经过点，
∴=2，=2，
解得a=，b=16．
则ab=8．
故选：
D．
【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
在中，“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条
c.充分必要条件D.既不充分也不必要条
【答案】A
【解析】
当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.
数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为
A.B.c.D.
【答案】c
【解析】
【分析】
数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：
n+1+＞n+，化简解出即可得出．
【详解】数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：
n+1+＞n+，化为：
a＜n2+n．
∴a＜2．
故选：
c．
【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
已知向量满足，且，则、、中最小的值是
A.B.c.D.不能确定的
【答案】A
【解析】
【分析】
可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．
【详解】∵；
∴，，；
∴，，；
∵；
∴，；
∴；
∴．
故选：
A．
【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
角的终边经过点，则_____。
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．
【详解】∵角θ的终边经过点P，∴x=4，y=﹣3，则tanθ==﹣，
故答案为：
﹣．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
0.等差数列中，，，则中为正数的项的个数为______。
【答案】3
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的通项公式求出an，然后利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】∵等差数列{an}中，a1=5，a2+a5=0，
∴5+d+5+4d=0，
∴d=﹣2，
∴an=5﹣2=﹣2n+7，
a1＞0，a2＞0，a3＞0，
n≥4时，an＜0，
则{an}中为正数的项的个数为3，
故答案为：
3．
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，属于基本运算的应用．
1.已知，是不共线的两个向量，，则______。
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知，==，代入即可求解．
【详解】，是不共线的两个向量，=，
∴==，
则==，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题．
函数在区间上的最大值为____。
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的性质求出结果．
【详解】由于：
x∈[0，π]，
所以：
，
则：
，
则，
所以函数的最大值为2，
故答案为：
2
【点睛】本题考查的知识要点：
三角函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基
础题型．
3.能说明“若存在，使得，则不是偶函数”为假命题的一个函数
是______________。
【答案】
【解析】
【分析】
写出一个函数，使得函数是偶函数，但是，满足存在x0，使得f=﹣f的命题，然即可得到结果．
【详解】“若存在x0，使得f=﹣f，则f不是偶函数”为假命题，
例如：
f=x2﹣1．当x=﹣1时，满足f=0，f=0，
满足存在x0，使得f=﹣f，但是函数f是偶函数，
故答案为：
f=x2﹣1．
【点睛】本题考查命题是真假，函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查．
已知函数
当1时，函数的值域是________；
若函数的图像与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是______
【答案】..
【解析】
【分析】
分别求解y=﹣x2+2x，x≤1，和y=x，x＞1的值域，可得f的值域；作出
分段函数的图象数形结合，可得实数a的取值范围．
【详解】当a=1时，即当x≤1时，f=﹣x2+2x=﹣2+1≤1，
当x＞1时，f=x＞1，综上所述当a=1时，函数f的值域是R，
由f=﹣x2+2x=﹣2+1，其对称轴x=1，
当a＞1时，根据f=﹣x2+2x的图象，存在直线y=a没有交点；
当0≤a≤1时，根据f=﹣x2+2x的图象和f=x，存在直线y=a只有一个交点，
当a＜0时，根据f=﹣x2+2x的图象和f=x，存在直线y=a没有交点；
要使函数f的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是[0，1]；
故答案为：
R；[0，1]．【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
已知函数.
求的值；
求函数的单调递增区间.
【答案】；.
【解析】
【分析】
将x=0带入，即可求f的值；利用二倍角公式化简，利用三角函数的单调
性即可求解函数f的单调递增区间．
【详解】函数．
当x=0时，可得f=
由函数==sinx+cosx=sin
令x+
得：
≤x≤
∵x，
∴函数f的单调递增区间[，），∈Z．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，化简能力和单调性的求法，注意定义域范围．
设是等比数列，其前项的和为，且,.
求的通项公式；
若，求的最小值.
【答案】；6.
【解析】
【分析】
由已知，结合等比数列的通项公式可求a1，q进而可求an.由等比数
列的求和公式可求Sn，代入解不等式可求n的范围．
【详解】设的公比为q
因为，所以
所以
又，所以
所以.
因为
所以
由，得，即
解得，所以n的最小值为6.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．
如图，在四边形中，.
求的值；
若是的角平分线，求的长.
【答案】；5.
【解析】
【分析】
由已知及余弦定理可得cos∠B，利用诱导公式即可计算得解cos∠D的值，由
已知可得∠DAc=∠BAc，根据正弦定理，结合sin∠B=sin=sin∠D，可求Dc=Bc
即可得解Dc的值．
【详解】∵在△ABc中，AB=4，Bc=5，Ac=7，
∴由余弦定理可得cos∠B===﹣，
∵∠B+∠D=π，
∴cos∠D=cos=﹣cos∠B=．
∵Ac是∠DAB的角平分线，
∴∠DAc=∠BAc，
∴由正弦定理，在△ABc中，有，
在△ADc中，有，
∵sin∠ABc=sin∠DAc，且sin∠B=sin=sin∠D，
∴Dc=Bc，
∴Dc=5．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．
已知函数.
当时，求函数的单调区间；
求证：
直线是曲线的切线；
写出的一个值，使得函数有三个不同零点
【答案】递增区间为，，单调递减区间为；见解析；见解析.
【解析】
【分析】
当a=﹣1时，求f的导数f′，由f′＞0，得f单调递增；f′＜
f单调递减；由f′=3x2+2x+a，令f′=）=3x2+2x+a=a，解得x1=0，x2=，
而f=﹣1，曲线y=f在点）处的切线方程为y=ax﹣1，由此可得，无论a为何值，直线y=ax﹣1是曲线y=f在点）处的切线；取a的值为﹣2．
【详解】函数的定义域为
当a=-1时，
所以
令，得，
当x变化时，，的变化情况如下表：
x-1
+0-0+
↗极大值↘极小值↗
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为
因为
令，解得，
而，曲线在点处的切线方程为，
即所以无论a为何值，直线都是曲线在点处的切线
取a的值为-2这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数
的增减性研究函数的零点问题，是中档题．
已知数列的前项和为，且.
求的值；
求证:
.
【答案】；见解析.
【解析】
【分析】
．可得a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，联立解
得a1，a2，a3．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+2n．当n为偶数时，an=2n+1；
当n为奇数时，an=2n﹣3．利用等差数列的求和公式即可得出．
【详解】解：
∵．∴a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，
联立解得：
a1=0，a2=5，a3=3．
证明：
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[2+n﹣1]
=2n﹣1+2n．
当n为偶数时，an=2n+1；当n为奇数时，an=2n﹣3．
∴a1+a3+a5+…+a2n+1=0+3+7+……+2﹣3==2n2+n．
a2+a4+a6+…+a2n=5+9+……+==2n2+3n．
∵2n2+3n﹣=2n＞0．
∴a1+a3+a5+…+a2n+1＜a2+a4+a6+…+a2n．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
0.已知函数
求函数的极值；
求证：
当时，存在，使得.
【答案】；见解析.
【解析】
【分析】
求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，
从而求出函数的极值即可；根据f的最小值是f=，存在x0，使得f
＜1⇔f＜1，由f﹣1=，设g=lnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．
【详解】函数的定义域为，且。
因为
令，得到，
当>0时，x变化时，，的变化情况如下表：
x
-0-
↘极小值↗
所以函数在处取得极小值
当0时，由可知，的最小值是，所以“存在，使得
等价于“”
所以.
设
则
当0 当1 所以的最大值为，所以，所以结论成立.
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一
道综合题．
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