数值分析上机作业修改讲义.docx
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数值分析上机作业修改讲义
西南交通大学
数值分析2015上机实习报告
2015年11月
第2题
2.某过程测涉及两变量x和y,拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式,已知xi与yi之间的对应数据如下,xi=1,2,…,10
yi=34.658840.371914.6448-14.2721-13.357024.823475.2795
103.574397.484778.2392
(1)请用次数分别为3,4,5,6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。
(2)请用插值多项式给出最好近似结果
下列数据为另外的对照记录,它们可以作为近似函数的评价参考数据。
xi=
Columns1through7
1.50001.90002.30002.70003.10003.50003.9000
Columns8through14
4.30004.70005.10005.50005.90006.30006.7000
Columns15through17
7.10007.50007.9000
yi=
Columns1through7
42.149841.462035.118224.385211.2732-1.7813-12.3006
Columns8through14
-18.1566-17.9069-11.02262.028419.854940.362661.0840
Columns15through17
79.568893.7700102.3677
1.程序
(1)多项式拟合程序
n=input('输入所要拟合的阶数n=');
holdon;
x=1:
10;
y=[34.658840.371914.6448-14.2721-13.357024.823475.2795103.574397.484778.2392];
P=polyfit(x,y,n)
xi=1:
.2:
10;
yi=polyval(P,xi);
plot(xi,yi,x,y,'r*');
legend('拟合曲线','原始数据')
(2)拉格朗日插值多项式拟合程序
clc;
x=1:
10;
y=[34.658840.371914.6448-14.2721-13.357024.823475.2795103.574397.484778.2392];
plot(x,y,'r*');
holdon;
symst;
n=length(x);
f=0.0;
fori=1:
n
l=y(i);
forj=1:
i-1
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
forj=i+1:
n
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
f=f+l;
simplify(f);
f=collect(f);
f=vpa(f,6);
end
ti=1.0:
0.4:
10;
f=subs(f,'t',ti);
plot(ti,f)
legend('拟合曲线','原始数据')
title'拉格朗日插值多项式拟合'
2.结果分析
(1)请用次数分别为3,4,5,6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。
图2-13次多项式拟合结果
图2-24次多项式拟合结果
图2-35次多项式拟合结果
图2-46次多项式拟合结果
从绘制的图形来看,当采用6次多项式拟合的时候,拟合的曲线已经与所给出的点非常逼近了。
6次多项式拟合曲线为:
f(x)=0.0194x6-0.5408x5+5.1137x4-16.8973x3-0.8670x2+66.3750x-18.6991
(2)拉格朗日插值多项式给出最好近似结果
图1-4拉格朗日插值多项式拟合
第3题
3.用雅格比法与高斯-赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b,研究其收敛性,上机验证理论分析是否正确,比较它们的收敛速度,观察右端项对迭代收敛有无影响。
(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4];b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T,
(2)A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1];b1=[3,2,1]T,b2=[5,0,-10]T,
(3)A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1];b=[4,6]T,
1.程序
(1)雅格比法程序
functionjacobi()
clc;
clear;
A=[62-1;14-2;-314];
B=[-3;2;4];
Err_user=0.01;
N=500;
[m,n]=size(A);
X=zeros(n,1);
k=1;
whilek<=N;
Xk=X;
fori=1:
n
forj=1:
n
ifi~=j
AX(j)=A(i,j)*Xk(j);
end
end
Sum_AX=sum(AX);
AX=0;
X(i)=(B(i)-Sum_AX)/A(i,i);
end
E=max(abs(Xk-X));
ifEbreak;
end
k=k+1;
end
disp(X);%显示迭代结果
disp(k);%显示迭代次数
(2)高斯-赛德尔迭代法程序
functionGS()
clc;
clear;
A=[62-1;14-2;-314];
B=[-3;2;4];
A=[10.80.8;0.810.8;0.80.81];
B1=[3;2;1];
B2=[5;0;-10];
Err_user=0.0001;
N=50;
[m,n]=size(A);
X=zeros(n,1);
k=1;
whilek<=N
Xk=X;
fori=1:
n
forj=1:
n
ifi~=j
AX(j)=A(i,j)*X(j);%ÓëJacobi·¨Ö÷ÒªÇø±ð
end
end
sum_AX=sum(AX);
AX=0;X(i)=(B1(i)-sum_AX)/A(i,i);
end
Er=max(abs(Xk-X));
ifErbreak;
end
k=k+1;
end
disp(X);
disp(k);
end
2.结果分析
(1)
1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4];b1=[-3,2,4]T
雅克比迭代:
计算结果x=[-0.63630.59600.3737]T,.迭代次数16次。
高斯赛德迭代:
计算结果x=[-0.63630.59590.3738]T,.迭代次数10次。
2)A行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1];b1=[3,2,1]T
雅克比迭代:
计算不收敛
高斯赛德迭代:
计算结果x=[5.76900.7694-4.2307]T,.迭代次数30次。
(2)
A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1];b1=[4,6]T。
雅克比迭代:
计算结果不收敛
高斯赛德迭代:
计算结果不收敛
通过对雅克比法和高斯法的上机编程实习,分析对比实验结果可得:
在方程组Ax=b中,右端项对迭代收敛是有影响的,即当b增大时,迭代次数增加,收敛速度降低。
并且通过对比可知,在相同条件下,高斯-赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛速度快;方法的选择也很重要,比如第二问,用雅克比迭代法是发散的,而用高斯迭代法则是收敛的。
通过上机验证,我们也得出结论:
理论分析是正确的,即当迭代矩阵的谱半径小于1时,迭代法是收敛的,而当迭代矩阵谱半径大于1的时,迭代法都是发散的。
第5题
5.用Runge-Kutta4阶算法对初值问题y/=-20*y,y(0)=1按不同步长求解,用于观察稳定区间的作用,推荐两种步长h=0.1,0.2。
注:
此方程的精确解为:
y=e-20x
1.程序
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Runge-Kutta4阶算法
%f=-20y
%y(0)=1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc;
clear;
N=10;%设定节点个数
h=0.05;%设定步长
x
(1)=0;%x0=0
y
(1)=1;%y(0)=1
yy
(1)=exp(-20*x
(1));%y(0)的精确解
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%开始用runge-kutta法计算
fori=2:
N
K1=-20*(y(i-1));%(xi,yi)点的导数为f=-20*y
K2=-20*(y(i-1)+K1*h/2);
K3=-20*(y(i-1)+K2*h/2);
K4=-20*(y(i-1)+K3*h);
delta=h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
y(i)=y(i-1)+delta;%计算y(i)值
x(i)=x(i-1)+h;%计算下个节点的x(i)值
yy(i)=exp(-20*x(i));%计算y(i)的精确值
end;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%存储计算结果
dlmwrite('f:
\计算结果.xls',x,'delimiter','\t','precision',8);
dlmwrite('f:
\计算结果.xls',y,'-append','delimiter','\t','precision',8);
dlmwrite('f:
\计算结果.xls',yy,'-append','delimiter','\t','precision',8);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%画图功能
plot(x,y,'o',x,yy,'*');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('四阶Runge-Kutta法','精确解');
pause;
close;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.结果分析
(1)步长h=0.1时结果
当步长取为0.1时,,计算结果如图1.2-2:
图5-1h=0.05时计算结果
计算结果整理如表5-1所示:
表5-1h=0.1时结果
1.2.3步长h=0.2时结果
当步长取为0.2时,,计算结果如图5-2:
图5-2h=0.1时计算结果
计算结果整理如表5-2所示:
图5-2h=0.2时计算结果
通过以上对Runge-Kutta法的应用,计算结果表明步长h的取值会影响算法的收敛性和稳定性:
(1)Runge-Kutta法的步长h越长,计算结果的精确度越低,甚至计算结果不收敛;
(2)当步长h在稳定区间时,误差逐步衰减。